江西省吉安县第二中学2012-2013学年高二上学期第二次周考（理科数学）

吉安县第二中学2012~2013学年度第一学期
高二第二轮周考数学（理）试卷
2012.11.17
命题：张金生 审题：黄云昭
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1、直线的倾斜角是( )
（A）30° （B）120° （C）60° （D）150°
2．已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.
其中正确的个数为(　　)
A．0个　 B．1个 C．2个 D．3个
3.已知直线与直线0互相垂直，则实数为（ ）
A． B．0或2 C．2 D．0或
4.已知两条直线，则直线l1的一个方向向量是（ ）
A．（1，－） B．（－1，－1） C．（1，－1） D．（－1，－）
5、已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A． B． C．8 D．2
6．点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则(　　)
A．a＜－7或a＞24　 B．－7＜a＜24
C．a＝－7或a＝24 D．以上都不对
7．如图，一个空间几何体的主视图、左视图都是周长为4，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及一点，那么这个几何体的表面积为(　　)
A. B．π C. D．2π
8．在如图所示的坐标平面 的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数 z＝x＋ay取得最 小值的最优解有无数个，则的最大值是 ( )
A． B． C． D．
9．若点A(2，－3)是直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的公共点，则相异两点(a1，b1)和(a2，b2)所确定的直线方程是(　 　)
A．2x－3y＋1＝0 B．3x－2y＋1＝0 C．2x－3y－1＝0 D．3x－2y－1＝0
10．如图，已知球是棱长为1 的正方体的
内切球，则平面截球的截面面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11、点E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，且BD＝AC，则四边形EFGH是 ____.
12．过点，且横纵截矩相等的直线方程是
13．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是________．
14．已知，则x2＋y2的最小值为_____．
15．已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列命题：①α∥βl⊥m；②α⊥βl∥m；③l∥mα⊥β；④l⊥mα∥β.其中正确命题的序号是________．
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16.（本小题满分12分）已知两条直线l1?(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2?2x＋(5＋m)y＝8.当m分别为何值时，l1与l2：(1)相交？(2)平行？(3)垂直？
17．（本小题满分12分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.求该企业可获得最大利润。

18．（本小题满分12分）过点M(0,1)作直线，使它被两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．
19．（本小题满分13分）如图，四边形为矩形，平面，为上的点，且平面.（1）求证：平面；（2）求证：∥平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积.
20．（本小题满分13分在△ABC中，BC边上的高所在直线l1的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线l2的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求直线AC的方程。
21．（本小题满分13分）直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。（Ⅰ）求该几何体的体积；（Ⅱ）求证：EM∥平面ABC；
（Ⅲ）试问在棱DC上是否存在点N，使MN平面BDE？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由。
吉安县第二中学2012~2013学年度第一学期
高二第二轮周考数学（理）参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1、(D)
2．[答案]　B[解析]　b、c?平面α，a⊥α满足①②的条件，当b与c相交但不垂直时，①、②错；③正确．
3. B
4. B
5、D
6．答案　B解析　∵(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧．∴(9－2＋a)·(－12－12＋a)<0，即(a＋7)(a－24)<0，∴－77． [答案]　B[解析]　由三视图知，该几何体是两个同底的圆锥构成的组合体．圆锥的母线长为1，底半径为，∴表面积S＝2×(π××1)＝π.
8． B
9． A　 [解析]　∵2a1－3b1＋1＝0,2a2－3b2＋1＝0，∴(a1，b1)，(a2，b2)是直线2x－3y＋1＝0上的点．
10． A
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11、点E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，且BD＝AC，则四边形EFGH是 ____.菱形
12．过点，且横纵截矩相等的直线方程是 或
13．（理科）直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是________．
答案　x＋2y－3＝0，解析　在直线x－2y＋1＝0上任取两点(1,1)，(0，)，这两点关于直线x＝1的对称点分别为(1,1)，(2，)，过这两点的直线方程为y－1＝－(x－1)即x＋2y－3＝0.
14．已知，则x2＋y2的最小值为____5____．
15．已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列命题：①α∥βl⊥m；②α⊥βl∥m；③l∥mα⊥β；④l⊥mα∥β.其中正确命题的序号是________．
[答案]　①③?l⊥m，故①真； l∥m，
故②假；?α⊥β，故③真； α∥β，故④假．
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16.[解析]　当m＝－5时，显然l1与l2相交；当m≠－5时，易得两直线l1和l2的斜率分别为
k1＝－，k2＝－，它们在y轴上的截距分别为b1＝，b2＝.
(1)由k1≠k2，得－≠－，m≠－7且m≠－1.
∴当m≠－7且m≠－1时，l1与l2相交．
(2)由得解得m＝－7.∴当m＝－7时，l1与l2平行．
(3)由k1k2＝－1，得－·(－)＝－1，解得m＝－.∴当m＝－时，l1与l2垂直．
17.（本小题满分12分） 解析 设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系：
A原料
B原料
甲产品吨
3
2
乙产品吨

