5.1曲线运动能力提升
1．如图所示，在光滑的水平地面上有一个表面光滑的立方体M，一轻杆L与水平地面成角，轻杆的下端用光滑铰链连接于O点，O固定于地面上，轻杆的上端连接质量为m的小球，小球靠在立方体左侧，立方体右侧受到水平向左推力F的作用．整个装置处于静止状态．若现在撤去水平推力F，则下列说法中正确的是（ ）
A．在小球和立方体分离前，小球速率等于立方体速率
B．小球和立方体分离时小球加速度为零
C．小球在落地的瞬间和立方体分离
D．小球和立方体分离时小球只受重力
2．质量为0.2kg的物体，其速度在x，y方向的分量vx，vy，与时间的关系如图所示，已知x．y方向相互垂直，则（ ）
A．0~4s内物体做直线运动
B．4~6s内物体的位移为
C．0~4s内物体的位移为12m
D．0~6s内物体一直做曲线运动
3．甲、乙两船在静水中航行速度分别为v1和v2，两船从同一位置划向河对岸，已知甲船想以最短时间过河，乙船想以最短航程过河，结果两船抵达到岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用时间比
A．v12：v22 B．v22：v12
C．v1：v2 D．v2：v1
4．某一物体在y方向（竖直方向且向上方向为正方向）和x方向（水平方向）运动的v-t图象如图甲、乙所示。对于物体在0～8s内运动情况，下列说法正确的是 （ ）
A．物体在2s时刻处于失重状态
B．物体在0～4s这段时间内沿直线飞行
C．物体在4s时上升至最高点
D．物体在4s～8s时间内做匀变速运动
5．如图所示，一条河岸笔直的河流水速恒定，甲、乙两小船同时从河岸的A点沿与河岸的夹角均为的两个不同方向渡河。已知两小船在静水中航行的速度大小相等，则下列说法正确的是（ ）
A．甲先到达对岸 B．乙先到达对岸
C．渡河过程中，甲的位移小于乙的位移 D．渡河过程中，甲的位移大于乙的位移
6．如图，、、 三个物体用轻绳经过滑轮连接，物体、的速度向下，大小均为，则物体的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
7．如图是一种创新设计的“空气伞”，它的原理是从伞柄下方吸入空气，然后将空气加速并从顶部呈环状喷出形成气流，从而改变周围雨水的运动轨迹，形成一个无雨区，起到传统雨伞遮挡雨水的作用。在无风的雨天，若“空气伞”喷出的气流水平，则雨水从气流上方穿过气流区至无气流区的运动轨迹可能与下列四幅图中哪一幅类似（ ）
A． B． C． D．
8．河水的流速随离河岸一侧的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则下列说法中不正确的是（ ）
A．船渡河的最短时间是60s
B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹不是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5m/s
10．如图所示，有一不可伸长的轻绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接，连接物体B的绳最初水平。从当前位置开始，使物体B以速度v沿杆匀速向下运动，设绳的拉力为T，在此后的运动过程中，物体A做_______运动（选填“加速”、“减速”或“匀速”），绳子拉力T_______（选填“>”、“=”或“<”）。
11．巡逻船位于宽180m的河边，在静水中的最大速度为，水流速度恒为。巡警发现对岸有紧急情况，则到达对岸的最短时间是________s。如果巡逻船要以最短距离到达对岸，所用的时间是________s。
12．小船在静水中的速度是 5m/s，河水均匀流动，流速是 3m/s，河宽 100m，小船渡河过程中始终保持船头指向与河岸垂直，则渡河时间是__s，小船以最小位移到达对岸的时间是____s。
13．一条河，宽为80m.水流速度为4m/s，一艘船在静水中的速度为3m/s，则该小船渡河时,小船__（能不能）到达正对岸；以最短位移渡河时，位移大小为_____；渡河时间最少短为___，最短时间渡河时，实际位移与水流方向夹角正切值是____.
