2022年人教版九年级数学下册第二十七章 相似（二） 单元测试（Word版含答案）

初中数学九年级下册相似模拟试题（二）
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，，则（ ）
A．6 B．18 C．4 D．9
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE＝45°，DE交AC于点E，下列结论：①△ADE与△ACD一定相似；②△ABD与△DCE一定相似；③当AD＝3时，；④0＜CE≤2．其中正确的结论有几个？（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，△ADC中，AD＝AC，延长CD至B，使BD＝CD，ED⊥BC交AB于E，EC交AD于F，下列四个结论：①EB＝EC；②△BDE∽△BAC；③△ABC∽△FCD；④若AC＝6，则DF＝3，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．10.5
5．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则△ABC的面积与△DEF的面积比为（ ）
A． B． C．2 D．4
6．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．18
7．下列各组长度的线段(单位：cm)中，成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
8．如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，过点C作于点R，交线段于点K，再过点C作分别交边，于点P、Q，矩形的面积为3，矩形的面积为6，则的长为（ ）
A．4.5 B．5 C． D．
9．已知，那么下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．．
10．如图，与位似，原点O是它们的位似中心，已知点C的坐标为，点的坐标为，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在中，，，，，的平分线BD交AC于点E，______．
12．已知，那么（a﹣b）：a＝___．
13．如图，ABC的两条中线BE，CD交于点M．某同学得出以下结论：①；②ADE∽ABC；③；④．其中结论正确的是：________（只填序号）．
14．如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝10，P为CD边上的动点，当DP＝______时，△ADP与△BCP相似．
15．如图，，，，，则__．
三、解答题
16．探究：如图①，四边形ABCD为正方形，，求证：．
拓展：如图②，在中，，，，于点E，交AB于F，则BF的值为______．
17．如图，以点为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
18．已知：如图，梯形ABCD中，，，是对角线BD上一点，，．
（1）求证:；
（2）如果，求AD的长．
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参考答案：
1．B
【详解】
解：∵AE=2ED，AD=AE+DE=3DE，
∴ ，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD，
∴∠DEF=∠BCF，∠EDF=∠CBF，
，
，
∴，
，
．
故选：B．
2．A
【详解】
解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝＝4．
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADE＝∠C＝45°．
∵∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD．
∴①正确；
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣45°＝135°．
∵∠B＝45°，
∴∠ADB+∠BAD＝180°45°＝135°．
∴∠BAD＝∠EDC．
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE．
∴②正确；
由①知：△ADE∽△ACD，
∴．
∴AD2＝AE AC．
∴．
∴．
∴③正确；
∵点D是边BC上一动点（不与B，C重合），
∴0＜AD＜4．
∵垂线段最短，
∴当AD⊥BC时，AD取得最小值＝BC＝2．
∴2≤AD＜4．
∵AD2＝AE AC，
∴AE＝＝．
∴2≤AE＜4．
∵EC＝AC﹣AE＝4﹣，
∴0＜CE≤2．
∴④正确．
综上，正确的结论有：①②③④．
故选：A．
3．C
【详解】
∵BD＝CD，ED⊥BC，ED=ED
∴△BDE≌△CDE（SAS），
∴EB＝EC，∠ABC=∠ECB
又∵AD＝AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴△ABC∽△FCD
∵BD＝CD
∴△ABC∽△FCD相似比为2：1
∴AC：DF=2：1
∴AC＝6，DF＝3
故正确，共3个正确．
故选：C．
4．D
【详解】
∵A1B1∥A2B2
