2021-2022学年人教版八年级下 17.1勾股定理同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版八年级下 17.1勾股定理同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-10 10:53:19 | ||
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文档简介
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人教版八年级下 17.1勾股定理同步练习
一．选择题
1．（2021秋 中山市期末）在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝8，CD＝5，则△ABC的周长为（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
2．（2021秋 西岗区期末）如图，A（4，0），C（﹣1，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，3） B．（3，0） C．（0，6） D．（6，0）
3．（2021秋 运城期中）图中不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．C． D．
4．（2021秋 三水区期中）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（ ）
A．5m B．6m C．3m D．7m
5．（2021秋 凤翔县期末）如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
6．（2021秋 市北区期末）如图，在三角形ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，点D为BC的中点，则点D到AC的距离为（ ）
A．15 B． C．9 D．
7．（2021秋 上蔡县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，a、b为直角边，a+b＝17，c＝13，则Rt△ABC的面积为（ ）
A．30 B．60 C．110.5 D．169
8．（2021秋 拱墅区期末）如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021秋 武昌区期末）在等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝3，∠A＝120°，点D在边BC上．若△ABD是直角三角形，则AD的长度是（ ）
A． B．或1 C．或 D．1或
10．（2021秋 深圳期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（ ）
A．14 B．13 C．14 D．14
二．填空题
11．（2021秋 凤翔县期末）直角三角形的两条边长分别为3cm、4cm，则这个直角三角形的斜边长为 cm．
12．（2021秋 南平期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，BD＝AD，∠B＝∠DAC，若DC＝1，则BC＝ ．
13．（2021秋 徐汇区校级期末）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝8，S3＝9，S4＝25，则S＝ ．
14．（2021秋 大石桥市期末）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为 ．
15．（2021秋 上蔡县期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高，BD＝6，则CD＝ ．
16．（2021秋 南京期末）如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝7，则点A到BC的距离是 ．
三．解答题
17．（2021秋 金牛区校级月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，已知△ABC是网格中的格点三角形．
（1）求BC的长．
（2）求△ABC的面积．
（3）求BC边上的高．
18．（2021秋 苏州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于点D．
求：（1）CD的长；
（2）BD的长．
19．（2021秋 龙华区期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，AC的中垂线DE交AC于点D，交BC于点E．延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．
（1）求出CD的长；
（2）求出CF的长．
20．（2021秋 九龙县期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝65°，AE、AD分别是中线和高，DF∥AB．
（1）求∠AFD的度数；
（2）若AB＝6，AD＝4，CD＝，求△ABE的面积．
21．（2021秋 运城期中）综合与实践：
问题情境
学过几何的人都知道勾股定理，它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种．在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．
操作发现
如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，他们借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，所画出的△ABC的三边长分别是AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ；△ABC的面积为 ．
实践探究
（2）在图2所示的正方形网格中画出△DEF（顶点都在格点上），使DE＝，DF＝，EF＝，并写出△DEF的面积．
继续探究
（3）若△ABC中有两边的长分别为a，a（a＞0），且△ABC的面积为2a2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的△ABC（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上 ．
22．（2021秋 长春期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求AC的长．