14．如图所示，一根长为L的轻杆OA，O端用铰链固定，轻杆靠在一个高为h的物块上，某时杆与水平方向的夹角为θ，物块向右运动的速度v，则此时A点速度为_______
15．一小球质量m=1.0×10-2kg，通过细线悬挂于空中，现给小球施加水平方向恒力F1作用，小球静止，细线与竖直方向的夹角θ=45°，如图所示。现以小球静止位置为坐标原点O，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其中x轴水平。现剪断细线，经0.1s，F1突然反向，大小不变；再经0.1s，撤去水平力F1同时施加另一恒力F2，又经0.1s小球速度为零。已知g取10m/s2，空气阻力不计。求：
（1）F1和F2大小；
（2）细线剪断0.3s末小球的位置坐标。
16．离地面足够高的某点O处有两个球A、B紧靠在一起，它们用长为L=20m的轻绳连着，两个球质量均为m=1kg，大小忽略可视为质点。两个球除受到重力以外，还同时受到大小为F1=10N的水平向右的恒力作用。由静止同时释放两个球，经过t1=1s后，施加在A球上的力突然反向水平向左，且大小变为F2=30N，而施加在B球上的力不变。又经过一段时间轻绳恰好拉直，此时球A运动到P点。设重力加速度g=10m/s2。(结果可以保留根式)，求：
(1)球A的位移OP的大小和方向。
(2)球A刚经过P点时的速度大小。
17．如图所示，在足够高的竖直墙面上A点，以水平速度v0=10m/s向左抛出一个质量为m=1kg的小球，小球抛出后始终受到水平向右的恒定风力的作用，风力大小F=5N，经过一段时间小球将再次到达墙面上的B点处，重力加速度为g=10m/s2，则在此过程中：（注意：计算结果可用根式表示）
（1）小球水平方向的速度为零时距墙面的距离？
（2）墙面上A、B两点间的距离？
（3）小球速度的最大值？
（4）小球速度的最小值？5.1曲线运动能力提升
1．如图所示，在光滑的水平地面上有一个表面光滑的立方体M，一轻杆L与水平地面成角，轻杆的下端用光滑铰链连接于O点，O固定于地面上，轻杆的上端连接质量为m的小球，小球靠在立方体左侧，立方体右侧受到水平向左推力F的作用．整个装置处于静止状态．若现在撤去水平推力F，则下列说法中正确的是（ ）
A．在小球和立方体分离前，小球速率等于立方体速率
B．小球和立方体分离时小球加速度为零
C．小球在落地的瞬间和立方体分离
D．小球和立方体分离时小球只受重力
【答案】D
【分析】小球一方面随着立方体向右运动，一方面竖直向下运动，将小球的速度沿着水平方向和竖直方向正交分解，可以得到小球在水平方向的分速度；再对整体在水平方向上应用牛顿第二定律分析．
【详解】
A．将小球的运动分解为水平方向和竖直方向，小球水平方向的速度与立方体的速度相等：
根据图中分解速度可知：
小球的速率大于立方体的速率，故A错误；
B．二者分离时，小球做圆周运动，加速度不为零，故B错误；
C．分离瞬间小球速度水平分量等于立方体的速度，所以立方体会在小球落在水平地面之前离开小球，故C错误；
D．分离瞬间，小球与物块在弹力方向上的速度和加速度相同，也就是水平方向上小球和物块的加速度相同，物块的加速度为0，小球在水平方向上的加速度也为0，那么杆对小球的作用力为0，所以小球只受重力，故D正确．
【点睛】掌握运动的合成与分解是解决本题的关键．
2．质量为0.2kg的物体，其速度在x，y方向的分量vx，vy，与时间的关系如图所示，已知x．y方向相互垂直，则（ ）
A．0~4s内物体做直线运动
B．4~6s内物体的位移为
C．0~4s内物体的位移为12m
D．0~6s内物体一直做曲线运动
【答案】B
【解析】A． 0~4s内，在x方向做匀速运动，在y方向做匀加速运动，因此物体做匀变速曲线运动运动，A错误；
B．由图象与时间轴围成的面积等于物体的位移，4~6s内，在x方向物体的位移为2m，在y方向物体的位移为4m，物体位移为
B正确；
C．0~4s内，在x方向物体的位移为4m，在y方向物体的位移为12m，物体位移为
C错误；
D．将4~6s内物体运动倒过来，相当于初速度为零，在x方向和y方向加速度都恒定，即物体加速度恒定，因此在这段时间内物体做初速度为零的匀加速直线运动，因此原题中在这段时间内物体做匀减速度直线运动，最终速度减为零，D错误。
