2021-2022学年山西省临汾市尧都区九年级（上）期末数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年山西省临汾市尧都区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）已知的半径是 5 ，点到圆心的距离是 7 ，则点与的位置关系是　　
A ． 点在上 B ． 点在内
C ． 点在外 D ． 点与圆心重合
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
3．（3分）如图，在中，所对的圆周角，若为上一点，，则的度数为　　
A． B． C． D．
4．（3分）抛物线的对称轴是　　
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
5．（3分）已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
6．（3分）当时，关于的一元二次方程的根的情况为　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7．（3分）把边长为3的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的周长是　　
A． B．6 C． D．
8．（3分）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是　　
A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
9．（3分）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为　　
A． B． C． D．
10．（3分）如图，是矩形的对角线，是的内切圆，现将矩形按如图所示的方式折叠，使点与点重合，折痕为．点，分别在边，上，连接，．若，且的半径长为1，则下列结论不成立的是　　
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）一个正多边形的每个外角都等于，那么这个正多边形的中心角为　　．
12．（3分）一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是　　．
13．（3分）二次函数的最大值是　　．
14．（3分）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为　　．
15．（3分）点的坐标为，把点绕着坐标原点逆时针旋转到点，那么点的坐标是 　　．
16．（3分）如图，与关于点成中心对称，，，，则的长是　　．
17．（3分）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是　　．
18．（3分）如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形．现测得当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离是．这时，离开水面处，涵洞的宽为　　．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）解方程：．
20．（6分）已知关于的方程无解，方程的一个根是．
（1）求和的值；
（2）求方程的另一个根．
21．（8分）如图：绕点逆时针方向旋转得到，其中，．
（1）若平分时，求的度数．
（2）若时，与交于点，求旋转角的度数．
22．（6分）如图，已知是坐标原点，、两点的坐标分别为，，将绕点逆时针旋转90度，得到△，画出△，并写出、两点的对应点、的坐标，
23．（8分）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字2，3，4，5．图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子在桌面掷出后，看骰子落在桌面上（即底面）的数字是几，就从图中的点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法继续
（1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是　　．
（2）随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点处的概率．
24．（10分）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万与3.6万，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
25．（10分）如图，以的边为直径画，交于点，半径，连接，，，设交于点，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
26．（12分）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，直线交轴于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，将沿直线平移得到．
①当点落在抛物线上时，求点的坐标．
②在移动过程中，存在点使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
参考答案与解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）已知的半径是 5 ，点到圆心的距离是 7 ，则点与的位置关系是　　
A ． 点在上 B ． 点在内
C ． 点在外 D ． 点与圆心重合
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断 ．
【解答】解：的半径是 5 ，点到圆心的距离是 7 ，
即点到圆心的距离大于圆的半径，
点在外 ．
故选：．
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义可直接得到答案．
【解答】解：、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；
、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；
、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
3．（3分）如图，在中，所对的圆周角，若为上一点，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出的度数，进而由角的和差求得结果．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
4．（3分）抛物线的对称轴是　　
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【分析】根据题目中抛物线的解析式，可以写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．
【解答】解：抛物线，
该抛物线的对称轴为直线，
故选：．
5．（3分）已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．
【解答】解：当时，；
当时，；
所以．
故选：．
6．（3分）当时，关于的一元二次方程的根的情况为　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】由可得出，根据方程的系数结合根的判别式可得出△，由偶次方的非负性可得出，即△，由此即可得出关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：，
．
△．
，
，
△，
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：．
7．（3分）把边长为3的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的周长是　　
A． B．6 C． D．
【分析】由边长为3的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，利用勾股定理的知识求出的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求，，从而可求四边形的周长．
【解答】解：连接，
旋转角，，
在对角线上，
，
在△中，，
，
在等腰中，，
在直角三角形中，，
，
四边形的周长是：．
故选：．
8．（3分）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是　　
A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
【分析】二次函数
①常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．
②抛物线与轴交点个数．
△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
【解答】解：．由于二次函数的图象与轴交于正半轴，所以，故错误；
．二次函数的图象与轴由2个交点，所以，故错误；
．当时，，即，故错误；
．因为，，所以对称轴为直线，故正确．
故选：．
9．（3分）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为　　
A． B． C． D．
【分析】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中使的有6种结果，
关于的一元二次方程有实数解的概率为，
故选：．
10．（3分）如图，是矩形的对角线，是的内切圆，现将矩形按如图所示的方式折叠，使点与点重合，折痕为．点，分别在边，上，连接，．若，且的半径长为1，则下列结论不成立的是　　