（2）求斜边AB上的高．
（3）①当点P在BC上时，PC的长为 ．（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 ．
（4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值．
答案与解析
一．选择题
1．（2021秋 中山市期末）在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝8，CD＝5，则△ABC的周长为（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
【解析】解：在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵AD⊥BC于点D，AB＝8，CD＝5．
∴BD＝CD＝5．
∴△ABC的周长＝8+8+5+5＝26．
故选：D．
2．（2021秋 西岗区期末）如图，A（4，0），C（﹣1，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，3） B．（3，0） C．（0，6） D．（6，0）
【解析】解：根据已知可得：AB＝AC＝5，OA＝4．
在Rt△ABO中，OB＝＝3．
∴B（0，3）．
故选：A．
3．（2021秋 运城期中）图中不能证明勾股定理的是（ ）
A．B． C． D．
【解析】解：在A选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，
整理可得a2+b2＝c2，
∴A选项可以证明勾股定理，
在B选项中，不能利用图形面积证明勾股定理，
∴B选项不可以证明勾股定理，
在C选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
∴ab+ab+c2＝（a+b）（a+b），
整理得a2+b2＝c2，
∴C选项可以说明勾股定理，
在D选项中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积的和，
∴c2＝a2+b2，
∴D选项可以说明勾股定理，
故选：B．
4．（2021秋 三水区期中）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（ ）
A．5m B．6m C．3m D．7m
【解析】解：设BO＝xm，
由题意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
解得：x＝3，
∴AB＝＝＝5（m），
即梯子AB的长为5m，
故选：A．
5．（2021秋 凤翔县期末）如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
【解析】解：由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2＝（）2＝3，
则S阴影部分＝BC2+AC2+AB2＝（BC2+AC2+AB2）＝3，
故选：A．
6．（2021秋 市北区期末）如图，在三角形ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，点D为BC的中点，则点D到AC的距离为（ ）
A．15 B． C．9 D．
【解析】解：如图，连接AD，过点D作DE⊥AC于点E，DE的长即为所求，
∵AB＝AC，D为BC的中点，BC＝16，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝8，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD＝＝＝15，
∵S△ADC＝ AD CD＝ AC DE，
∴×15×8＝×17 DE，
解得DE＝
故选：D．
7．（2021秋 上蔡县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，a、b为直角边，a+b＝17，c＝13，则Rt△ABC的面积为（ ）
A．30 B．60 C．110.5 D．169
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，a+b＝17，c＝13，
∴由勾股定理得：a2+b2＝c2，即（a+b）2﹣2ab＝c2＝169，
∴289﹣2ab＝169，即ab＝60，
则Rt△ABC的面积为ab＝30．
故选：A．
8．（2021秋 拱墅区期末）如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：∵在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，
∴任意两个格点间的距离有＝，＝，，1，2，3，＝3，＝，＝，
故任意两个格点间的距离不可能是，
故选：A．
9．（2021秋 武昌区期末）在等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝3，∠A＝120°，点D在边BC上．若△ABD是直角三角形，则AD的长度是（ ）
A． B．或1 C．或 D．1或
【解析】解：∵△ABD是直角三角形，
∴①当∠ADB＝90°，即AD⊥BC时，
∵AB＝AC＝，BC＝3，
∴BD＝BC＝，
∴AD＝＝＝；
②当∠BAD′＝90°，即AD′⊥AB时，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴AD′＝BD′，
∵AB2+AD′2＝BD′2，
∴3+AD′2＝4AD′2，
∴AD′＝1，
综上所述，AD的长度是或1，
故选：B．
10．（2021秋 深圳期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（ ）
A．14 B．13 C．14 D．14
【解析】解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，
小正方形的边长＝24﹣10＝14，
∴EF＝＝14．
故选：D．
二．填空题
11．（2021秋 凤翔县期末）直角三角形的两条边长分别为3cm、4cm，则这个直角三角形的斜边长为 4或5 cm．
【解析】解：①以4cm的边为斜边；
②以3cm和4cm长的边都是直角边，
则斜边＝＝5（cm）．
故答案为：4或5．
12．（2021秋 南平期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，BD＝AD，∠B＝∠DAC，若DC＝1，则BC＝ 3 ．
【解析】解：∵BD＝AD，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B，
