《第1章三角形的证明》单元测试题－北师大版八年级数学下册（含解析） (3)

北师大新版八年级下册数学单元测试卷
《第1章 三角形的证明》
一．选择题
1．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　）
A．一锐角和斜边对应相等
B．两条直角边对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两个锐角对应相等
2．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．7cm B．9cm
C．12cm或者9cm D．12cm
3．如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于点E、F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系为（　　）
A．EF＞BE+CF B．EF＝BE+CF C．EF＜BE+CF D．不能确定
4．一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°．若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC的长为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm
6．如图所示，在直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，点E是AB的中点，且DE⊥AB，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D＝30°，EF＝2，则DF的长是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于45°
B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于等于45°
D．每一个内角都大于等于45°
8．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
9．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
10．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
二．填空题
11．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，若AD＝1，则AB的长为 　 　．
12．用反证法证明“已知，a⊥b，c⊥b，求证：a∥c”，第一步应先假设 　 　．
13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为　 　．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，△ABC的周长为30cm，BD＝4cm，则AC的长为 　 　cm．
15．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E，若AD为4cm，△ABC的周长为26cm，则△BCE的周长为　 　cm．
16．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝7，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为　 　．
17．如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝　 　．
18．有一个内角为60°的等腰三角形，腰长为6cm，那么这个三角形的周长为　 　cm．
19．如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝　 　cm．
20．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是　 　．（写一种即可）
三．解答题
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．
22．如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．
23．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，你能找出一对全等的三角形吗？为什么它们是全等的？
24．求证：等腰三角形两底角相等．
25．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE，求∠CDE的度数．
26．如图，一只船从A处出发，以18海里/时的速度向正北航行，经过10小时到达B处．分别从A、B处望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84度．求B处与灯塔C距离．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、正确．符合AAS；
B、正确．符合SAS；
C、正确．符合HL；
D、错误．要证两三角形全等必须有边的参与．
故选：D．
2．解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；
②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．
∴其周长是12cm．
故选：D．
3．解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝BE，
同理DF＝FC，
∴ED+DF＝BE+FC，
即EF＝BE+FC，
故选：B．
4．解：根据等腰三角形的三线合一的性质，可得三边相等，则对这个三角形最准确的判断是正三角形．
故选：C．
5．解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∵∠EBC＝∠E＝60°，
∴△BEM为等边三角形，
∵BE＝6cm，DE＝2cm，
∴DM＝4cm，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB＝60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM＝90°，
∴∠NDM＝30°，
∴NM＝2cm，
∴BN＝4cm，
∴BC＝2BN＝8cm．
故选：C．
6．解：连接AF，
∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠B+∠BAC＝∠D+∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠D＝30°，
∵EF＝2，
∴BF＝2EF＝4，
∵E为AB的中点，
∴AF＝BF＝4，
∴∠B＝∠BAF＝30°，
∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝30°，
∴CF＝，
又∵∠D＝30°，
∴CF＝DF，
∴DF＝AF＝4．
故选：B．
7．解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，
应先假设这个三角形中每一个内角都不小于45°，即每一个内角都大于或等于45°．
故选：D．
8．解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
9．解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
10．解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A1B1O＝∠MON，
∴A1B1＝OA1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1，
同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，
∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22 OA1，
A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23 OA1，
…
∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，
∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64，
故选：C．
二．填空题
11．解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝60°，AB＝2AC，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD，
∴AB＝4AD，
∵AD＝1，
∴AB＝4，
故答案为：4．
12．解：原命题“已知，a⊥b，c⊥b，求证：a∥c”，
用反证法时应假设结论不成立，
即假设a与c不平行（或a与c相交）．
故答案为：a与c不平行（或a与c相交）．
13．解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°＝115°；
②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣25°＝65°．
故答案为：115°或65°．
14．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝4cm，
∴BC＝BD+CD＝8cm．
∵△ABC的周长为30cm，
∴AC＝AB＝（30﹣8）＝11，
故答案为11．
15．解：∵ED垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BD＝AD＝4cm，AB＝8cm，
∵△ABC的周长为26cm，
∴AC+BC＝18cm，
△BCE的周长＝BC+CE+AE＝BC+CE+AE＝18cm．
故填18．
16．解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，
∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，
∴ED＝EB，FD＝FC，
∵AB＝6，AC＝7，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝6+7＝13．
故答案为：13．．
17．解：由翻折的性质可知；∠AFE＝∠EFD．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，∠C＝60°，∠A＝∠EDF＝60°．
∵ED⊥BC，
∴△EDC为直角三角形，
∴∠FDB＝30°，
∴∠AFE+∠EFD＝60°+30°＝90°，
∴∠EFD＝45°．
故答案为：45°
18．解：根据等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形的三角形是等边三角形．再根据等边三角形的三边相等，得这个三角形的周长是6×3＝18．
故答案为18．
19．解：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，A在BC的垂直平分线上，
∴BC＝AB＝8cm，
∵DB＝DC，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝BC＝4cm．
故答案为：4．
20．解：可添加AC＝BD，
∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
故答案为：AC＝BD．
三．解答题
21．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵△BDE≌△CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴∠BED+∠CEF＝∠BED+∠BDE，
∵∠B+（∠BED+∠BDE）＝180°，
∠DEF+（∠BED+∠BDE）＝180°，
∴∠B＝∠DEF，
∵∠A＝50°，AB＝AC，
∴∠B＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠DEF＝65°．
22．证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形（已知），
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°（等边三角形的性质）．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC（等式的性质），即∠BAD＝∠CAE．
在△BAD与△CAE中，
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
23．解：△AED≌△AFD．
原因：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD，∠EAD＝∠FAD．
∵AD＝AD，
∴△AED≌△AFD（AAS）．
24．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．
求证：∠B＝∠C．
证明：过点A作AD⊥BC于点D，
则∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
∴△ADB≌△ADC（HL）．
∴∠B＝∠C．
25．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝40°，
∠ADC＝90°，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝＝70°，
∴∠CDE＝90°﹣70°＝20°．
26．解：∵∠NBC是△ABC的外角
∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°
∴∠C＝∠BAC
∴BC＝BA＝18×10＝180（海里）
因此B处与灯塔C距离是180海里．