2021-2022学年人教版八年级下册数学 17.1勾股定理 同步习题（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版八年级下册数学 17.1勾股定理 同步习题（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 208.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-09 19:55:02 | ||
图片预览
文档简介
17.1勾股定理 同步习题
一．选择题
1．在△ABC中，AB＝17，AC＝10，高AD＝8，则△ABC的周长是（ ）
A．21 B．36 C．48 D．36或48
2．直角三角形的周长为22，斜边长为10，则其面积为（ ）
A．22 B．11 C．24 D．48
3．在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝ B．∠BAC＝90°
C．S△ABC＝10 D．点A到直线BC的距离是2
4．如图，数轴上的点A表示的数是0，点B表示的数是3，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A． B．+2 C．﹣2 D．2
5．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ）
A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2﹣b2＝c2 D．a2+b2＝c2
6．如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则在△ABC中，边长为无理数的边有（ ）
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
7．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为（ ）
A．或 B． C． D．或
8．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．13 B．26 C．34 D．47
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1﹣S2+S3+S4等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
10．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2018 C．2019 D．2020
二．填空题
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，且AC＝DC＝AB，若AD＝，则BD＝ ．
12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，∠B＝30°，若AD＝4，则CB的长等于 ．
13．如图，以Rt△ABC的两条直角边为边长作两个正方形，面积分别为121，3600，则斜边AC＝ ．
14．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1.0，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S4＝ ．
15．如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，∠ABC＝∠DAC＝90°，∠ABD＝15°，AB＝BC＝2，则BE长为 ．
三．解答题
16．在我区“五水绕城”生态环境提升项目中，有一块三角形空地将进行绿化，如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上的一点，CE＝50，BC＝130，BE＝120．
（1）判断△ABE的形状，并说明理由．
（2）求△ABC的周长．
17．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2﹣CD2．求证：AB＝BC．
18．如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上．BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．
（1）在探究长方形ACDF的面积S时，我们可以用两种不同的方法：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，△ABE组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S．
请根据以上材料，填空：
方法一：S＝ ．
方法二，S＝S△ABC+S△BDE+SAEF+S△ABE＝ab+b2﹣a2+c2．
（2）由于（1）中的两种方法表示的都是长方形ACDP的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．
（3）请直接运用（2）中的结论，求当c＝10，a＝6，S的值．
参考答案
一．选择题
1．解：分两种情况：
①如图1所示：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴BD＝＝＝15，CD＝＝＝6，
∴BC＝BD+CD＝15+6＝21；
此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC＝17+10+21＝48．
②如图2所示：
同①得：BD＝15，CD＝6，
∴BC＝BD﹣CD＝15﹣6＝9；
此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC＝17+10+9＝36．
综上所述：△ABC的周长为48或36．
故选：D．
2．解：设这个直角三角形的一条直角边为x，则另一条边为22﹣10﹣x，
由勾股定理得，x2+（12﹣x）2＝102，
化简得，x（12﹣x）＝22，
∴这个直角三角形的面积等于×x（12﹣x）＝×22＝11．
故选：B．
3．解：由题意可得，
AB＝＝2，故选项A正确；
AC＝＝，
BC＝＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，故选项B正确；
∴S△ABC＝＝5，故选项C错误；
作AD⊥BC于点D，
则＝5，
即＝5，
解得，AD＝2，
即点A到直线BC的距离是2，故选项D正确；
故选：C．
4．解：∵点A表示的数是0，点B表示的数是3，
∴AB＝3，
又∵CB⊥AB于点B，且BC＝2，
∴Rt△ABC中，AC＝＝＝，
∵AC＝AD，
∴AD＝，
∴点D表示的数为，
故选：A．
5．解：根据题意得：S＝（a+b）（a+b），S＝ab+ab+c2，
（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得：a2+b2＝c2．
故选：D．
6．解：由题意：AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝5，
则在△ABC中，边长为无理数的边有2条．
故选：B．
7．解：当△ABC是锐角三角形，如图1，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
由勾股定理得，AC＝＝＝2，
∵AB＝2AC，
∴AB＝4，
∴BD＝4﹣1＝3，
∴BC＝＝＝2，
当△ABC是钝角三角形，如图2，
同理得：AC＝2，AB＝4，
∴BC＝＝＝2，
则BC的长为2或2，
故选：D．
8．解：由勾股定理得，正方形F的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝32+52＝34，
同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积＝22+32＝13，
∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝47，
