《第1章三角形的证明》单元测试题－北师大版八年级数学下册（含答案） (5)

第1章 三角形的证明单元测试
考试范围：第1章三角形的证明；考试时间：90分钟；总分：120分
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（2021·湖北·监利市朱河镇初级中学.八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC，若∠1＝70°，则∠BAC的大小为（　　）
A．40° B．30° C．70° D．50°
2．（2022·广东东莞·八年级期末）如图，中，，，BD平分交AC于点D，则图中的等腰三角形共有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022·四川仁寿·八年级期末）若等腰三角形两边长分别为6和8，则底边上的高等于（ ）
A．2 B． C．2或 D．10
4．（2021·江苏建湖·八年级期末）下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝3：4：4 B．a＝1，b＝，c＝
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a2：b2：c2＝3：4：5
5．（2021·山东·阳谷县实验中学八年级阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则它的顶角度数是（　　）
A．50° B．50°或130° C．40°或140° D．60°或120°
6．（2021·贵州六盘水·八年级阶段练习）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　）
A． B．2 C． D．3
7．（2022·内蒙古乌兰察布·八年级期末）如图，在中，，，cm，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
8．（2021·山东·周村二中七年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA＋PB的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．（2021·重庆市凤鸣山中学八年级期中）如图，在中，，，的中垂线交于点D，交于点E，下述结论中正确的是（ ）
A．点D是线段的中点 B．
C．的周长等于 D．平分
10．（2022·黑龙江富裕·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若S△ACD＝6，AC＝6，则点D到AB的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2022·贵州黔西·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E．若AC＝10，DE＝4，则AD的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
12．（2021·新疆·塔城市第一中学八年级期中）如图，已知在 A B C中，C D是A B边上的高线，B E平分∠A B C，交C D于点E， B C＝10， D E＝3，则 B C E的面积等于( )
A．6 B．9 C．15 D．1
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（2021·辽宁铁岭·八年级期末）如图，，若，则________．
14．（2021·黑龙江铁锋·八年级期末）已知等腰三角形两边，，满足，则此等腰三角形的周长为_____________．
15．（2021·浙江省衢州市衢江区实验中学八年级阶段练习）如图，等边△ABC边长为12cm，BD＝4cm，点P在线段BC上以每秒2cm的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为每秒 _____cm时，能够在某一时刻使得△BPD与△CQP全等．
16．（2021·江苏滨海·八年级期中）若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为_____cm2．
17．（2021·黑龙江五常·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的周长为13cm，，则的周长______cm．
18．（2021·福建·厦门市第九中学八年级期中）如图，BD是△ABC的角平分线，E是AB上的中点，已知△ABC的面积是12cm2，BC：AB＝19：17，则△AED面积是 _____．
三、解答题一（每小题8分，共16分）
19．（2021·吉林伊通·八年级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问题：
（1）求BC的长；
（2）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．
20．（2021·湖北咸丰·八年级期末）如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若∠BAC＝60°，求证：AO︰OD＝3︰1．
四、解答题二（每小题10分，共20分）
21．（2021·浙江萧山·八年级阶段练习）已知的高AD恰好平分边BC，点E是线段AD上一动点．
（1）如图1，若，，求的度数为 ；
（2）如图2，若，，，求AE的长；
（3）如图3，若点P是BA延长线上一点且，，求的值．
22．（2021·江苏·靖江市实验学校八年级期中）如图，△ABC中，AC＝12cm，BC＝5cm，AB＝13cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？
（2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时P经过的路程？
（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形？（结果保留分数）
五、解答题三（每小题12分，共24分）
23．（2021·江苏滨海·八年级期中）如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）当t为何值时，M、N两点重合；
（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．
①当t为何值时，△AMN是等边三角形；
②当t为何值时，△AMN是直角三角形；
（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．
24．（2021·吉林·八年级期末）如图，是等腰直角三角形，，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在射线上运动．点出发后，连接，以为直角边向右作等腰直角三角形，使，连接，设点的运动时间为秒．
（1）的边上高为______；
（2）求的长（用含的式子表示）；
（3）就图中情形求证：≌；
（4）当：：时，直接写出的值．
答案及解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（2021·湖北·监利市朱河镇初级中学.八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC，若∠1＝70°，则∠BAC的大小为（　　）
A．40° B．30° C．70° D．50°
【答案】A
【分析】
根据AD∥BC可得出∠C=∠1=70°，再根据AB=AC即可得出∠B=∠C=70°，结合三角形的内角和为180°，即可算出∠BAC的大小．
【详解】
解：∵AD∥BC，
∴∠C=∠1=70°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=40°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，解题的关键是找出∠B=∠C=70°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键．
2．（2022·广东东莞·八年级期末）如图，中，，，BD平分交AC于点D，则图中的等腰三角形共有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．
【详解】
解：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∵BD平分交AC于D，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
∵，
∴是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故选B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解题的关键是正确求得各角的度数．