∵∠B＝∠DAC，
∴∠DAC＝2∠CAD，
∵∠C＝90°，
∴∠DAC+∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝30°，
∵CD＝1，
∴AD＝2，
∴BD＝AD＝2，
∴BC＝CD+BD＝3，
故答案为：3．
13．（2021秋 徐汇区校级期末）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝8，S3＝9，S4＝25，则S＝ 46 ．
【解析】解：如图，由题意得：
AB2＝S1+S2＝4+8＝12，
AC2＝S3+S4＝9+25＝34，
∴BC2＝AB2+AC2＝12+34＝46，
∴S＝BC2＝46，
故答案为：46．
14．（2021秋 大石桥市期末）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为 24 ．
【解析】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AB＝＝＝10，
所以阴影部分的面积S＝×π×32+×π×42+×6×8﹣ π×52＝24，
故答案为：24．
15．（2021秋 上蔡县期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高，BD＝6，则CD＝ 2或18 ．
【解析】解：情况一：如图一，
在△ABD中，由BD是AC边上的高，
则AD＝＝＝8
∵AB＝AC＝10，
∴CD＝2；
情况二：如图二，
在△ABD中，由BD是AC边上的高，
则AD＝＝＝6，
∵AB＝AC＝10，
∴CD＝10+8＝18，
综上所述，CD＝2或18，
故答案为：2或18．
16．（2021秋 南京期末）如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝7，则点A到BC的距离是 12 ．
【解析】解：过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，
∴∠D＝90°，
∴AB2﹣BD2＝AD2＝AC2﹣CD2，
∵AB＝20，AC＝15，BC＝7，
∴202﹣（7+CD）2＝152﹣CD2，
∴CD＝9，
∴AD＝＝12，
∴点A到BC的距离是12，
故答案为：12．
三．解答题
17．（2021秋 金牛区校级月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，已知△ABC是网格中的格点三角形．
（1）求BC的长．
（2）求△ABC的面积．
（3）求BC边上的高．
【解析】解：（1）由图可知：BC＝＝．
（2）如图，
S△ABC＝S正方形EDBF﹣S△BCF﹣S△ABD﹣S△ACE
＝4×4﹣×1×4﹣×2×4﹣×2×3
＝16﹣2﹣4﹣3
＝7．
（3）过点A作AH⊥BC于点H，
∵S△ABC＝×BC×AH，
∴7＝×AH，
∴AH＝．
∴BC边上的高为．
18．（2021秋 苏州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于点D．
求：（1）CD的长；
（2）BD的长．
【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，
由勾股定理可得，AB＝＝＝25，
∴AB的长是25；
∵S△ABC＝AC BC＝AB CD，
∴AC BC＝AB CD，
∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，
∴20×15＝25CD，
∴CD＝12，
∴CD的长是12．
（2）∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB＝90°，
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，BC＝15，CD＝12，
由勾股定理可得，BD＝＝＝9，
∴BD的长为9．
19．（2021秋 龙华区期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，AC的中垂线DE交AC于点D，交BC于点E．延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．
（1）求出CD的长；
（2）求出CF的长．
【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，
则AC＝＝＝3，
∵DE是AC的中垂线，
∴CD＝AC＝；
（2）∵DF是AC的中垂线，
∴FA＝FC，
∵AB＝3，
∴FB＝FA﹣3＝CF﹣3，
在Rt△FBC中，CF2＝BC2+FB2，即CF2＝62+（CF﹣3）2，
解得：CF＝．
20．（2021秋 九龙县期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝65°，AE、AD分别是中线和高，DF∥AB．
（1）求∠AFD的度数；
（2）若AB＝6，AD＝4，CD＝，求△ABE的面积．
【解析】解：（1）∵DF∥AB，
∴∠FDC＝∠B．
∵∠B＝40°，
∴∠FDC＝40°．
∵∠AFD＝∠FDC+∠C，∠C＝65°，
∴∠ADF＝40°+65°＝105°．
（2）∵AD是高，
∴∠ADC＝90°．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
∴．
∵AE是中线，
∴．
∴．
21．（2021秋 运城期中）综合与实践：
问题情境
学过几何的人都知道勾股定理，它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种．在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．
操作发现
如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，他们借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，所画出的△ABC的三边长分别是AB＝ 5 ，BC＝ ，AC＝ ；△ABC的面积为 ．
实践探究
（2）在图2所示的正方形网格中画出△DEF（顶点都在格点上），使DE＝，DF＝，EF＝，并写出△DEF的面积．
继续探究
（3）若△ABC中有两边的长分别为a，a（a＞0），且△ABC的面积为2a2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的△ABC（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上 4a或 ．
