2021--2022学年人教版八年级数学下册17.1勾股定理提高练习（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021--2022学年人教版八年级数学下册17.1勾股定理提高练习（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 306.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-09 12:54:52 | ||
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文档简介
17.1勾股定理提高练习
一、单选题
1．下列几组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．1.5，2，3.5 B．21，45，51
C．一3，-4，-5 D．8，15，17
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（ ）
A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2 C．a2＋c2＝b2 D．c2﹣a2＝b2
3．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ）
A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里
5．放学以后，红红和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若红红和晓晓行走的速度都是50米/分，红红用12分钟到家，晓晓用16分钟到家，红红家和晓晓家的直线距离为（ ）
A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定
6.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（ ）
A.1 B. C. D.2
7.如图，线段AB=、CD=，那么，线段EF的长度为（ ）
A． B． C． D．
8.在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（ ）
A.10 B.8 C.6或10 D.8或10
9．如图，在矩形中，，，点是边上一点，将沿折叠，使点落在点处.连结，当为直角三角形时，的长是（ ）
A． B． C．或 D．或
10．如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区
A．10 B．7 C．6 D．12
二、填空题
11．下列命题：①如果直角三角形的三边是a、b、c，那么；②一个等腰直角三角形的三边是a、b、c（a＞b=c），那么；③如果三条线段a、b、c满足，那么以这三条线段组成的三角形是直角三角形；④如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是一组勾股数．其中是真命题的是______．
12如图，有两棵树，一棵高 米，另一棵高 米，两树相距 米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行 米．
13如图，在直角三角形 中，，，，将 折叠，使 点落在 边上，交 于点 ，折痕为 ，则线段 的长为 ．
14如图，在 中，，，，点 是 的中点，点 是边 上一动点，沿 所在直线把 翻折到 的位置， 交 于点 ，若 为直角三角形，则 的长为 ．
15．如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点，△PQR周长的最小值是______．
三、解答题
16.如图,已知在△ABC中,∠B=60°,AC=70,AB=30.求BC的长.
17.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AC=2．求BC边上的高及△ABC的面积．
18.我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下两组勾股数：11、 ； 13、 ；
（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
19．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．
(1)若一个三角形的三边长分别是5，和2，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；
(2)若一个直角三角形是平方倍三角形，直角边长为，，斜边为c，求：：的值；
(3)如图，ABC中，BC＝2，CD为ABC的中线，且CD＝AB．若是平方倍三角形，求ABC的面积．
参考答案：
1．D 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B
11．②③④
12.
13.
14. 或
15．##
16.解：作于D，则因，
∴（的两个锐角互余）
∴
根据勾股定理，在中，.
根据勾股定理，在中，.
∴ .
17.解：∵AD⊥BC，∠C=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∵AD=CD．
∵AC=2，
∴2AD2=AC2，即2AD2=8，
解得：AD=CD=2．
∵∠B=30°，∴AB=2AD=4，
∴BD===2，
∴BC=BD+CD=2+2，
∴S△ABC=BC AD=（2+2）×2=2+2．
18.解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，
∴4=，12=，24=…
∴11，60，61；13，84，85；
（2）后两个数表示为和，
∵a2+（）2=a2+==，
=，∴a2+（）2=，
又∵a≥3，且a为奇数，∴由a，，三个数组成的数是勾股数．
19．(1)
解：结论：这个三角形是“平方倍三角形”．理由如下：
∵，，
∴，
∴这个三角形是“平方倍三角形”．
(2)
解：∵三角形为直角三角形，且直角边长为a和b，斜边为c，
∴由勾股定理可知：，
∵三角形是平方倍三角形，
∴或者，
当时：由①、②两式得到：，
整理得到：，即：，
再代入①中得到：，
∴；
当时：由①、③两式得到：，
整理得到：，即：，
再代入①中得到：，
∴；
综上所述：．
(3)
解：如下图所示：
∵CD为ABC的中线，
∴AD=BD=AB，
由已知CD＝AB，
∴AD=CD=BD，
∴∠DAC=∠DCA，∠DCB=∠DBC，
又△ABC内角和为180°，
∴∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°，
∴2∠DCA+2∠DCB=180°，
∴∠DCA+∠DCB=90°，即∠ACB=90°，
∴△ABC为直角三角形，
由已知条件是平方倍三角形可知：
设AD=CD=DB=x(x>0)，
情况一：当AD +CD =3AC 时：得到3AC =2x ，
∴，
在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC +BC =AB ，代入数据：
