2021-2022学年八年级数学人教版下册17.1勾股定理同步习题（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年八年级数学人教版下册17.1勾股定理同步习题（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 292.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-09 20:03:40 | ||
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文档简介
17.1勾股定理 同步习题
一．选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝2，则b的长是（ ）
A． B．2 C．1 D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，其斜边上的高为（ ）
A．17cm B．8.5cm C．cm D．cm
3．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．每个直角三角形的两条直角边的长分别是3cm和6cm，则中间小正方形的面积是（ ）
A．9cm2 B．36cm2 C．27cm2 D．45cm2
4．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为64，小正方形面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），请观察图案，下列关系式中不正确的是（ ）
A．x2+y2＝64 B．x﹣y＝3 C．2xy+9＝64 D．x+y＝11
5．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则A，F两点间的距离是（ ）
A．14 B．6+ C．8+ D．10
6．如图，正方形ABCD的面积为25cm2，△ABP为直角三角形，∠APB＝90°，且PB＝3cm，那么AP的长为（ ）
A．5cm B．3cm C．4cm D．不能确定
7．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（ ）cm2．
A．14 B．10 C．48 D．20
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是（ ）
A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.5
9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为（ ）cm2．
A．3cm2 B．4cm2 C．7cm2 D．49cm2
10．如图，在中，，，AE平分，交于点，为AE上一点，且，，连接．过点作，垂足为点．则下列结论正确的有（ ）
①；②；③；④的面积为
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
11．在Rt△ABC中，斜边AB＝3，则AB2+BC2+CA2＝ ．．
12．如图，由Rt△ABC的三边向外作正方形，则字母B所代表的正方形的面积是 ．
13．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形ABC中，AC＝34，BC＝30，则阴影部分的面积是 ．
14．如图，△PCF中，PC＝PF，∠P＝30°，B为边PF上的一点，且∠BCP＝45°，BC＝2，则FB的长为 ．
15．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．
三．解答题
16．利用所学的知识计算：
（1）已知a＞b，且a2+b2＝13，ab＝6，求a﹣b的值；
（2）已知a、b、c为Rt△ABC的三边长，若a2+b2+25＝6a+8b，求Rt△ABC的周长．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60．
（1）求BC的长．
（2）求斜边AB边上的高．
18．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2﹣CD2．求证：AB＝BC．
参考答案
一．选择题
1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝2，
∴b＝＝＝．
故选：D．
2．解：在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，由勾股定理得到：AB＝＝17cm；
由AC BC＝CD AB得到：CD＝＝＝（cm），
故选：D．
3．解：根据题意得：
小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9（cm2），
故选：A．
4．解：根据勾股定理可得：x2+y2＝64①，（x﹣y）2＝9②，
①﹣②可得2xy＝55③，
∴2xy+9＝64，x﹣y＝3，
①+③得x2+2xy+y2＝119，
∴x+y＝，
∴选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
5．解：过点F作FG⊥AB交AB的延长线于点G，
则AG＝AB+CD+EF＝8，FG＝BC+DE＝6，
由勾股定理得，AF＝＝10，
故选：D．
6．解：∵正方形ABCD的面积为25cm2，
∴AB＝5
∵△ABP为直角三角形，∠APB＝90°，且PB＝3cm，
∴AP＝＝＝4cm．
故选：C．
7．解：由勾股定理得：＝10（cm），
∴阴影部分的面积＝10×2＝20（cm2）；
故选：D．
8．解：连接DF，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，
∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，
∴CF＝DF，
在△ADF和△ACF中，，
∴△ADF≌△ACF（SSS），
∴∠ADF＝∠ACF＝90°，
∴∠BDF＝90°，
设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2＝BF2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得：x＝1.5；
∴CF＝1.5；
故选：A．
9．解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
∴正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，
正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2，
