2.2探索直线平行的条件 课件（共39张PPT）

(共39张PPT)
第二章 平行线与相交线
2.2 探索直线平行的条件
2021-2022学年七年级数学下册（北师大版）
如图，装修工人正在向墙上钉木条.如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a与木条b平行？
情景引入
想一想：
生活中的问题能用数学知识解决吗？
a
c
b
a
b
c
如图，三根木条相交成∠1， ∠2，固定木条b，c，转动木条a.
当∠1＞∠2时
当∠1＝∠2时
当∠1＜∠2时
①直线a和b不平行
②直线 a和b平行
③直线a和b不平行
做一做
F
探究∠1与∠5的位置关系：
①在直线EF的同旁（右边）
②在直线AB、CD的同一侧（上方）
A
C
B
D
E
1
2
3
4
5
6
7
8
1
5
∠2和∠6；∠3和∠7；∠4和∠8
图中的同位角还有哪些？
具有∠1与∠5这样位置关系的角称为同位角.
一、同位角的概念
图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角.
变式图形：图中的∠1与∠2都是同位角.
1
2
1
2
1
2
1
2
●
一、放
二、靠
三、推
四、画
用三角尺和直尺画平行线的方法.
二、利用同位角相等判定两条直线平行
●
问题 在画图过程中，三角尺起着什么样的作用？
思考 要判断两直线平行，你有办法了吗？
b
A
2
1
a
B
（1）这样的画法可以看作是怎样的图形变换？
（2）画图过程中，什么角始终保持相等？
（3）直线a，b位置关系如何？
问题
（4）请将其最初和最终的特殊位置抽象成几何图形：
1
2
l2
l1
A
B
(5) 由上面的操作过程，你能发现判定两直线平行的
方法吗？
判定方法1：两条直线被第三条直线所截 ,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
应用格式：
∵∠1=∠2(已知)
∴l1∥l2
（同位角相等，两直线平行）
1
2
l2
l1
A
B
总结归纳
A
C
E
F
2
3
B
1
D
１．如图，∠1=∠2=55°，∠3等于多少度？直线AB，CD平行吗？说明你的理由．
知识应用
变式2：如图，∠1=55°，∠2=125°，∠3等于
多少度？直线AB，CD平行吗？说明你的理由．
知识应用
变式1：如图，∠1=∠2=55°，∠3等于多少度？直线AB，CD平行吗？说明你的理由．
E
F
2
C
A
3
B
1
D
变式1
C
A
E
F
2
3
B
1
D
变式2
在下图中转动木条 a 的过程中，有几个位置使得直线 a 与 b 平行？ 如图 ，过点 B 画直线 a 的平行线，能画出几条？再过点 C 画直线 a 的平行线，它和前面过点 B 画出的直线平行吗？
a
B
C
三、平行公理及其推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
a
B
C
平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
如果 b∥a，c∥a，那么 b∥c.
A
B
C
D
E
F
2
7
6
4
没有公共顶点的角的位置关系
内错角
1、它们在被截直线AB、
CD_________.
2、在截线EF的
___________.
1
8
3
5
两侧(交错)
我们把具有∠3和∠5这种位置关系的角叫内错角.
∠4和∠6
之间(之内)
四、内错角的概念
知2－讲
例2 如图，试找出图中与∠2是同位角、内错角的角．
导引：在AF和AG被DE所截的这个基本图形中，可以
看出∠6和∠2处于“同一个位置”，因此，
∠2的同位角为∠6，∠2和∠8是内错角．
解： ∠2的同位角为∠6，∠2的内错角为∠8.
总 结
寻找一个角的同位角、内错角，首先应该把这个
角放在一个“三线八角”的基本图形中，其次不管是
同位角，还是内错角，它们具有一个共同特征，这两
个角有一对边在同一直线上，这条直线就是定义中的
“第三条直线”，而这两个角剩下的两边所在的直线
就是两条被截的直线 ；最后看这两个角的位置特征是
否满足同位角、内错角的位置特征：三边成“F ” 、
“Z ”形．
简单说成: 内错角相等，两直线平行.
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
符号语言：如图
∵ ∠3=∠4（已知）
∴ a∥b
（内错角相等，两直线平行）
3
4
a
b
c
五、利用内错角相等判定两直线平行
交流与发现：
如图，∠1与∠2互补，直线a与直线b平行吗？为什么？
由此，又得到怎样的方法去判定两条直线平行呢？
（第2题）
1
2
b
3
a
c
知1－讲
例1 如图，∠AEF＝∠EFC，则下列结论中正 确
的是(　　)
A．AD∥BC　　　
B．AB∥CD
C．AD∥EF　　 　
D．EF∥BC
导引：∠AEF和∠EFC是直线AB,CD被直线EF所截
得到的内错角，根据“内错角相等，两直线平
行”可知，AB∥CD.