A． B． C． D．
【分析】设与的切点为，连接并延长交于点，证明，得到，．设，，，的半径为，是的内切圆可得，所以．在中，利用勾股定理求得（舍去），从而求出，的值，所以．再设，在中，，，，由勾股定理可得，解得，从而得到，．即可解答．
【解答】解：如图，
设与的切点为，连接并延长交于点，
将矩形按如图所示的方式折叠，使点与点重合，折痕为，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，．
，
．
设，，，的半径为，
是的内切圆可得，
．
在中，由勾股定理可得，
整理得，
又即，代入可得，
解得（舍去），
，
．
再设，在中，，，，
由勾股定理可得，
解得，
，．
综上只有选项错误，
故选：．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）一个正多边形的每个外角都等于，那么这个正多边形的中心角为　　．
【分析】正多边形的一个外角的度数与正多边形的中心角的度数，据此即可求解．
【解答】解：正多边形的每一个外角等于，则中心角的度数是．
故答案为：．
12．（3分）一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是　　．
【分析】先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【解答】解：由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，
黑色方砖在整个地板中所占的比值，
小球最终停留在黑色区域的概率是；
故答案为：．
13．（3分）二次函数的最大值是　6　．
【分析】因为二次项系数为，开口向下，有最大值，即顶点坐标的纵坐标，．
【解答】解：，
有最大值，
由题意得：当时，有最大值为6，
故答案是：6．
14．（3分）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为　　．
【分析】根据“，是关于的一元二次方程的两个实数根，且”，结合根与系数的关系，列出关于的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：根据题意得：，，
，
，
经检验，符合题意，
故答案为：．
15．（3分）点的坐标为，把点绕着坐标原点逆时针旋转到点，那么点的坐标是 　　．
【分析】如图，作轴于，轴于．构造全等三角形解决问题即可．
【解答】解：如图，作轴于，轴于．
，
，，
，，
，
，，
△，
，，
．
故答案为：．
16．（3分）如图，与关于点成中心对称，，，，则的长是　　．
【分析】利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．
【解答】解：与关于点成中心对称，
，
，，
，
，
，
故答案为．
17．（3分）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是　9　．
【分析】设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的周长结合图形可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再根据正方形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：设小长方形的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：或（舍去），
则．
所以．
故答案为：9．
18．（3分）如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形．现测得当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离是．这时，离开水面处，涵洞的宽为　　．
【分析】根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为．根据，涵洞顶点到水面的距离为，那么点坐标应该是，利用待定系数法即可求出函数的解析式，继而求出点的坐标及的长．
【解答】解：抛物线，
点在抛物线上，将，
它的坐标代入，
求得，
所求解析式为．
再由条件设点坐标为，
则有：．，
解得：，
所以宽度为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）解方程：．
【分析】把方程的左边分解因式得到，推出方程，，求出方程的解即可
【解答】解：，
，
，，
，．
20．（6分）已知关于的方程无解，方程的一个根是．
（1）求和的值；
（2）求方程的另一个根．
【分析】（1）根据分式方程无解，即，解得，把分式方程转化为整式方程，即可求出的值，再把的值代入方程，即可求出的值；
（2）方程，利用分解因式解方程，即可解答．
【解答】解：关于的方程无解，
，
解得，
方程去分母得：，
把代入得：．
把代入方程得：，
解得：．
（2）方程，
，
，，
方程的另一个根为3．
21．（8分）如图：绕点逆时针方向旋转得到，其中，．
（1）若平分时，求的度数．
（2）若时，与交于点，求旋转角的度数．
【分析】（1）由三角形的内角和定理可求，由角平分线的性质可求解；
（2）由旋转的性质可得，由三角形内角和可求旋转角的度数．
【解答】解：（1），，
，
平分，
；
（2）绕点逆时针方向旋转得到，
，旋转角为，
，
，
旋转角为．
22．（6分）如图，已知是坐标原点，、两点的坐标分别为，，将绕点逆时针旋转90度，得到△，画出△，并写出、两点的对应点、的坐标，
【分析】利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、即可．
【解答】解：如图，△为所作，点，的坐标分别为，．
23．（8分）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字2，3，4，5．图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子在桌面掷出后，看骰子落在桌面上（即底面）的数字是几，就从图中的点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法继续
（1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是　　．
（2）随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点处的概率．
【分析】（1）当底面数字为2时，可以到达点，根据概率公式计算即可；
（2）利用列表法统计即可；
【解答】解：（1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是，
故答案为；
（2）列表如图：
共有16种可能，和为8可以到达点，有3种情形，所以棋子最终跳动到点处的概率为．
24．（10分）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万与3.6万，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
【分析】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为，根据题意列方程即可得到结论；
（2）根据题意列式计算结论．
【解答】解：（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为，
根据题意得，，
解得：，（不合题意舍去），
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为；
（2）万，
（个，即六月份应至少14个，
（个，即五月份销售点应为12个
则需增加（个，
故至少再增加2个销售点．
25．（10分）如图，以的边为直径画，交于点，半径，连接，，，设交于点，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）求出的度数，求出，根据切线判定推出即可；
（2）连接，分别求出三角形面积和扇形面积，即可求出答案．
【解答】证明：（1）是的直径，
，
，
，，
，
，
是的切线；
（2）连接，
，且，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为，
阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积．
26．（12分）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，直线交轴于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，将沿直线平移得到．
①当点落在抛物线上时，求点的坐标．
②在移动过程中，存在点使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【分析】（1）抛物线的表达式为：，即：，即可求解；
（2）①将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解）；②分为直角、为直角、为直角三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：，
即：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
令，解得：或，故点，
函数的对称轴为：，故点；
（2）由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，
，则点，
①将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
故点的坐标为，或，；
②点，点、的坐标分别为、，
则，，，
当为直角时，
由勾股定理得：，
解得：；
当为直角时，
同理可得：，
当为直角时，
同理可得：，
故点的坐标为：或，或，或，．