，解出(负值舍去)，
∴，
∴；
情况二：当AD +AC =3CD 时：得到AC =2x ，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC +BC =AB ，代入数据：
，解出(负值舍去)，
∴，
∴；
综上所述：△ABC的面积为或．
一、单选题
1．下列几组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．1.5，2，3.5 B．21，45，51
C．一3，-4，-5 D．8，15，17
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（ ）
A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2 C．a2＋c2＝b2 D．c2﹣a2＝b2
3．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ）
A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里
5．放学以后，红红和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若红红和晓晓行走的速度都是50米/分，红红用12分钟到家，晓晓用16分钟到家，红红家和晓晓家的直线距离为（ ）
A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定
6.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（ ）
A.1 B. C. D.2
7.如图，线段AB=、CD=，那么，线段EF的长度为（ ）
A． B． C． D．
8.在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（ ）
A.10 B.8 C.6或10 D.8或10
9．如图，在矩形中，，，点是边上一点，将沿折叠，使点落在点处.连结，当为直角三角形时，的长是（ ）
A． B． C．或 D．或
10．如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区
A．10 B．7 C．6 D．12
二、填空题
11．下列命题：①如果直角三角形的三边是a、b、c，那么；②一个等腰直角三角形的三边是a、b、c（a＞b=c），那么；③如果三条线段a、b、c满足，那么以这三条线段组成的三角形是直角三角形；④如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是一组勾股数．其中是真命题的是______．
12如图，有两棵树，一棵高 米，另一棵高 米，两树相距 米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行 米．
13如图，在直角三角形 中，，，，将 折叠，使 点落在 边上，交 于点 ，折痕为 ，则线段 的长为 ．
14如图，在 中，，，，点 是 的中点，点 是边 上一动点，沿 所在直线把 翻折到 的位置， 交 于点 ，若 为直角三角形，则 的长为 ．
15．如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点，△PQR周长的最小值是______．
三、解答题
16.如图,已知在△ABC中,∠B=60°,AC=70,AB=30.求BC的长.
17.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AC=2．求BC边上的高及△ABC的面积．
18.我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下两组勾股数：11、 ； 13、 ；
（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
19．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．
(1)若一个三角形的三边长分别是5，和2，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；
(2)若一个直角三角形是平方倍三角形，直角边长为，，斜边为c，求：：的值；
(3)如图，ABC中，BC＝2，CD为ABC的中线，且CD＝AB．若是平方倍三角形，求ABC的面积．
参考答案：
1．D 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B
11．②③④
12.
13.
14. 或
15．##
16.解：作于D，则因，
∴（的两个锐角互余）
∴
根据勾股定理，在中，.
根据勾股定理，在中，.
∴ .
17.解：∵AD⊥BC，∠C=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∵AD=CD．
∵AC=2，
∴2AD2=AC2，即2AD2=8，
解得：AD=CD=2．
∵∠B=30°，∴AB=2AD=4，
∴BD===2，
∴BC=BD+CD=2+2，
∴S△ABC=BC AD=（2+2）×2=2+2．
18.解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，
∴4=，12=，24=…
∴11，60，61；13，84，85；
（2）后两个数表示为和，
∵a2+（）2=a2+==，
=，∴a2+（）2=，
又∵a≥3，且a为奇数，∴由a，，三个数组成的数是勾股数．
19．(1)
解：结论：这个三角形是“平方倍三角形”．理由如下：
∵，，
∴，
∴这个三角形是“平方倍三角形”．
(2)
解：∵三角形为直角三角形，且直角边长为a和b，斜边为c，
∴由勾股定理可知：，
∵三角形是平方倍三角形，
∴或者，
当时：由①、②两式得到：，
整理得到：，即：，
再代入①中得到：，
∴；
当时：由①、③两式得到：，
整理得到：，即：，
再代入①中得到：，
∴；
综上所述：．
(3)
解：如下图所示：
∵CD为ABC的中线，
∴AD=BD=AB，
由已知CD＝AB，
∴AD=CD=BD，
∴∠DAC=∠DCA，∠DCB=∠DBC，
又△ABC内角和为180°，
∴∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°，
∴2∠DCA+2∠DCB=180°，
∴∠DCA+∠DCB=90°，即∠ACB=90°，
∴△ABC为直角三角形，
由已知条件是平方倍三角形可知：
设AD=CD=DB=x(x>0)，
情况一：当AD +CD =3AC 时：得到3AC =2x ，
∴，
在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC +BC =AB ，代入数据：
，解出(负值舍去)，
∴，
∴；
情况二：当AD +AC =3CD 时：得到AC =2x ，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC +BC =AB ，代入数据：
，解出(负值舍去)，
∴，
∴；
综上所述：△ABC的面积为或．