【解析】解：（1）AB＝＝5，BC＝＝，AC＝＝，
△ABC的面积＝4×4﹣×3×4﹣×1×4﹣×3×1＝，
故答案为：5；；；；
（2）画出△DEF如图所示：
△DEF的面积＝3×4﹣×3×2﹣×2×4﹣×2×1＝4；
（3）4a或，画图见解析．
如图3所示，，，，此时AC＝4a；
如图4所示，，，，
此时；
故答案为：4a或．
22．（2021秋 长春期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求AC的长．
（2）求斜边AB上的高．
（3）①当点P在BC上时，PC的长为 16﹣2t ．（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 ．
（4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值．
【解析】解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝＝8；
（2）设边AB上的高为h
则，
∴，
∴，
答：斜边AB上的高为；
（3）①当点P在BC上时，点P运动的长度为AB+BP＝2t，
则PC＝BC﹣BP＝6﹣（2t﹣10）＝6﹣2t+10＝16﹣2t；
②当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，如图：
∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，
∴PD＝PC，
有①知，PC＝16﹣2t，BP＝2t﹣10，
∴PD＝16﹣2t，
在Rt△ACP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），
∴AD＝AC＝8，
又∵AB＝10，
∴BD＝2，
在Rt△BDP中，由勾股定理得：
22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，
解得：t＝．
故答案为：①16﹣2t；②．
（4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AB上，
①当点P在线段AB上时，若BC＝BP，
则点P运动的长度为AP＝2t，
∵AP＝AB﹣BP＝10﹣6＝4，
∴2t＝4，
∴t＝2；
②若PC＝BC，如图，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，
在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AB CH＝AC BC，
∴10CH＝8×6，
∴CH＝，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：
BH＝＝＝＝3.6，
∴BP＝2BH＝7.2，
∴点P运动的长度为：AP＝AB﹣BP＝10﹣7.2＝2.8，
∴2t＝2.8，
∴t＝1.4；
③若PC＝PB，如图所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，
则BQ＝CQ＝×BC＝3，∠PQB＝90°，
∴∠ACB＝∠PQB＝90°，
∴PQ∥AC，
∴PQ为△ABC的中位线，
∴PQ＝×AC＝×8＝4，
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP＝＝＝5，
点P运动的长度为AP＝2t，
AP＝AB﹣BP＝10﹣5＝5，
∴2t＝5，
∴t＝2.5．
综上，t的值为1.4或2或2.5．
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人教版八年级下 17.1勾股定理同步练习
一．选择题
1．（2021秋 中山市期末）在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝8，CD＝5，则△ABC的周长为（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
2．（2021秋 西岗区期末）如图，A（4，0），C（﹣1，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，3） B．（3，0） C．（0，6） D．（6，0）
3．（2021秋 运城期中）图中不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．C． D．
4．（2021秋 三水区期中）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（ ）
A．5m B．6m C．3m D．7m
5．（2021秋 凤翔县期末）如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
6．（2021秋 市北区期末）如图，在三角形ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，点D为BC的中点，则点D到AC的距离为（ ）
A．15 B． C．9 D．
7．（2021秋 上蔡县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，a、b为直角边，a+b＝17，c＝13，则Rt△ABC的面积为（ ）
A．30 B．60 C．110.5 D．169
8．（2021秋 拱墅区期末）如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021秋 武昌区期末）在等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝3，∠A＝120°，点D在边BC上．若△ABD是直角三角形，则AD的长度是（ ）
A． B．或1 C．或 D．1或
10．（2021秋 深圳期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（ ）
A．14 B．13 C．14 D．14
二．填空题
11．（2021秋 凤翔县期末）直角三角形的两条边长分别为3cm、4cm，则这个直角三角形的斜边长为 cm．
12．（2021秋 南平期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，BD＝AD，∠B＝∠DAC，若DC＝1，则BC＝ ．
13．（2021秋 徐汇区校级期末）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝8，S3＝9，S4＝25，则S＝ ．
14．（2021秋 大石桥市期末）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为 ．