3．（2022·四川仁寿·八年级期末）若等腰三角形两边长分别为6和8，则底边上的高等于（ ）
A．2 B． C．2或 D．10
【答案】C
【分析】
因为题目没有说明哪个边为腰哪个边为底，所以需要讨论，①当6为腰时，此时等腰三角形的边长为6、6、8；②当8为腰时，此时等腰三角形的边长为6、8、8；然后根据等腰三角形的高垂直平分底边可运用勾股定理的知识求出高．
【详解】
解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
边长为6和8的等腰三角形有6、6、8与6、8、8两种情况，
①当三边是6、6、8时，底边上的高AD＝＝＝2；
②当三边是6、8、8时，同理求出底边上的高AD是＝．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
4．（2021·江苏建湖·八年级期末）下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝3：4：4 B．a＝1，b＝，c＝
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a2：b2：c2＝3：4：5
【答案】B
【分析】
根据勾股定理的逆定理，以及三角形的内角等于逐项判断即可．
【详解】
，设，，，此时，故不能构成直角三角形，故不符合题意；
，，故能构成直角三角形，故符合题意
，且，设，，，则有，所以，则，故不能构成直角三角形，故不符合题意；
，设，，，则，即，故不能构成直角三角形，故不符合题意；
故选：B
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，和三角形的内角和等知识，能熟记勾股定理的逆定理内容和三角形内角和等于是解题关键．
5．（2021·山东·阳谷县实验中学八年级阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则它的顶角度数是（　　）
A．50° B．50°或130° C．40°或140° D．60°或120°
【答案】B
【分析】
首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为130°．
【详解】
如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD=40°，
∴∠A=50°，即顶角的度数为50°；
如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA=40°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BAC=130°，
即顶角的度数为130°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
6．（2021·贵州六盘水·八年级阶段练习）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】
首先由勾股定理得AB，AC，BC的三边长，从而有AB2+AC2＝BC2，得∠BAC＝90°，再根据S△ABC，代入计算即可．
【详解】
解：由勾股定理得：AB，AC，BC，
∵AB2+AC2＝25，BC2＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴S△ABC，
∴，
∴AD＝2，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，通过勾股定理计算出三边长度，判断出∠BAC＝90°是解题的关键．
7．（2022·内蒙古乌兰察布·八年级期末）如图，在中，，，cm，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】C
【分析】
此类题要通过作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．
【详解】
解：连接AM，AN，
∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM＝AM，CN＝AN，
∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAM＋∠CAN＝60°，∠AMN＝∠ANM＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN＝MN，
∴BM＝MN＝NC，
∵BC＝6cm，
∴MN＝2cm．
故答案为2cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．
8．（2021·山东·周村二中七年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA＋PB的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】
如图，由线段垂直平分线的性质可知PB=PC，则有PA+PB=PA+PC，然后可知当点A、P、C三点共线时，PA+PB取得最小值，即为AC的长．
【详解】
解：如图，连接PC，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
∴PA+PB=PA+PC，
∴PA＋PB的最小值即为PA＋PC的最小值，
当点A、P、C三点共线时，PA+PB取得最小值，即为AC的长，
∴在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，由勾股定理可得：
，
∴PA＋PB的最小值为8；
故选B．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握垂直平分线的性质及勾股定理是解题的关键．
9．（2021·重庆市凤鸣山中学八年级期中）如图，在中，，，的中垂线交于点D，交于点E，下述结论中正确的是（ ）
A．点D是线段的中点 B．
C．的周长等于 D．平分
【答案】B
【分析】
由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C的度数，又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD＝BD，继而求得∠ABD的度数，则可知BD平分∠ABC；可得△BCD的周长等于AB＋BC，又可求得∠BDC的度数，求得AD＝BD＝BC，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴BD＞CD，
∴AD＞CD，
∴点D不是线段AC的中点，故A错误；
∵∠DBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠BDC＝180° ∠DBC ∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，故B正确；
∴△BCD的周长为：BC＋CD＋BD＝BC＋CD＋AD＝BC＋AC＝BC＋AB，故C错误；
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝＝72°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC ∠ABD＝72° 36°＝36°，
∴，
∵，
∴，故D错误；
故选：B．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．
10．（2022·黑龙江富裕·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若S△ACD＝6，AC＝6，则点D到AB的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
过点D作DE⊥AB于E，依据角平分线性质，即可得到．依据，求得CD的长，即可得出点D到AB的距离．
【详解】
解：如图所示，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
∵S△ACD＝6，
∴×AC×CD＝6，即×6×CD＝6，
解得CD＝2，
∴DE＝2，
即点D到AB的距离为2，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
11．（2022·贵州黔西·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E．若AC＝10，DE＝4，则AD的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】
由∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DE＝4，证明 再利用线段的和差关系可得答案.
