《第1章三角形的证明》单元测试题－北师大版八年级数学下册（含解析） (7)

北师大版八年级数学下册单元测试题
第1章 三角形的证明
一、单选题
1．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（　　）
A．36° B．60° C．72° D．108°
2．若中，，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
3．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
4．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（　 　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
5．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　　 ）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
7．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ 　 ）
A． B． C． D．
8．如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于（　　）
A．70° B．65° C．50° D．25°
9．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
10．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到 达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的 距离为
A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
二、填空题
11．等腰三角形的两条边长为2和5，则该等腰三角形的周长为_________．
12．△ABC，AC=6，BC=8， 当AB=______时，∠C=90°．
13．如图，，的垂直平分线交于点，若，则________.
14．如图，，，若，，则D到AB的距离为________。
如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　　度．
16．已知，则以，，为边长的三角形是_____三角形.
17．如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，，则__________．
18．如图，已知△ABC的周长是16，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D且OD=2，△ABC的面积是________________.
19．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是___cm2
20．如图，射线是的平分线，是射线上一点，于点，若是射线上一点，则的面积是_______________________．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD⊥AC于D，则∠DBC=______度.
22．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O. 过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是_______.
23．如图是某超市一层到二层电梯的示意图，其中AB、CD分别表示超市一层、二层电梯口处地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长约为12米，则乘电梯从点B到点C上升的高度h约为________米．
24．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A＝______________ 时，△AOP为等腰三角形．
三、解答题
25．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
26．如图，△ABC，△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上，求证：△CDA≌△CEB．
27．已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。求证：AD垂直平分EF。
28．如图，已知，点分别在射线上移动，的平分线与的外角平分线交于点.
（1）当时， .
（2）请你猜想：随着两点的移动，的度数大小是否变化？请说明理由.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据∠A=36°，AB=AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．
【详解】
解：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=36°，
∴∠1=∠A+∠ABD=72°，
故选C．
2．B
【解析】
【分析】
根据三角形内角和180，求出最大角∠C，直接判断即可.
【详解】
解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：4．
∴设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=4x°，
根据三角形内角和定理得到：x+2x+4x=180,
解得：x=．
则∠C=4×= °，则△ABC是钝角三角形．
故选B.
【点拨】本题考查了三角形按角度的分类.
3．B
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA＝∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】
解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝50°，
∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝100°，
故选：B．
【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4．B
【解析】
【分析】
直接利用角平分线的性质得出DE=EC，进而得出答案．
【详解】
解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，
∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了角平分线的性质，得出EC=DE是解题关键．
5．B
【解析】
【详解】
试题分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． ①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．
考点：等腰三角形的性质．
6．D
【解析】
【详解】
试题分析：添加A可以利用ASA来进行全等判定；添加B可以利用SAS来进行判定；添加C选项可以得出AD=AE，然后利用SAS来进行全等判定.
考点：三角形全等的判定
7．B
【解析】
【详解】
由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．
故选B．
考点：作图—复杂作图
8．C
【解析】
【分析】
由平行可求得∠DEF，又由折叠的性质可得∠DEF=∠D′EF，结合平角可求得∠AED′．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=65°，
又由折叠的性质可得∠D′EF=∠DEF=65°，
∴∠AED′=180°-65°-65°=50°，
故选：C．
【点拨】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
9．C
【解析】
【详解】
试题分析：根据全等三角形的判定方法分别进行判定：
A、已知AB=DE，加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB=DE，加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB=DE，加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D、已知AB=DE，加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意．
故选C．
10．D
【解析】
【详解】
分析：依题意，知MN＝40海里/小时×2小时＝80海里，
∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°，
∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°．∴∠M＝∠MPN＝70°．
∴NP＝NM＝80海里．故选D．
11．12
【解析】
【分析】
因为已知长度为2和5两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【详解】
解：当5为底时，其它两边都为2，
∵2+2＜5，
∴不能构成三角形，故舍去，
当5为腰时，其它两边为2和5，
5、5、2可以构成三角形，
∴周长为5+5+2=12．
故答案为：12．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
12．10
【解析】
【分析】
由已知得，这是一个直角三角形，则根据勾股定理即可求解．
【详解】
∵∠C=90°，
∴AB为斜边，
∴AC2+BC2=AB2，
∴AB=10.
故答案为10.
【点拨】本题利用了勾股定理来求解，是基础知识比较简单．
13．29
【解析】
【分析】
利用垂直平分线的可得：,因为,且,
所以.
【详解】
解：DE为AD的垂直平分线,
利用垂直平分线的可得：,
,且,
.
故答案为：29.
【点拨】本题主要考查垂直平分线的性质，结合题意可以求出答案.
14．4.