B
总 结
利用内错角相等来判定两直线平行的方法：
(1)看两角是不是两直线被第三条直线截得的角；
(2)看两角是不是由上述直线形成的内错角，若是，
看其是否相等．若相等，则两条直线平行．
例2 如图，已知∠ADE＝60°，DF平分∠ADE，
∠1＝30°，试
说明：DF∥BE.
导引：要想说明DF∥BE，可通过说明∠1＝∠EDF
来实现，由于∠1＝30°，所以只需求出∠EDF
＝30°，而这个结论可通过DF是∠ADE的平分
线来求得．
解：∵DF平分∠ADE(已知)，
∴∠EDF＝ ∠ADE(角平分线的定义)．
又∵∠ADE＝60°，　　
∴∠EDF＝30°.
又∵∠1＝30°(已知)，
∴∠EDF＝∠1，
∴DF∥BE(内错角相等，两直线平行)．
A
B
C
D
E
F
2
7
6
没有公共顶点的角的位置关系
同旁内角
1、它们在两条被截直线AB、
CD_____________.
2、在截线EF的
____________.
1
8
4
5
3
6
之间(之内)
同一旁(同侧)
我们把具有∠3和∠6这种位置关系的角叫同旁内角.
∠4和∠6
六、同旁内角的概念
分别指出下列图中的同旁内角
解：(1)∠3与∠5，∠4与∠6；
(2) ∠2与∠3．
练一练
探究
遇到一个新问题时，常常把它转化为已知的(或已
解决的)问题. 这一节中，我们是怎样利用“同位角相
等，两直线平行”得到“内错角相 等，两直线平行”
的？你能利用“同位角相等，两直线平行”或“内错
角相等，两直线平行”得到“同旁内角互补，两直线
平行”吗？
七、利用同旁内角互补判定两直线平行
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，
那么这两条直线平行．
简称：同旁内角互补，两直线平行．
表达方式：如图：
∵∠1＋∠2＝180°(已知)，
∴a∥b(同旁内角互补，两
直线平行)．
例1 如图，直线AE，CD相交于点O，如果∠A＝
110°，∠1＝70°，就可以说明AB∥CD，
这是为什么？

导引：由题意可知∠1＝∠AOD＝70°，
又∵∠A＝110°,
∴∠A＋∠AOD＝180°，故 AB∥CD.
解：因为∠1＝∠AOD(对顶角相等)，∠1＝70°，
所以∠AOD＝70°.
又因为∠A＝110°，
所以∠A＋∠AOD＝180°(等式的性质)．
所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
总 结
1．本题运用数形结合思想．平行线的判定是由角之间
的数量关系到“形”的判定．要判定两直线平行，可
围绕截线找同位角、内错角或同旁内角，若同位角
相等、内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行．
2．用同位角相等、内错角相等或同旁内角互补中的一
个方法说明两直线平行时，一般都要通过结合对顶角、
邻补角等知识来说明．
例2 如图，∠1＝65°，∠2＝65°，∠3＝115°，试
说明(1)DE∥BC； (2)DF∥AB.
根据图形，完成下列推理：
(1)∵∠1＝65°，∠2＝65°，
∴∠1＝∠2.
∴_____∥_____(　　　 　)．
(2)∵AB，DE相交，∴∠1＝∠4(　　　 )．
∴∠4＝65°，又∵∠3＝115°，
∴∠3＋∠4＝180°，
∴_____∥____(　 　　 　)．
同旁内角互补，两直线平行
DE
BC
同位角相等，两直线平行
对顶角相等
DF
AB
∠1与∠2是直线DE，BC被直线AB所截得到的同
位角，所以DE∥BC，理由是“同位角相等，两直
线平行”．∠1与∠4是两条直线AB与DE相交得到
的对顶角，所以∠1＝∠4，理由是“对顶角相等”，
∠3与∠4是直线DF，AB被直线DE所截得到的同
旁内角，所以DF∥AB，理由是“同旁内角互补，
两直线平行”．
导引：
总 结
(1)由两角相等或互补关系，判定两条直线平行，其
关键是找出两个角是哪两条直线被哪一条直线所
截而成的角．
(2)是选用两角相等，还是选用互补关系说明两直线
平行，应根据实际图形，灵活运用其中一种方法
说明即可．
1.已知：如图，a⊥c,b⊥c。求证：a∥b。
1
2
a
b
c
结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的
两条直线互相平行。
八、同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行
判定两直线平行的方法：
方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两
条直线就是平行线．
方法二：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这
两条直线也互相平行．
方法三：同位角相等，两直线平行．
方法四：内错角相等，两直线平行．
方法五：同旁内角互补，两直线平行．
方法六：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直
线平行．
课堂小结
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php