故选：D．
9．解：过F作AM的垂线交AM于D，
可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，
所以S2＝SRt△ABC．
由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3＝S△FPT，
又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC．
易证Rt△ABC≌Rt△EBN，
∴S4＝SRt△ABC，
∴S1﹣S2+S3+S4
＝（S1+S3）﹣S2+S4
＝SRt△ABC﹣SRt△ABC+SRt△ABC
＝6﹣6+6
＝6，
故选：B．
10．解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2＝c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．
推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1＝2020．
故选：D．
二．填空题
11．解：∵AD＝，∠C＝90°，AC＝DC，
∴AC＝CD＝1，
∵AC＝DC＝AB，
∴AB＝2，
∴BC＝＝，
∴BD＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．解：过点C作CE∥AD交AB于E，
则∠CEB＝∠A＝60°，
∴∠ECB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
在Rt△ECB中，∠B＝30°，
∴BE＝2CE，
∵CE∥AD，AB∥CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∴CE＝AD＝4，
∴BE＝2CE＝8，
由勾股定理得，BC＝＝＝12，
故答案为：12．
13．解：∵AB2+BC2＝AC2，即121+3600＝112+602＝612，
∴AC2＝612．
∴AC＝61．
故答案是：61．
14．解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2＝1，S2+S3＝1.21，S3+S4＝1.44，
∴S1+S4＝1.23．
故填：1.23．
15．解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝＝＝4，
过点B作BF⊥AC于F，
则BF＝CF＝AF＝AC＝2，∠FBA＝45°，
∵∠ABD＝15°，
∴∠FBE＝30°，
∴EF＝BE，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2＝BF2+EF2，
即BE2＝（2）2+（BE）2，
解得BE＝4，BE＝﹣4（舍去）．
故答案为：4．
三．解答题
16．解：（1）△ABE是直角三角形，
理由：∵BC2＝1302＝16900，BE2＝1202＝14400，CE2＝502＝2500，
∴BE2+CE2＝BC2＝16900，
∴∠BEC＝90°，
∴BE⊥AC，
∴△ABE是直角三角形．
（2）设AB＝AC＝x，则AE＝x﹣50，
由（1）可知△ABE是直角三角形，
∴BE2+AE2＝AB2，
∴1202+（x﹣50）2＝x2，
解得x＝169．
∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝169+169+130＝468．
17．证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2．
∵在△ACD中，CD⊥AD，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴AB2+BC2＝AD2+CD2，
又AD2＝2AB2﹣CD2，
∴AB2+BC2＝2AB2﹣CD2+CD2，
即AB2＝BC2，
∴AB＝BC．
18．解：（1）S＝b（a+b）＝ab+b2．
故答案为S＝ab+b2；
（2）由题意得：，
∴2ab+2b2＝2ab+b2﹣a2+c2，
∴a2+b2＝c2；
（3）∵a2+b2＝c2，且c＝10，a＝6，
∴62+b2＝102，
∴b＝8，
∴S＝ab+b2＝6×8+64＝112．
答：S的值为112．
一．选择题
1．在△ABC中，AB＝17，AC＝10，高AD＝8，则△ABC的周长是（ ）
A．21 B．36 C．48 D．36或48
2．直角三角形的周长为22，斜边长为10，则其面积为（ ）
A．22 B．11 C．24 D．48
3．在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝ B．∠BAC＝90°
C．S△ABC＝10 D．点A到直线BC的距离是2
4．如图，数轴上的点A表示的数是0，点B表示的数是3，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A． B．+2 C．﹣2 D．2
5．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ）
A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2﹣b2＝c2 D．a2+b2＝c2
6．如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则在△ABC中，边长为无理数的边有（ ）
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
7．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为（ ）
A．或 B． C． D．或
8．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．13 B．26 C．34 D．47
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1﹣S2+S3+S4等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
10．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2018 C．2019 D．2020
二．填空题
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，且AC＝DC＝AB，若AD＝，则BD＝ ．
12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，∠B＝30°，若AD＝4，则CB的长等于 ．
13．如图，以Rt△ABC的两条直角边为边长作两个正方形，面积分别为121，3600，则斜边AC＝ ．
14．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1.0，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S4＝ ．
15．如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，∠ABC＝∠DAC＝90°，∠ABD＝15°，AB＝BC＝2，则BE长为 ．
三．解答题
16．在我区“五水绕城”生态环境提升项目中，有一块三角形空地将进行绿化，如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上的一点，CE＝50，BC＝130，BE＝120．
（1）判断△ABE的形状，并说明理由．
（2）求△ABC的周长．
17．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2﹣CD2．求证：AB＝BC．
18．如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上．BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．