15．（2021秋 上蔡县期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高，BD＝6，则CD＝ ．
16．（2021秋 南京期末）如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝7，则点A到BC的距离是 ．
三．解答题
17．（2021秋 金牛区校级月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，已知△ABC是网格中的格点三角形．
（1）求BC的长．
（2）求△ABC的面积．
（3）求BC边上的高．
18．（2021秋 苏州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于点D．
求：（1）CD的长；
（2）BD的长．
19．（2021秋 龙华区期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，AC的中垂线DE交AC于点D，交BC于点E．延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．
（1）求出CD的长；
（2）求出CF的长．
20．（2021秋 九龙县期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝65°，AE、AD分别是中线和高，DF∥AB．
（1）求∠AFD的度数；
（2）若AB＝6，AD＝4，CD＝，求△ABE的面积．
21．（2021秋 运城期中）综合与实践：
问题情境
学过几何的人都知道勾股定理，它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种．在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．
操作发现
如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，他们借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，所画出的△ABC的三边长分别是AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ；△ABC的面积为 ．
实践探究
（2）在图2所示的正方形网格中画出△DEF（顶点都在格点上），使DE＝，DF＝，EF＝，并写出△DEF的面积．
继续探究
（3）若△ABC中有两边的长分别为a，a（a＞0），且△ABC的面积为2a2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的△ABC（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上 ．
22．（2021秋 长春期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求AC的长．
（2）求斜边AB上的高．
（3）①当点P在BC上时，PC的长为 ．（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 ．
（4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值．
答案与解析
一．选择题
1．（2021秋 中山市期末）在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝8，CD＝5，则△ABC的周长为（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
【解析】解：在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵AD⊥BC于点D，AB＝8，CD＝5．
∴BD＝CD＝5．
∴△ABC的周长＝8+8+5+5＝26．
故选：D．
2．（2021秋 西岗区期末）如图，A（4，0），C（﹣1，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，3） B．（3，0） C．（0，6） D．（6，0）
【解析】解：根据已知可得：AB＝AC＝5，OA＝4．
在Rt△ABO中，OB＝＝3．
∴B（0，3）．
故选：A．
3．（2021秋 运城期中）图中不能证明勾股定理的是（ ）
A．B． C． D．
【解析】解：在A选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，
整理可得a2+b2＝c2，
∴A选项可以证明勾股定理，
在B选项中，不能利用图形面积证明勾股定理，
∴B选项不可以证明勾股定理，
在C选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
∴ab+ab+c2＝（a+b）（a+b），
整理得a2+b2＝c2，
∴C选项可以说明勾股定理，
在D选项中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积的和，
∴c2＝a2+b2，
∴D选项可以说明勾股定理，
故选：B．
4．（2021秋 三水区期中）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（ ）
A．5m B．6m C．3m D．7m
【解析】解：设BO＝xm，
由题意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
解得：x＝3，
∴AB＝＝＝5（m），
即梯子AB的长为5m，
故选：A．
5．（2021秋 凤翔县期末）如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
【解析】解：由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2＝（）2＝3，
则S阴影部分＝BC2+AC2+AB2＝（BC2+AC2+AB2）＝3，
故选：A．
6．（2021秋 市北区期末）如图，在三角形ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，点D为BC的中点，则点D到AC的距离为（ ）
A．15 B． C．9 D．
【解析】解：如图，连接AD，过点D作DE⊥AC于点E，DE的长即为所求，
∵AB＝AC，D为BC的中点，BC＝16，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝8，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD＝＝＝15，