【详解】
解： ∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DE＝4，
故选C
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解题的关键.
12．（2021·新疆·塔城市第一中学八年级期中）如图，已知在 A B C中，C D是A B边上的高线，B E平分∠A B C，交C D于点E， B C＝10， D E＝3，则 B C E的面积等于( )
A．6 B．9 C．15 D．1
【答案】C
【分析】
过E作EF⊥BC于F，根据角平分线性质得出EF＝DE＝3，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】
解：过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，
∴EF＝DE＝3，
∵BC＝10，
∴△BCE的面积为×BC×EF＝15，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的面积和角平分线性质，能根据角平分线性质求出DE＝EF是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（2021·辽宁铁岭·八年级期末）如图，，若，则________．
【答案】100
【分析】
先根据EC=EA．∠CAE=40°得出∠C=40°，再由三角形外角的性质得出∠AED的度数，利用平行线的性质即可得出结论．
【详解】
∵EC=EA，∠CAE=40°，
∴∠C=∠CAE=40°，
∵∠DEA是△ACE的外角，
∴∠AED=∠C+∠CAE=40°+40°=80°，
∵AB∥CD，
∴∠BAE+∠AED=180°
∴∠BAE =100°．
【点睛】
本题考查的是等边对等角，三角形的外角，平行线的性质，熟知两直线平行同旁内角互补是解答此题的关键．
14．（2021·黑龙江铁锋·八年级期末）已知等腰三角形两边，，满足，则此等腰三角形的周长为_____________．
【答案】11或13
【分析】
根据题意先运用完全平方公式进行配方，进而利用平方的非负性求出a，b的值，再代入求值即可．
【详解】
解：∵a2+b2-6a-10b+34=0，
∴（a2-6a+9）+（b2-10b+25）=0，
∴（a-3）2+（b-5）2=0，
∴a=3，b=5，
∴当腰为3时，等腰三角形的周长为5+3+3=11，
当腰为5时，等腰三角形的周长为5+5+3=13．
故答案为：11或13.
【点睛】
本题主要考查因式分解和三角形三边关系及等腰三角形的性质，解题的关键是运用完全平方公式进行配方．
15．（2021·浙江省衢州市衢江区实验中学八年级阶段练习）如图，等边△ABC边长为12cm，BD＝4cm，点P在线段BC上以每秒2cm的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为每秒 _____cm时，能够在某一时刻使得△BPD与△CQP全等．
【答案】2cm或cm
【分析】
先表示出BD=4cm，BP=2t，CP=12-2t，利用等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°，讨论：当BP=CQ，BD=CP时，根据“SAS”可判断△BPD≌△CQP，即CQ=2t，12-2t=4；当BP=CP，BD=CQ时可判断△BPD≌△CPQ，即2t=12-2t，CQ=BD=4，然后分别求出t和CQ的长度，从而得到点Q运动的速度．
【详解】
解：设点Q的运动速度为每秒xcm，点Q的运动时间为t秒，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C，BC＝12，
∴当BD＝CQ，BP＝CP时，根据“SAS”可判断△BPD≌△CPQ，
即4＝xt，2t＝12﹣2t，
即得t＝3，x＝；
当BD＝CP，BP＝CQ时，根据“SAS”可判断△BPD≌△CPQ，
即4＝12﹣2t，2t＝tx，
即得t＝4，x＝2；
综上所述，当点Q的运动速度为每秒2cm或cm时，能够在某一时刻使得△BPD与△CQP全等．
故答案为2cm或cm．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．也考查了等边三角形的性质．
16．（2021·江苏滨海·八年级期中）若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为_____cm2．
【答案】
【分析】
设三边的长是5x，12x，13x，根据周长列方程求出x的长，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解．
【详解】
解：设三边分别为5x，12x，13x，
则5x+12x+13x＝60，
∴x＝2，
∴三边分别为10cm，24cm，26cm，
∵102+242＝262，
∴三角形为直角三角形，
∴S＝10×24÷2＝120cm2．
故答案为：120．
【点睛】
本题考查三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积，比较基础，掌握三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积是解题关键．