故选B。
3．甲、乙两船在静水中航行速度分别为v1和v2，两船从同一位置划向河对岸，已知甲船想以最短时间过河，乙船想以最短航程过河，结果两船抵达到岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用时间比
A．v12：v22 B．v22：v12
C．v1：v2 D．v2：v1
【答案】B
【解析】
【详解】两船抵达的地点相同，知合速度方向相同，甲船静水速垂直于河岸，乙船的静水速与合速度垂直，如图
两船的合位移相等，则渡河时间之比等于两船合速度之反比，则有
联立解得
ACD错误，B正确。
故选B。
【点睛】关键是知道两船的合速度方向相同；两船抵达的地点相同，合速度方向相同，甲船静水速度垂直于河岸，乙船的静水速度与合速度垂直；两船的合位移相等，则渡河时间之比等于两船合速度之反比。
4．某一物体在y方向（竖直方向且向上方向为正方向）和x方向（水平方向）运动的v-t图象如图甲、乙所示。对于物体在0～8s内运动情况，下列说法正确的是 （ ）
A．物体在2s时刻处于失重状态
B．物体在0～4s这段时间内沿直线飞行
C．物体在4s时上升至最高点
D．物体在4s～8s时间内做匀变速运动
【答案】D
【详解】A．依据图象可知，物体在2s时刻，在竖直方向上向上做匀加速直线运动，而在水平方向上则是做匀减速直线运动，则物体有竖直向上的加速度，那么物体处于超重状态，不是失重状态，A错误；
B．由图象可知，物体在0～4s这段时间内，竖直初速度等于零，水平初速度不等于零，合初速度沿水平方向，竖直方向向上做匀加速直线运动，而水平方向做匀减速直线运动，则合加速度与合初速度不共线，所以物体做曲线运动， B错误；
C．物体在竖直方向，先向上做匀加速度直线，后向上做匀减速直线运动，因此在第8s末上升至最高点，C错误；
D．物体在4s～8s时间内，水平方向做匀速直线运动，而竖直方向向上做匀减速直线运动，加速度不变，因此合运动做匀变速运动，D正确。
故选D。
5．如图所示，一条河岸笔直的河流水速恒定，甲、乙两小船同时从河岸的A点沿与河岸的夹角均为的两个不同方向渡河。已知两小船在静水中航行的速度大小相等，则下列说法正确的是（ ）
A．甲先到达对岸 B．乙先到达对岸
C．渡河过程中，甲的位移小于乙的位移 D．渡河过程中，甲的位移大于乙的位移
【答案】C
【详解】
AB．两小船在静水中航行的速度大小相等，且与河岸夹角均为30°，所以船速在垂直于河岸方向上的分速度相等；根据运动的独立性，船在平行于河岸方向上的分速度不影响过河时间，所以甲、乙两船同时到达对岸，AB错误；
CD．甲船在平行河岸方向上的速度为：
乙船在平行河岸方向上的速度为：
两船在平行河岸方向上的位移分别为，，则，又两船在垂直河岸方向上的位移一样，综上，渡河过程中，甲的位移小于乙的位移，C正确D错误。
故选C。
【点睛】运动的合成与分解中要注意独立性的应用，两个分运动是相互独立，互不干扰的，将船的运动分解为垂直河岸方向和沿河岸方向，根据分运动与合运动具有等时性进行分析。
6．如图，、、 三个物体用轻绳经过滑轮连接，物体、的速度向下，大小均为，则物体的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
将速度分解为沿绳子方向和垂直与绳子方向，根据平行四边形定则，则有
则
故选D。
【点睛】
解决本题的关键知道沿绳子方向上的速度是如何分解，将C的速度分解，沿绳子方向的分速度大小等于小物体的速度大小,掌握运动的合成与分解的方法。
7．如图是一种创新设计的“空气伞”，它的原理是从伞柄下方吸入空气，然后将空气加速并从顶部呈环状喷出形成气流，从而改变周围雨水的运动轨迹，形成一个无雨区，起到传统雨伞遮挡雨水的作用。在无风的雨天，若“空气伞”喷出的气流水平，则雨水从气流上方穿过气流区至无气流区的运动轨迹可能与下列四幅图中哪一幅类似（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】AB．气流对雨滴有排斥力，当雨滴接近空气伞时，受到水平方向的作用力，将产生水平方向的加速度，此时雨滴所受的合力与运动的方向不在一条直线上，所以其运动轨迹将逐渐发生弯曲，速度的方向不能发生突变，故AB错误。
