8.3 基本事实与定理 同步练习（含答案）

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第八章 平行线的有关证明
3 基本事实与定理
知识梳理
1.通过长期实践总结出来，并且被人们公认的________＿叫做公理.
2.除了公理外，其他真命题的正确性都通过___________的方法证实，经过证明的＿____＿＿叫做定理.
3.在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替，简称为“__________＿”.
4.证明一个命题的正确性，要按照“已知”“求证”“____________＿”的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的＿_________，“求证”是命题的__________＿，而“___________＿”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、基本事实和已经证明的________＿，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.
基础练习
1.下列命题称为公理的是( )
A.同角的补角相等 B.两点确定一条直线
C.邻补角的平分线互相垂直 D.内错角相等，两直线平行
2.“三角形的两边之和大于第三边”是一个( )
A.假命题 B.定义 C.定理 D.公理
3.有下列各项：①公理；②已证定理；③定义；④已知条件；⑤度量的结果；⑥观察到的结果；⑦等式的性质；⑧猜测的结果.其中，可作为推理依据的有( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
4.曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光.如图，A，B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是( )
A.两点之间，线段最短 B.平行于同一条直线的两条直线平行
C.垂线段最短 D.两点确定一条直线
5.有下列语句：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等，对应角相等；③二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解；④两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.其中，属于定理的是_______＿，属于公理的是＿_____＿，属于定义的是___________＿（填序号）.
6.求证：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
巩固提高
7.下列推理正确的是( )
A.∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1+∠3=90°
B.∵∠1+∠3=90°,∠3+∠2=90°,∴∠1=∠2
C.∵∠1与∠2是对顶角，∠2=∠3，∴∠1与∠3是对顶角
D.∵∠1与∠2是同位角，∠2与∠3是同位角，∴∠1与∠3是同位角
8.如图，“∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB”.这个推理的依据是( )
A.等量加等量和相等
B.等量减等量差相等
C.等量代换
D.整体大于部分
9.如果∠1+∠2=180°，∠3+∠2=180°，那么＿____＝＿_____.理由是____________＿_。
10.如图，∠A+∠B=90°，点D在线段AB上，点E在线段AC上，DF平分∠BDE，DF与BC交于点F.
(1)根据题意补全图形(尺规作图).
(2)若∠B+∠BDF=90°，求证：∠A=∠EDF.
证明：∵∠A+∠B=90°，∠B+∠BDF=90°（已知），
∴______________(_________________).
又∵_____________＿（已知），
∴∠BDF=∠EDF(___________________).
∴∠A=∠EDF(等量代换).
11.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB.
(1)若∠BOC=4∠AOC，求∠BOD的度数；
(2)若∠1=∠2，求证：OF⊥CD.
12.如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起.
(1)如图①，若CE恰好是∠ACD的平分线，则CD是∠ECB的__________，并进行证明.
(2)如图②，若∠ECD=a，CD在∠BCE的内部，请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等，并进行证明.
(3)在(2)的条件下，请问∠ECD与∠ACB的度数和是多少？请进行证明.
参考答案
[知识梳理]
1.真命题 2.推理 真命题 3.等量代换 4.证明 条件 结论 证明 定理
［基础练习］
1.B 2.C 3.A 4.A 5.①② ④ ③
6.已知：如图，在同一平面内，a⊥c，b⊥c.求证：a∥b.
证明：∵a⊥c，b⊥c，∴∠1=90°，∠2=90°.∴∠1=∠2.
又∵∠1与∵2是同位角，∴a∥b.
[巩固提高]
7.B 8.A 9.∠1 ∠3 同角的补角相等
10.(1)略
(2)∠A=∠BDF 同角的余角相等 DF平分∠BDE 角平分线的定义
11.(1)由邻补角的定义，得∠AOC+∠BOC=180°.
∵∠BOC=4∠AOC,∴4∠AOC+∠AOC=180°.∴∠AOC=36.
由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC=36°.
(2)∵OE⊥AB,∴∠AOE=90°.∴∠1+∠AOC=90°.
∵∠1=∠2，∴∠2+∠AOC=90°，即∠FOC=90°.∴OF⊥CD.
12.(1)平分线 ∵∠ACD=∠ACE+∠ECD=90°，∠ECB=∠ECD+∠DCB=90°,∴∠ACE=∠DCB.∴CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE=∠ECD.∴∠ECD=∠DCB.∴CD是∠ECB的平分线.
(2)∠ACE=∠DCB ∵∠ACD=90°,∠BCE=90°,∠ECD=a,∴∠ACE=90°-α,∠DCB=90°-α.∴∠ACE=∠DCB.
(3)∠ECD+∠ACB=180° ∠ECD+∠ACB=∠ECD+∠ACE+∠ECB=∠ACD+∠ECB=90°+90°=180°.
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