17．（2021·黑龙江五常·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的周长为13cm，，则的周长______cm．
【答案】22
【分析】
根据“的垂直平分线交于，交于”可知DE是AC的垂直平分线，利用中垂线的性质可得DC=DA，由的周长为AB+BD+AD= 13cm，可知AB+BC=12，再求AC=AE+CE=4.5+4.5=9cm，从而可以得到△ABC的周长．
【详解】
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=CE=4.5cm
∴AC=AE+CE=4.5+4.5=9cm，
∵的周长为AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，
∴△ABC的周长为：AB+BC+AC=13+9=22cm．
故答案为22．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，将△ABD的周长转化为AB+BC是解题的关键．
18．（2021·福建·厦门市第九中学八年级期中）如图，BD是△ABC的角平分线，E是AB上的中点，已知△ABC的面积是12cm2，BC：AB＝19：17，则△AED面积是 _____．
【答案】
【分析】
根据角平分线的性质得出DF=DG，再由三角形面积计算即可得答案．
【详解】
解：
作DG⊥AB，交AB的延长线于点D，作DF⊥BC，
∴BD是△ABC的角平分线，
∴DF=DG，
∵BC：AB＝19：17，
设DF=DG=h，BC=19a，AB=17a，
∵△ABC的面积是12cm2，
∴，
∴，
∴36ah=24，
∴ah=，
∵E是AB上的中点，
∴AE=，
∴△AED面积=×h=（cm2）．
故答案为：cm2．
【点睛】
本题考查了根据角平分线的性质和三角形面积的计算，做题的关键是掌握角平分线的性质．
三、解答题一（每小题8分，共16分）
19．（2021·吉林伊通·八年级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问题：
（1）求BC的长；
（2）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】（1）10；（2）点O在边BC的垂直平分线上，理由见解析．
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=CE，根据线段的和差关系及△ADE的周即可得BC的长；
（2）如图，连接OA、OB、OC，根据垂直平分线的性质可得OA=OB，OA=OC，即可得出OB=OC，可得点O在边BC的垂直平分线上．
【详解】
（1）∵MD是AB的垂直平分线，NE是AC的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=CE，
∵△ADE的周长为10，
∴AD+AE+DE=10，
∴BC=BD+DE+CE=AD+AE+DE=10．
（2）点O在边BC的垂直平分线上，理由如下：
如图，连接OA、OB、OC，
∵MO是AB的垂直平分线，NO是AC的垂直平分线，
∴OA=OB，OA=OC，
∴OB=OC，
∴点O在边BC的垂直平分线上．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等；熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．
20．（2021·湖北咸丰·八年级期末）如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若∠BAC＝60°，求证：AO︰OD＝3︰1．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等三角形的性质证明；
（2）根据角平分线的定义、直角三角形的性质计算即可．
【详解】
证明：（1）∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∴点A、D都在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF；
（2）∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠EAD=30°，
∴DE=AD，
∵∠EAD=30°，DE⊥AB，
∴∠DEO=30°，
∴OD=DE，
∴DO=AD，
∴AO︰OD＝3︰1．
【点睛】
本题考查的是解平分线的性质，线段的垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
四、解答题二（每小题10分，共20分）
21．（2021·浙江萧山·八年级阶段练习）已知的高AD恰好平分边BC，点E是线段AD上一动点．
（1）如图1，若，，求的度数为 ；
（2）如图2，若，，，求AE的长；
（3）如图3，若点P是BA延长线上一点且，，求的值．
【答案】（1）130°；（2）；（3）
【分析】
（1）由题意依据等腰三角形等边对等角和三线合一以及三角形内角和进行分析即可；
（2）由题意根据角平分线性质和等腰直角三角形性质结合勾股定理进行分析计算即可；
（3）根据题意利用中垂线性质和等腰三角形等边对等角得到，，进而进行角的等量代换即可.