CD．雨滴原来的运动方向沿是竖直方向向下，当受到水平方向的作用力后，水平方向做匀加速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，从受力点开始，合外力和速度成锐角，雨滴所做的运动的轨迹一定是向合外力方向发生弯曲，故C正确，D错误。
故选C。
【点睛】明确曲线运动的条件，即主要看所受合外力的方向与初速度的方向的关系，这是判断是否做曲线运动的依据。
8．河水的流速随离河岸一侧的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则下列说法中不正确的是（ ）
A．船渡河的最短时间是60s
B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹不是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5m/s
【答案】A
【详解】
AB．当船头垂直河岸渡河时，过河时间为最短
A错误，B正确；
CD．因河水的速度是变化的，故船相对于岸的速度的大小和方向均是变化的，船在河水中航行的轨迹不是一条直线，当船在河中心时，船速最大
CD正确。
故选A。
10．如图所示，有一不可伸长的轻绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接，连接物体B的绳最初水平。从当前位置开始，使物体B以速度v沿杆匀速向下运动，设绳的拉力为T，在此后的运动过程中，物体A做_______运动（选填“加速”、“减速”或“匀速”），绳子拉力T_______（选填“>”、“=”或“<”）。
【答案】 加速 >
【解析】
【详解】
[1]
由图可知绳端的速度为
与B的位置有关，因为B为匀速运动，B下降过程中α变大，因此物体A做加速运动；
[2]物体A做加速运动，所以绳子拉力
T>
11．巡逻船位于宽180m的河边，在静水中的最大速度为，水流速度恒为。巡警发现对岸有紧急情况，则到达对岸的最短时间是________s。如果巡逻船要以最短距离到达对岸，所用的时间是________s。
【答案】 60 75
【详解】
[1]船头垂直河岸行驶时到达对岸的时间最短，有
[2]由于船速小于水速，所以船不能垂直到达对岸，巡逻船要以最短距离到达对岸，行驶如图：
根据几何关系可知
解得
所以巡逻船以最短距离到达对岸所用的时间
12．小船在静水中的速度是 5m/s，河水均匀流动，流速是 3m/s，河宽 100m，小船渡河过程中始终保持船头指向与河岸垂直，则渡河时间是__s，小船以最小位移到达对岸的时间是____s。
【答案】 20 25
【详解】
[1]小船渡河过程中始终保持船头指向与河岸垂直，渡河时间最短，最短渡河的时间为
[2]当实际航线与河岸垂直，则合速度的方向垂直于河岸，设合速度与对岸方向成角，根据平行四边形定则有
则以最小位移到达对岸的时间
13．一条河，宽为80m.水流速度为4m/s，一艘船在静水中的速度为3m/s，则该小船渡河时,小船__（能不能）到达正对岸；以最短位移渡河时，位移大小为_____；渡河时间最少短为___，最短时间渡河时，实际位移与水流方向夹角正切值是____.
【答案】 不能 106.7m 26.7s 0.75
【详解】
因为水流速度大于静水中的船速，所以船在水中的合速度方向不可能垂直河岸，小船不能到达正对岸．
当船以最短位移过河时，船在水中的合速度方向与河岸所成锐角最大，此时的速度合成(三角形定则)如图：
则，船过河的最短位移.
最短时间渡河时，渡河时间，此时的速度合成(三角形定则)如图：
实际位移与水流方向夹角正切值.
14．如图所示，一根长为L的轻杆OA，O端用铰链固定，轻杆靠在一个高为h的物块上，某时杆与水平方向的夹角为θ，物块向右运动的速度v，则此时A点速度为_______
【答案】
【详解】
根据运动的合成与分解分解B点速度如图所示：
接触点B的实际运动为合运动， B点运动的速度vB=v沿垂直于杆和沿杆的方向分解成v2和v1，其中v2=vBsinθ=vsinθ为B点做圆周运动的线速度，v1=vBcosθ为B点沿杆运动的速度．当杆与水平方向夹角为θ时，，由于B点的线速度为v2=vsinθ=OB·ω，所以，所以A的线速度.