∵S△ADC＝ AD CD＝ AC DE，
∴×15×8＝×17 DE，
解得DE＝
故选：D．
7．（2021秋 上蔡县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，a、b为直角边，a+b＝17，c＝13，则Rt△ABC的面积为（ ）
A．30 B．60 C．110.5 D．169
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，a+b＝17，c＝13，
∴由勾股定理得：a2+b2＝c2，即（a+b）2﹣2ab＝c2＝169，
∴289﹣2ab＝169，即ab＝60，
则Rt△ABC的面积为ab＝30．
故选：A．
8．（2021秋 拱墅区期末）如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：∵在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，
∴任意两个格点间的距离有＝，＝，，1，2，3，＝3，＝，＝，
故任意两个格点间的距离不可能是，
故选：A．
9．（2021秋 武昌区期末）在等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝3，∠A＝120°，点D在边BC上．若△ABD是直角三角形，则AD的长度是（ ）
A． B．或1 C．或 D．1或
【解析】解：∵△ABD是直角三角形，
∴①当∠ADB＝90°，即AD⊥BC时，
∵AB＝AC＝，BC＝3，
∴BD＝BC＝，
∴AD＝＝＝；
②当∠BAD′＝90°，即AD′⊥AB时，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴AD′＝BD′，
∵AB2+AD′2＝BD′2，
∴3+AD′2＝4AD′2，
∴AD′＝1，
综上所述，AD的长度是或1，
故选：B．
10．（2021秋 深圳期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（ ）
A．14 B．13 C．14 D．14
【解析】解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，
小正方形的边长＝24﹣10＝14，
∴EF＝＝14．
故选：D．
二．填空题
11．（2021秋 凤翔县期末）直角三角形的两条边长分别为3cm、4cm，则这个直角三角形的斜边长为 4或5 cm．
【解析】解：①以4cm的边为斜边；
②以3cm和4cm长的边都是直角边，
则斜边＝＝5（cm）．
故答案为：4或5．
12．（2021秋 南平期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，BD＝AD，∠B＝∠DAC，若DC＝1，则BC＝ 3 ．
【解析】解：∵BD＝AD，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B，
∵∠B＝∠DAC，
∴∠DAC＝2∠CAD，
∵∠C＝90°，
∴∠DAC+∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝30°，
∵CD＝1，
∴AD＝2，
∴BD＝AD＝2，
∴BC＝CD+BD＝3，
故答案为：3．
13．（2021秋 徐汇区校级期末）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝8，S3＝9，S4＝25，则S＝ 46 ．
【解析】解：如图，由题意得：
AB2＝S1+S2＝4+8＝12，
AC2＝S3+S4＝9+25＝34，
∴BC2＝AB2+AC2＝12+34＝46，
∴S＝BC2＝46，
故答案为：46．
14．（2021秋 大石桥市期末）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为 24 ．
【解析】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AB＝＝＝10，
所以阴影部分的面积S＝×π×32+×π×42+×6×8﹣ π×52＝24，
故答案为：24．
15．（2021秋 上蔡县期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高，BD＝6，则CD＝ 2或18 ．
【解析】解：情况一：如图一，
在△ABD中，由BD是AC边上的高，
则AD＝＝＝8
∵AB＝AC＝10，
∴CD＝2；
情况二：如图二，
在△ABD中，由BD是AC边上的高，
则AD＝＝＝6，
∵AB＝AC＝10，
∴CD＝10+8＝18，
综上所述，CD＝2或18，
故答案为：2或18．
16．（2021秋 南京期末）如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝7，则点A到BC的距离是 12 ．
【解析】解：过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，
∴∠D＝90°，
∴AB2﹣BD2＝AD2＝AC2﹣CD2，
∵AB＝20，AC＝15，BC＝7，
∴202﹣（7+CD）2＝152﹣CD2，
∴CD＝9，
∴AD＝＝12，
∴点A到BC的距离是12，
故答案为：12．
三．解答题
17．（2021秋 金牛区校级月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，已知△ABC是网格中的格点三角形．
（1）求BC的长．
（2）求△ABC的面积．
（3）求BC边上的高．
【解析】解：（1）由图可知：BC＝＝．
（2）如图，
S△ABC＝S正方形EDBF﹣S△BCF﹣S△ABD﹣S△ACE
＝4×4﹣×1×4﹣×2×4﹣×2×3
＝16﹣2﹣4﹣3
＝7．
（3）过点A作AH⊥BC于点H，
∵S△ABC＝×BC×AH，
∴7＝×AH，
∴AH＝．
∴BC边上的高为．
18．（2021秋 苏州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于点D．
求：（1）CD的长；
（2）BD的长．
【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，
由勾股定理可得，AB＝＝＝25，
∴AB的长是25；
∵S△ABC＝AC BC＝AB CD，
∴AC BC＝AB CD，
∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，
∴20×15＝25CD，
∴CD＝12，
∴CD的长是12．