【解析】
【分析】
作DE⊥AB，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得到答案．
【详解】
解：作DE⊥AB于E，
∵BC=10，BD=6，
∴CD=BC-BD=4，
∵∠1=∠2，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=4，
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
15．：
【解析】
【分析】
根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
故答案为15．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，熟练运用等边对等角是关键.
16．直角
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列式求出，，的值，再根据勾股定理逆定理进行解答即可.
【详解】
解:根据题意得，x-3＝0，y-5＝0，z-4＝0
解得x＝3，y＝5，z＝4
又32+42=52
即x2+z2=y2
∴以，，为三边长的三角形是直角三角形
答案为:直角
【点拨】本题考查了绝对值非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键.
17．6
【解析】
【分析】
先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD=AD，由∠A=30°可知∠ABD=30°，故可得出∠DBC=30°，根据CD=3cm可得出BD的长，进而得出AD的长．
【详解】
解：连接BD，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，
∴AD=BD，DE⊥AB，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠DBC=30°，
∵CD=2，
∴BD=2CD=4，
∴AD=4，
∴AC=6.
【点拨】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
18．16
【解析】
【分析】
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE=OD=OF=2，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可作答．
【详解】
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OD，OD=OF，
即OE=OF=OD=2，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC，
=×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD，
=×2×（AB+AC+BC），
=×2×16=16，
故答案为16．
【点拨】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
19．
【解析】
【详解】
解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，=14cm，
∴AC=AB=7cm,
在ΔAFC中，∠AFC=∠D=45°，
∴CF=AC=7cm，
则阴影部分的面积是(cm)
故答案为：
20．12
【解析】
【分析】
作PH⊥OB于点H，根据角平分线的性质得到PH=DP=6，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：作PH⊥OB于点H，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，PH⊥OB，
∴PH=DP=6，
∴△OPE的面积=×OE×PH=×4×6=12，
故答案为：12．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
21．20
【解析】
【详解】
∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即∠A+2∠ACB=180°，
又∵∠A=40°，
∴，即∠DCB=70°，
∵BD⊥AC，
∴在Rt△BDC中，∠DCB+∠DBC=90°，
∴∠DBC=90°-∠DCB=90°-70°=20°.
故本题应填20.
22．9
【解析】
【详解】
∵OB是∠B的平分线，∴∠DBO=∠OBC．
又∵DE∥BC，∴∠OBC =∠BOD．∴∠DBO=∠BOD．∴DO=DB．
同理，EO=EC．
又∵AB=5，AC=4，
∴△ADE的周长=AD＋DE＋AE=AD＋DO＋EO＋AE=AD＋DB＋EC＋AE=AB＋AC=5＋4=9
故答案为：9
23．6
【解析】
【详解】
过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于E，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBE=30°，
在Rt△BCE中，∵BC=12，∠CBE=30°，
∴CE=BC=6．
故答案是6．
点睛：本题考查了含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．
24．30°或75°或120°
【解析】
【详解】
试题解析：当点O为等腰三角形顶点时，∠A=75°，
当点A为等腰三角形顶点时，∠A=120°，
当点P为顶点时，∠A=30°，
故答案为30°或75°或120°．
25．证明见解析.
【解析】
【分析】
要证是的中点，根据题意可知，证明为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．
【详解】
证明：连接，
在等边，且是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，为等腰三角形，
又，
是的中点．
【点拨】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．
26．证明见解析．
【解析】
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即可．
【详解】
解：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴CE=CD，BC=AC，
∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
在△CDA与△CEB中，，
∴△CDA≌△CEB．
【点拨】本题考查全等三角形的判定；等腰直角三角形．
27．见解析
【解析】
【分析】
由DE⊥AB,DF⊥AC，得出∠AED=∠AFD；因为AD是△ABC的角平分线，可得∠1=∠2，DE=DF，推出△AED≌△AFD，即AE=AF，所以点A在EF的垂直平分线上，又DE=DF，推出点D在EF的垂直平分线上，即可证明AD垂直平分EF；
【详解】
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，DE=DF，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∴点A在EF的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∵DE=DF，
∴点D在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF.
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的定义，全等三角形的性质，掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的定义，全等三角形的性质是解题的关键.
28．（1）45°；（2）随着两点的移动，的度数大小不会变化，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形的内角和和角平分线的性质即可得到答案；
（2）由于∠ABN是△AOB的外角，从而得到∠ABN=90°+∠BAO，再根据角平分线的性质及三角形外角定理可得∠CBD=45°+∠BAO，∠CBD=∠ACB+∠BAO；接下来通过等量代换可得即可得到∠ACB=45°，由此即可得到结论.
【详解】
（1） 因为，，所以，,
则根据角平分的性质可知，,则有；
（2）随着两点的移动，的度数大小不会变化.
理由如下：
∵平分
∴
∵平分
∴
∵是的一个外角
∴
∴
∵是的一个外角
∴
∴
【点拨】本题考查角平分线的性质和三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和三角形外角定理.