【点睛】解决本题的关键会根据平行四边形定则对速度进行分解，木块速度在垂直于杆子方向的分速度等于B点转动的线速度．
15．一小球质量m=1.0×10-2kg，通过细线悬挂于空中，现给小球施加水平方向恒力F1作用，小球静止，细线与竖直方向的夹角θ=45°，如图所示。现以小球静止位置为坐标原点O，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其中x轴水平。现剪断细线，经0.1s，F1突然反向，大小不变；再经0.1s，撤去水平力F1同时施加另一恒力F2，又经0.1s小球速度为零。已知g取10m/s2，空气阻力不计。求：
（1）F1和F2大小；
（2）细线剪断0.3s末小球的位置坐标。
【答案】（1）F1=0.1N，F2=0.3N；（2）（0.1m，0.3m）
【详解】
（1）当小球静止时
F1=mg=0.1N
当剪断细线时，小球在x，y方向上加速度分别为
经过0.1s时， y方向上加速度不变，x方向上加速度大小不变，方向相反。则经过0.2s时，x方向的速度为零，y方向上的速度为
施加另一恒力F2后又经0.1s小球速度为零，则
，
代入数据解得
F2=0.3N
（2）第0.2s内，小球的位移x、y方向的位移分别为
在0.3s内，小球x方向的速度为零，y方向的位移
则细线剪断0.3s内则小球沿x、y方向移动的距离
x=x1=0.1m
y=y1+y2=0.3m
则细线剪断0.3s末小球的位置坐标（0.1m，0.3m）
16．离地面足够高的某点O处有两个球A、B紧靠在一起，它们用长为L=20m的轻绳连着，两个球质量均为m=1kg，大小忽略可视为质点。两个球除受到重力以外，还同时受到大小为F1=10N的水平向右的恒力作用。由静止同时释放两个球，经过t1=1s后，施加在A球上的力突然反向水平向左，且大小变为F2=30N，而施加在B球上的力不变。又经过一段时间轻绳恰好拉直，此时球A运动到P点。设重力加速度g=10m/s2。(结果可以保留根式)，求：
(1)球A的位移OP的大小和方向。
(2)球A刚经过P点时的速度大小。
【答案】(1)，方向竖直向下；(2)
【详解】
(1)在水平方向上，根据牛顿第二定律
解得
因此水平位移
水平速度
施加在A球上的力突然反向水平向左，根据牛顿第二定律
解得
绳子拉直时又用时为，则
解得
这个过程中球A水平位移
因此小球A的水平位移
竖直位移
因此OP大小为20m，方向竖直向下。
(2)小球A经过P点时的水平速度
竖直速度
因此合速度
17．如图所示，在足够高的竖直墙面上A点，以水平速度v0=10m/s向左抛出一个质量为m=1kg的小球，小球抛出后始终受到水平向右的恒定风力的作用，风力大小F=5N，经过一段时间小球将再次到达墙面上的B点处，重力加速度为g=10m/s2，则在此过程中：（注意：计算结果可用根式表示）
（1）小球水平方向的速度为零时距墙面的距离？
（2）墙面上A、B两点间的距离？
（3）小球速度的最大值？
（4）小球速度的最小值？
【答案】(1)10；（2）80；（3）；（4）
【解析】
【详解】
（1）小球在水平方向先向左做匀减速运动而后向右做匀加速运动，小球在竖直方向上做自由落体运动．将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解
水平方向：F=max，得
则 ．
（2）水平方向速度减小为零所需的时间
所以 ．
竖直方向上： ．
（3）小球运动到B点的速度最大．
vx=v0
．
（4）将运动沿图示方向分解．
当v⊥=0时，小球速度最小．
此时vmin=v∥=v0cosθ
根据力的关系知 ．
解得
点睛：解决本题的关键将小球的运动分解，搞清在分运动的规律，结合等时性，运用牛顿第二定律和运动学公式进行求解．