【详解】
解：（1）∵的高AD恰好平分边BC，即是的垂直平分线，
∴，AD是的角平分线，
∵，
∴,
∵，
∴,
∴=；
故答案为：；
（2），
是的中垂线
，
；
（3）连接
是的中垂线
，
，
.
【点睛】
本题考查等腰三角形性质和角平分线性质以及勾股定理的应用，熟练掌握等腰三角形等边对等角和三线合一的性质和运用勾股定理求解是解题的关键.
22．（2021·江苏·靖江市实验学校八年级期中）如图，△ABC中，AC＝12cm，BC＝5cm，AB＝13cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？
（2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时P经过的路程？
（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形？（结果保留分数）
【答案】（1）；（2）（3）或或或
【分析】
（1）根据题意当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点在上，进而根据时间等于路程除以速度即可求得；
（2）根据题意当点运动到的中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而列出一元一次方程，解方程求解即可；
（3）先证明△ABC是直角三角形，分三种情况讨论，①当时，点在上时，和当点在上时；②当时，此时点在上，③当时，此时是的垂直平分线与的交点，如图，过点作于点，进而求得
【详解】
（1）△ABC的周长为,
当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点在上，
此时
即
解得
（2）根据题意，当点运动到的中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，
此时
解得
（3） AC＝12cm，BC＝5cm，AB＝13cm，
△ABC是直角三角形
①当时，如图，当在的位置，即点在上时，，
即
解得
当点在上时，如图，过点作，
则
在中，
，
则
解得
②当时，此时点在上，
则
即
解得
③当时，此时是的垂直平分线与的交点，如图，过点作，于点
,
是的中点，由（2）可知
综上所述，当或或或时，△BCP为等腰三角形
【点睛】
本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，三角形中线的性质，分类讨论是解题的关键．
五、解答题三（每小题12分，共24分）
23．（2021·江苏滨海·八年级期中）如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）当t为何值时，M、N两点重合；
（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．
①当t为何值时，△AMN是等边三角形；
②当t为何值时，△AMN是直角三角形；
（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．
【答案】（1）当M、N运动6秒时，点N追上点M；（2）①，△AMN是等边三角形；②当或时，△AMN是直角三角形；（3）
【详解】
（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多6cm，列出方程求解即可；
（2）①根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；
②分别就∠AMN＝90°和∠ANM＝90°列方程求解可得；
（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．
【解答】
解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+6＝2x，
解得：x＝6，
即当M、N运动6秒时，点N追上点M；
（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，
AM＝t，AN＝6﹣2t，
∵AB＝AC＝BC＝6cm，
∴∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形，
∴t＝6﹣2t，
解得t＝2，
∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．
②当点N在AB上运动时，如图2，
若∠AMN＝90°，
∵BN＝2t，AM＝t，
∴AN＝6﹣2t，
∵∠A＝60°，
∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，
解得；
如图3，若∠ANM＝90°，
由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，
解得．
综上所述，当t为或时，△AMN是直角三角形；
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图4，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
∴t﹣6＝18﹣2t，
解得t＝8，符合题意．
所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，将动点问题转化为线段的长是解题的关键．
24．（2021·吉林·八年级期末）如图，是等腰直角三角形，，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在射线上运动．点出发后，连接，以为直角边向右作等腰直角三角形，使，连接，设点的运动时间为秒．
（1）的边上高为______；
（2）求的长（用含的式子表示）；
（3）就图中情形求证：≌；
（4）当：：时，直接写出的值．
【答案】（1）3；（2）当时，，当时，；（3）见解析；（4）的值为或．
【分析】
（1）由题意利用等腰三角形三线合一结合直角三角形斜边中线是斜边的一半进行分析计算即可；
（2）根据题意先得出点在线段上运动的时间，进而即可用含的式子表示的长；
（3）根据题意直接利用全等三角形的SAS进行分析求证即可；
（4）由题意分当：：时，当时，以及当：：时，当时，两种情况进行分析求解即可.
【详解】
解：（1） 是等腰直角三角形，，，
的边上高，
故答案为：；
（2），动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在射线上运动，
点在线段上运动的时间为秒，
当时，，
当时，；
（3）证明：是等腰直角三角形，，
，
，，
，，
，
在与中，
，
≌；
（4）≌，
，
当：：时，当时，，
解得：，
当：：时，当时，，
解得：，
综上所述，的值为或．
【点睛】
本题考查三角形上的动点问题和等腰三角形性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和对动点问题要进行分类讨论是解题的关键。