∴∠A1A2B1=∠A2A3B2
∵A2B1∥A3B2
∴∠A1A2B1=∠A2A3B2
∴ △A1A2B1∽△A2A3B2（AA）
同理可证△A2A3B2∽△A3A4B3，△A2B1B2∽△A3B2B3
∵△A2B1B2∽△A3B2B3，，
∴，
又∵△A1A2B1∽△A2A3B2
∴
设之间的距离为h，则：，
∴
又∵
∴
∴，
∵，△A1A2B1∽△A2A3B2
∴
∴，
同理有，
∴图中三个阴影三角形面积之和为：
，
故选：D．
5．B
【详解】
解：如图，设正方形网格中小方格的边长为1，
则有AB=1，BC=，AC=，DE=2，EF=，DF=，
∴，
∴△ABC∽△EDF，
∴S△ABC：S△DEF=，
故选：B．
6．B
【详解】
解：∵与是位似图形，且，
与的位似比是．
则周长：周长，
∵△ABC的周长为2，
∴周长
故选：B．
7．C
【详解】
A.2：：，故四条线段不成比例，不符合题意，
B.：：，故四条线段不成比例，不符合题意，
C.：：，故四条线段成比例，符符合题意，
D.：：，故四条线段不成比例，不符合题意．
故选：C．
8．C
【详解】
∵矩形的面积为3，矩形的面积为6，
∴正方形AFGB的面积为9，
∴AB=3，AK=1，BK=2，
∵∠CAB=∠KAC，∠ACB=∠AKC=90°，
∴△ACK∽△ABC，
∴，即，
解得：，
∴BC==，
∵，，四边形AFGB是正方形，
∴PQ//AB，
∵四边形CBHI是正方形，
∴AC//BQ，
∴四边形ABQC是平行四边形，
∴CQ=AB=3，∠PCD=∠ABC，
∵∠PDC=∠ACB=90°，
∴△PCD∽△ABC，
∴，
∵四边形EACD是正方形，
∴AC=CD，
∴，
解得：PC=，
∴PQ=PC+CQ=3+．
故选：C．
9．C
【详解】
解：∵a：b=2：3的两内项是b、2，两外项是a、3，
∴3a=2b，
A：由以上解释易知A选项错误，不符题意；
B：，即，故错误，不符题意；
C： ，即，故正确，符合题意；
D：，即3a=4b，故错误，不符题意；
故选C．
10．D
【详解】
∵与位似，原点O是它们的位似中心，点C的坐标为，点的坐标为
∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为，
∴，
故选：D．
11．5
【详解】
解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CDE，
∵CD∥AB，
∴∠D=∠ABE，
∴∠D=∠CBE，
∴CD=BC=6，
∴△AEB∽△CED，
∴，
∴，
∴AE=5，
故答案为：5．
12．1：3
【详解】
解：∵
∴设，
∴（a﹣b）：a＝
故答案为：1：3
13．①②④
【详解】
解：∵BE是边AC上的中线，CD是AB边上的中线，
∴点E为AC边的中点，点D为AB边的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，故结论①正确；
∴∠AED=∠ACB，∠ADE=∠ABC
∴△ADE∽△ABC，故结论②正确；
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC,DE=BC
∴
∴
∴，故③错误；
∵DE//BC
∴
∴
∴，故④正确；
∴正确的结论是①②④
故答案为：①②④
14．2或5或8
【详解】
∵四边形ABCD是矩形
∴BC=AD=4，CD=AB=10
当△ADP∽△PCB时，，即
∴DP(10 DP)=16
即
解得：DP=2或DP=8
当△ADP∽△BCP时，
∴DP=PC
∵DP+PC=10
∴DP=5
综上所述，当DP的长为2或5或8时，△ADP与△BCP相似．
故答案为：2或5或8
15．
【详解】
解：////，
，
，，，
，
解得：，
故答案为：．
16．探究：见解析，拓展：
【详解】
探究：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF＝∠D＝90°，
∴∠DAE+∠BAE＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴BF＝AE；
拓展：作BG⊥CB，交CF延长线于点G，
∵，
∴∠ACB＝∠CBG＝∠CED＝90°，
∴∠G+∠GCB＝90°，∠EDC+∠GCB＝90°，BG∥CA；
∴∠G＝∠EDC，
在△ACD和△CBG中，
，
∴△ACD≌△CBG（ASA），
∴BG＝CD；
∵BG∥CA；
∴△BGF∽△ACF，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：
17．（1）证明见解析；（2）．
【详解】
证明：（1）如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，即，
又是的半径，
是的切线；
（2）设的半径为，则，
，
，
在中，，即，
解得，
，
在和中，，
，
，即，
解得．
18．（1）见解析；（2）
【详解】
解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴．
（2）∵梯形ABCD中，，，
∴
又∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
设，，
∴，
解得（舍去负值），
∴，即．
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