3
则有：
目标函数作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：
当＝3，＝5时可获得最大利润为27万元，故选D
18．（本小题满分12分）【解析】　解法一：过点M且与x轴垂直的直线是y轴，它和两已知直线的交点分别是(0，)和(0,8)，显然不满足中点是点M(0,1)的条件．故可设所求直线方程为y＝kx＋1，与两已知直线l1，l2分别交于A，B两点，联立方程组①
②。由①解得xA＝，由②解得xB＝，∵点M平分线段AB；
∴xA＋xB＝2xM，即＋＝0.解得k＝－，故所求直线方程为x＋4y－4＝0.
解法二：设所求直线与已知直线l1，l2分别交于A，B两点．∵点B在直线l2：2x＋y－8＝0上，故可设B(t,8－2t)．又M(0,1)是AB的中点，由中点坐标公式得A(－t,2t－6)．
∵A点在直线l1：x－3y＋10＝0上，∴(－t)－3(2t－6)＋10＝0，解得t＝4.
∴B(4,0)，A(－4,2)，故所求直线方程为x＋4y－4＝0.
19．（本小题满分12分）解：（1）证明：因为平面，∥,所以平面，则. 又因为平面，则,平面
（2）证明：依题意可知是中点. 因为平面，则.而所以是的中点. 在△中，∥,又因为平面，平面
,所以∥平面.
（Ⅲ）解： ∴，而
∴ ∴是中点 ∴是中点
∴且 ∴ ∴中，∴ ∴
20．（理科）（本小题满分13分【解】　如图，设C(x0，y0)，由题意知l1∩l2＝A，则
?即A(－1,0)．
又∵l1⊥BC，∴kBC·kl1＝－1，∴kBC＝＝＝－2.
∴由点斜式可得BC的直线方程为y－2＝－2(x－1)?2x＋y－4＝0.
又∵l2：y＝0(x轴)是∠A的平分线，∴B关于l2的对称点B′在直线AC上，易得B′点的坐标为(1，－2)，由两点式可得直线AC的方程为x＋y＋1＝0.由C(x0，y0)在直线AC和BC上，可得：?
　A(－1,0)，C(5，－6)，直线AC的方程是
21．（本小题满分13分）
解：由题意知，EA平面ABC，DC平面ABC，AE∥DC，AE=2，DC=4，
ABAC，且AC=2。
（Ⅰ）∵EA平面ABC，∴EAAB，又ABAC，∴AB平面ACDE
∴四棱锥B—ACDE的高，又梯形ACDE的面积S=6
∴
（Ⅱ）取BC的中点G，连结EM，MG，AG。∵M为DB的中点，∴MG∥DC，且MG=DC
∴MG∥AE，且MG=AE，所以，四边形AGME为平行四边形，∴EM∥AG
又EM平面ABC，AG平面ABC， ∴EM∥平面ABC；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知EM∥AG，又∵平面BCD底面ABC，AGBC，∴AG平面BCD
∴EM平面BCD，又∵EM平面BDE，∴平面BDE平面BCD
在平面BCD中，过M作MNDB交DC于点N，∴MN平面BDE，
此时点N为所求点
∵△DMN∽△DCB，∴，即，∴，即