又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，
∴正方形A、B、C、D的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）＝x2+y2＝72＝49cm2．
故选：D．
10．解：∵，AE平分
∴，
∴
∵
∴，故①正确；
∴
∴，故②错误；
∴
如图，连接BD
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴，故③错误；
∴，故④正确；
故选：B．
二．填空题
11．解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，
∴AC2+BC2＝AB2，又AB＝3，
∴AC2+BC2＝AB2＝9，
则AB2+BC2+CA2＝AB2+（BC2+CA2）＝9+9＝18．
故答案为：18
12．解：由图形可知，
AB2＝169，BC2＝25，∠BCA＝90°，
∴AC2＝169﹣25＝144，
即字母B所代表的正方形的面积是144，
故答案为：144．
13．解：由勾股定理得，AB2＝AC2﹣BC2＝342﹣302＝256，
∵四边形ABFD为正方形，
∴DF＝AB，
∴阴影部分的面积＝DE2+EF2＝DF2＝256，
故答案为：256．
14．解：如图，过B作BD⊥CP于D，则∠BDC＝∠BDP＝90°，
∵∠BCP＝45°，
∴△CBD是等腰直角三角形，
∴BD2+CD2＝BC2，BD＝CD，
∵BC＝2，
∴BD＝CD＝2．
在直角△BDP中，∵∠BDP＝90°，∠P＝30°，
∴BP＝2BD＝4，DP＝＝2，
∴PC＝CD+DP＝2+2，
∵PC＝PF，
∴PF＝2+2，
∴FB＝PF﹣BP＝2+2﹣4＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
15．解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
故答案为：20．
三．解答题
16．解：（1）∵a2+b2＝13，ab＝6，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝13﹣2×6＝1，
∵a＞b，
∴a﹣b＝1；
（2）∵a2+b2+25＝6a+8b，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
∴a＝3，b＝4，
当4是直角边时，斜边长＝＝5，
则Rt△ABC的周长＝3+4+5＝12，
当4是斜边时，另一条直角边长＝＝，
则Rt△ABC的周长＝3+4+＝7+，
综上所述，Rt△ABC的周长为12或7+．
17．解：（1）∵在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，
∴＝60，
即＝60，
解得，AB＝10，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，
∴BC＝＝＝6；
（2）作CF⊥AB于点F，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，，
∴，
解得，CF＝4.8，
即斜边AB边上的高是4.8．
18．证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2．
∵在△ACD中，CD⊥AD，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴AB2+BC2＝AD2+CD2，
又AD2＝2AB2﹣CD2，
∴AB2+BC2＝2AB2﹣CD2+CD2，
即AB2＝BC2，
∴AB＝BC．
一．选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝2，则b的长是（ ）
A． B．2 C．1 D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，其斜边上的高为（ ）
A．17cm B．8.5cm C．cm D．cm
3．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．每个直角三角形的两条直角边的长分别是3cm和6cm，则中间小正方形的面积是（ ）
A．9cm2 B．36cm2 C．27cm2 D．45cm2
4．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为64，小正方形面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），请观察图案，下列关系式中不正确的是（ ）
A．x2+y2＝64 B．x﹣y＝3 C．2xy+9＝64 D．x+y＝11
5．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则A，F两点间的距离是（ ）
A．14 B．6+ C．8+ D．10
6．如图，正方形ABCD的面积为25cm2，△ABP为直角三角形，∠APB＝90°，且PB＝3cm，那么AP的长为（ ）
A．5cm B．3cm C．4cm D．不能确定
7．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（ ）cm2．
A．14 B．10 C．48 D．20
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是（ ）
A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.5
9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为（ ）cm2．
A．3cm2 B．4cm2 C．7cm2 D．49cm2
10．如图，在中，，，AE平分，交于点，为AE上一点，且，，连接．过点作，垂足为点．则下列结论正确的有（ ）
①；②；③；④的面积为
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
11．在Rt△ABC中，斜边AB＝3，则AB2+BC2+CA2＝ ．．
12．如图，由Rt△ABC的三边向外作正方形，则字母B所代表的正方形的面积是 ．
13．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形ABC中，AC＝34，BC＝30，则阴影部分的面积是 ．
14．如图，△PCF中，PC＝PF，∠P＝30°，B为边PF上的一点，且∠BCP＝45°，BC＝2，则FB的长为 ．
15．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．