（1）在探究长方形ACDF的面积S时，我们可以用两种不同的方法：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，△ABE组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S．
请根据以上材料，填空：
方法一：S＝ ．
方法二，S＝S△ABC+S△BDE+SAEF+S△ABE＝ab+b2﹣a2+c2．
（2）由于（1）中的两种方法表示的都是长方形ACDP的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．
（3）请直接运用（2）中的结论，求当c＝10，a＝6，S的值．
参考答案
一．选择题
1．解：分两种情况：
①如图1所示：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴BD＝＝＝15，CD＝＝＝6，
∴BC＝BD+CD＝15+6＝21；
此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC＝17+10+21＝48．
②如图2所示：
同①得：BD＝15，CD＝6，
∴BC＝BD﹣CD＝15﹣6＝9；
此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC＝17+10+9＝36．
综上所述：△ABC的周长为48或36．
故选：D．
2．解：设这个直角三角形的一条直角边为x，则另一条边为22﹣10﹣x，
由勾股定理得，x2+（12﹣x）2＝102，
化简得，x（12﹣x）＝22，
∴这个直角三角形的面积等于×x（12﹣x）＝×22＝11．
故选：B．
3．解：由题意可得，
AB＝＝2，故选项A正确；
AC＝＝，
BC＝＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，故选项B正确；
∴S△ABC＝＝5，故选项C错误；
作AD⊥BC于点D，
则＝5，
即＝5，
解得，AD＝2，
即点A到直线BC的距离是2，故选项D正确；
故选：C．
4．解：∵点A表示的数是0，点B表示的数是3，
∴AB＝3，
又∵CB⊥AB于点B，且BC＝2，
∴Rt△ABC中，AC＝＝＝，
∵AC＝AD，
∴AD＝，
∴点D表示的数为，
故选：A．
5．解：根据题意得：S＝（a+b）（a+b），S＝ab+ab+c2，
（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得：a2+b2＝c2．
故选：D．
6．解：由题意：AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝5，
则在△ABC中，边长为无理数的边有2条．
故选：B．
7．解：当△ABC是锐角三角形，如图1，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
由勾股定理得，AC＝＝＝2，
∵AB＝2AC，
∴AB＝4，
∴BD＝4﹣1＝3，
∴BC＝＝＝2，
当△ABC是钝角三角形，如图2，
同理得：AC＝2，AB＝4，
∴BC＝＝＝2，
则BC的长为2或2，
故选：D．
8．解：由勾股定理得，正方形F的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝32+52＝34，
同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积＝22+32＝13，
∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝47，
故选：D．
9．解：过F作AM的垂线交AM于D，
可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，
所以S2＝SRt△ABC．
由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3＝S△FPT，
又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC．
易证Rt△ABC≌Rt△EBN，
∴S4＝SRt△ABC，
∴S1﹣S2+S3+S4
＝（S1+S3）﹣S2+S4
＝SRt△ABC﹣SRt△ABC+SRt△ABC
＝6﹣6+6
＝6，
故选：B．
10．解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2＝c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．
推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1＝2020．
故选：D．
二．填空题
11．解：∵AD＝，∠C＝90°，AC＝DC，
∴AC＝CD＝1，
∵AC＝DC＝AB，
∴AB＝2，
∴BC＝＝，
∴BD＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．解：过点C作CE∥AD交AB于E，
则∠CEB＝∠A＝60°，
∴∠ECB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
在Rt△ECB中，∠B＝30°，
∴BE＝2CE，
∵CE∥AD，AB∥CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∴CE＝AD＝4，
∴BE＝2CE＝8，
由勾股定理得，BC＝＝＝12，
故答案为：12．
13．解：∵AB2+BC2＝AC2，即121+3600＝112+602＝612，
∴AC2＝612．
∴AC＝61．
故答案是：61．
14．解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2＝1，S2+S3＝1.21，S3+S4＝1.44，
∴S1+S4＝1.23．
故填：1.23．
15．解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝＝＝4，
过点B作BF⊥AC于F，
则BF＝CF＝AF＝AC＝2，∠FBA＝45°，
∵∠ABD＝15°，
∴∠FBE＝30°，
∴EF＝BE，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2＝BF2+EF2，
即BE2＝（2）2+（BE）2，
解得BE＝4，BE＝﹣4（舍去）．
故答案为：4．
三．解答题
16．解：（1）△ABE是直角三角形，
理由：∵BC2＝1302＝16900，BE2＝1202＝14400，CE2＝502＝2500，
∴BE2+CE2＝BC2＝16900，
∴∠BEC＝90°，
∴BE⊥AC，
∴△ABE是直角三角形．
（2）设AB＝AC＝x，则AE＝x﹣50，
由（1）可知△ABE是直角三角形，
∴BE2+AE2＝AB2，
∴1202+（x﹣50）2＝x2，
解得x＝169．
∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝169+169+130＝468．
17．证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2．
∵在△ACD中，CD⊥AD，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴AB2+BC2＝AD2+CD2，
又AD2＝2AB2﹣CD2，
∴AB2+BC2＝2AB2﹣CD2+CD2，
即AB2＝BC2，
∴AB＝BC．
18．解：（1）S＝b（a+b）＝ab+b2．
故答案为S＝ab+b2；
（2）由题意得：，
∴2ab+2b2＝2ab+b2﹣a2+c2，
∴a2+b2＝c2；
（3）∵a2+b2＝c2，且c＝10，a＝6，
∴62+b2＝102，
∴b＝8，
∴S＝ab+b2＝6×8+64＝112．
答：S的值为112．