（2）∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB＝90°，
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，BC＝15，CD＝12，
由勾股定理可得，BD＝＝＝9，
∴BD的长为9．
19．（2021秋 龙华区期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，AC的中垂线DE交AC于点D，交BC于点E．延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．
（1）求出CD的长；
（2）求出CF的长．
【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，
则AC＝＝＝3，
∵DE是AC的中垂线，
∴CD＝AC＝；
（2）∵DF是AC的中垂线，
∴FA＝FC，
∵AB＝3，
∴FB＝FA﹣3＝CF﹣3，
在Rt△FBC中，CF2＝BC2+FB2，即CF2＝62+（CF﹣3）2，
解得：CF＝．
20．（2021秋 九龙县期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝65°，AE、AD分别是中线和高，DF∥AB．
（1）求∠AFD的度数；
（2）若AB＝6，AD＝4，CD＝，求△ABE的面积．
【解析】解：（1）∵DF∥AB，
∴∠FDC＝∠B．
∵∠B＝40°，
∴∠FDC＝40°．
∵∠AFD＝∠FDC+∠C，∠C＝65°，
∴∠ADF＝40°+65°＝105°．
（2）∵AD是高，
∴∠ADC＝90°．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
∴．
∵AE是中线，
∴．
∴．
21．（2021秋 运城期中）综合与实践：
问题情境
学过几何的人都知道勾股定理，它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种．在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．
操作发现
如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，他们借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，所画出的△ABC的三边长分别是AB＝ 5 ，BC＝ ，AC＝ ；△ABC的面积为 ．
实践探究
（2）在图2所示的正方形网格中画出△DEF（顶点都在格点上），使DE＝，DF＝，EF＝，并写出△DEF的面积．
继续探究
（3）若△ABC中有两边的长分别为a，a（a＞0），且△ABC的面积为2a2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的△ABC（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上 4a或 ．
【解析】解：（1）AB＝＝5，BC＝＝，AC＝＝，
△ABC的面积＝4×4﹣×3×4﹣×1×4﹣×3×1＝，
故答案为：5；；；；
（2）画出△DEF如图所示：
△DEF的面积＝3×4﹣×3×2﹣×2×4﹣×2×1＝4；
（3）4a或，画图见解析．
如图3所示，，，，此时AC＝4a；
如图4所示，，，，
此时；
故答案为：4a或．
22．（2021秋 长春期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求AC的长．
（2）求斜边AB上的高．
（3）①当点P在BC上时，PC的长为 16﹣2t ．（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 ．
（4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值．
【解析】解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝＝8；
（2）设边AB上的高为h
则，
∴，
∴，
答：斜边AB上的高为；
（3）①当点P在BC上时，点P运动的长度为AB+BP＝2t，
则PC＝BC﹣BP＝6﹣（2t﹣10）＝6﹣2t+10＝16﹣2t；
②当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，如图：
∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，
∴PD＝PC，
有①知，PC＝16﹣2t，BP＝2t﹣10，
∴PD＝16﹣2t，
在Rt△ACP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），
∴AD＝AC＝8，
又∵AB＝10，
∴BD＝2，
在Rt△BDP中，由勾股定理得：
22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，
解得：t＝．
故答案为：①16﹣2t；②．
（4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AB上，
①当点P在线段AB上时，若BC＝BP，
则点P运动的长度为AP＝2t，
∵AP＝AB﹣BP＝10﹣6＝4，
∴2t＝4，
∴t＝2；
②若PC＝BC，如图，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，
在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AB CH＝AC BC，
∴10CH＝8×6，
∴CH＝，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：
BH＝＝＝＝3.6，
∴BP＝2BH＝7.2，
∴点P运动的长度为：AP＝AB﹣BP＝10﹣7.2＝2.8，
∴2t＝2.8，
∴t＝1.4；
③若PC＝PB，如图所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，
则BQ＝CQ＝×BC＝3，∠PQB＝90°，
∴∠ACB＝∠PQB＝90°，
∴PQ∥AC，
∴PQ为△ABC的中位线，
∴PQ＝×AC＝×8＝4，
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP＝＝＝5，
点P运动的长度为AP＝2t，
AP＝AB﹣BP＝10﹣5＝5，
∴2t＝5，
∴t＝2.5．
综上，t的值为1.4或2或2.5．
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