三．解答题
16．利用所学的知识计算：
（1）已知a＞b，且a2+b2＝13，ab＝6，求a﹣b的值；
（2）已知a、b、c为Rt△ABC的三边长，若a2+b2+25＝6a+8b，求Rt△ABC的周长．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60．
（1）求BC的长．
（2）求斜边AB边上的高．
18．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2﹣CD2．求证：AB＝BC．
参考答案
一．选择题
1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝2，
∴b＝＝＝．
故选：D．
2．解：在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，由勾股定理得到：AB＝＝17cm；
由AC BC＝CD AB得到：CD＝＝＝（cm），
故选：D．
3．解：根据题意得：
小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9（cm2），
故选：A．
4．解：根据勾股定理可得：x2+y2＝64①，（x﹣y）2＝9②，
①﹣②可得2xy＝55③，
∴2xy+9＝64，x﹣y＝3，
①+③得x2+2xy+y2＝119，
∴x+y＝，
∴选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
5．解：过点F作FG⊥AB交AB的延长线于点G，
则AG＝AB+CD+EF＝8，FG＝BC+DE＝6，
由勾股定理得，AF＝＝10，
故选：D．
6．解：∵正方形ABCD的面积为25cm2，
∴AB＝5
∵△ABP为直角三角形，∠APB＝90°，且PB＝3cm，
∴AP＝＝＝4cm．
故选：C．
7．解：由勾股定理得：＝10（cm），
∴阴影部分的面积＝10×2＝20（cm2）；
故选：D．
8．解：连接DF，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，
∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，
∴CF＝DF，
在△ADF和△ACF中，，
∴△ADF≌△ACF（SSS），
∴∠ADF＝∠ACF＝90°，
∴∠BDF＝90°，
设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2＝BF2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得：x＝1.5；
∴CF＝1.5；
故选：A．
9．解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
∴正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，
正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2，
又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，
∴正方形A、B、C、D的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）＝x2+y2＝72＝49cm2．
故选：D．
10．解：∵，AE平分
∴，
∴
∵
∴，故①正确；
∴
∴，故②错误；
∴
如图，连接BD
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴，故③错误；
∴，故④正确；
故选：B．
二．填空题
11．解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，
∴AC2+BC2＝AB2，又AB＝3，
∴AC2+BC2＝AB2＝9，
则AB2+BC2+CA2＝AB2+（BC2+CA2）＝9+9＝18．
故答案为：18
12．解：由图形可知，
AB2＝169，BC2＝25，∠BCA＝90°，
∴AC2＝169﹣25＝144，
即字母B所代表的正方形的面积是144，
故答案为：144．
13．解：由勾股定理得，AB2＝AC2﹣BC2＝342﹣302＝256，
∵四边形ABFD为正方形，
∴DF＝AB，
∴阴影部分的面积＝DE2+EF2＝DF2＝256，
故答案为：256．
14．解：如图，过B作BD⊥CP于D，则∠BDC＝∠BDP＝90°，
∵∠BCP＝45°，
∴△CBD是等腰直角三角形，
∴BD2+CD2＝BC2，BD＝CD，
∵BC＝2，
∴BD＝CD＝2．
在直角△BDP中，∵∠BDP＝90°，∠P＝30°，
∴BP＝2BD＝4，DP＝＝2，
∴PC＝CD+DP＝2+2，
∵PC＝PF，
∴PF＝2+2，
∴FB＝PF﹣BP＝2+2﹣4＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
15．解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
故答案为：20．
三．解答题
16．解：（1）∵a2+b2＝13，ab＝6，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝13﹣2×6＝1，
∵a＞b，
∴a﹣b＝1；
（2）∵a2+b2+25＝6a+8b，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
∴a＝3，b＝4，
当4是直角边时，斜边长＝＝5，
则Rt△ABC的周长＝3+4+5＝12，
当4是斜边时，另一条直角边长＝＝，
则Rt△ABC的周长＝3+4+＝7+，
综上所述，Rt△ABC的周长为12或7+．
17．解：（1）∵在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，
∴＝60，
即＝60，
解得，AB＝10，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，
∴BC＝＝＝6；
（2）作CF⊥AB于点F，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，，
∴，
解得，CF＝4.8，
即斜边AB边上的高是4.8．
18．证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2．
∵在△ACD中，CD⊥AD，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴AB2+BC2＝AD2+CD2，
又AD2＝2AB2﹣CD2，
∴AB2+BC2＝2AB2﹣CD2+CD2，
即AB2＝BC2，
∴AB＝BC．