2021-2022学年人教版八年级下 17.2勾股定理的逆定理同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版八年级下 17.2勾股定理的逆定理同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-10 10:55:22 | ||
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文档简介
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人教版八年级下 17.2勾股定理的逆定理同步练习
一．选择题
1．（2021秋 沛县期末）下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．3，4，5 D．6，8，11
2．（2021秋 长春期末）在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（ ）
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能确定
3．（2021秋 威宁县校级期末）已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a＝6，b＝8，c＝10 C．∠A＝∠B+∠C D．a2＝b2﹣c2
4．（2021秋 青神县期末）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a2：b2：c2＝3：4：5
5．（2021秋 顺德区期末）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A．B．C． D．
6．（2021秋 平谷区期末）如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A． B． C．D．
7．（2021秋 上蔡县期末）一架2.5米长的梯子靠在一座高10米的建筑物上，此时梯子底部离建筑物墙面0.7米．若梯子的顶部滑下0.4米，则梯子的底部向外滑出距离为（ ）
A．1米 B．0.8米 C．0.6米 D．0.4米
8．（2021秋 正定县期末）在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，则△ABC中AC边上的高线长为（ ）
A． B．6 C．4.8 D．
9．（2021秋 禅城区期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
10．（2021秋 铁西区期末）在如图所示的方格纸中，点A，B，C均为格点，则∠ABC的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
二．填空题
11．（2020秋 泾阳县期末）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，连接BD，则CD的长为 ．
12．（2021秋 新泰市期中）如图所示，校园有一块四边形草坪ABCD，测得∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，则这块四边形草坪的面积是 m2．
13．（2021秋 海陵区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，高BD＝8，AD＝6，AE平分∠BAC，则△ABE的面积为 ．
14．（2021 昭通模拟）在△ABC中，AB＝15，AC＝20，D是BC边所在直线上的点，AD＝12，BD＝9，则BC＝ ．
15．（2021秋 卧龙区期末）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为 m．
16．（2021秋 朝阳区校级期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，B，P是网格线交点）．
三．解答题
17．（2021秋 新民市期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．
（1）线段AB的长度是 ，线段CD的长度是 ．
（2）若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．
18．（2021秋 卧龙区校级月考）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，根据下列各边的长度，判断各三角形是否为直角三角形，并指出哪一个角是直角．
（1）a＝2，b＝，c＝3；
（2）a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1；（n＞1）
19．（2021秋 西岗区期末）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）学校计划在空地上种植草皮，若每平方米草皮要200元，问学校需要投入多少资金买草皮．
20．（2021秋 苏州期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求DF的长．
21．（2021秋 内江期末）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，以台风中心为圆心，周围500km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
22．（2021秋 滨江区校级月考）如图，在△ABC中，AD、AE分别是高和角平分线．
（1）若∠BAC＝86°，∠C＝32°，求∠DAE的度数；
（2）若AB＝15，AC＝20，AD＝12．
①求证：∠BAC是直角；
②求AE的长度．
答案与解析
一．选择题
1．（2021秋 沛县期末）下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．3，4，5 D．6，8，11
【解析】解：A．因为，所以不能组成直角三角形，不合题意；
B．因为，所以不能组成直角三角形，不合题意；
C．因为32+42＝52，所以能组成直角三角形，符合题意；
D．因为62+82≠112，所以不能组成直角三角形，不合题意；
故选：C．
2．（2021秋 长春期末）在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（ ）
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能确定
【解析】解：∵AC2﹣BC2＝AB2，
∴AC2＝BC2+AB2，
∴∠B＝90°．
故选：B．
3．（2021秋 威宁县校级期末）已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a＝6，b＝8，c＝10 C．∠A＝∠B+∠C D．a2＝b2﹣c2
【解析】解：A、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，
∴∠C＝5×15°＝75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵62+82＝102，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，
∴∠A＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵a2＝b2﹣c2，
∴a2+c2＝b2，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．（2021秋 青神县期末）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a2：b2：c2＝3：4：5
【解析】解：A、∠A﹣∠B＝∠C，∠A＝90°，是直角三角形，不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴∠C＝90°，是直角三角形，不符合题意；
C、a2＝c2﹣b2，a2+b2＝c2，是直角三角形，不符合题意；
D、∵设a2＝3x，b2＝4x，c2＝5x，3x+4x≠5x，∴a2+b2≠c2，不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
5．（2021秋 顺德区期末）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A．B．C． D．
【解析】解：A、三角形的三边为，2，3，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
B、三角形的三边为，，，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
C、三角形的三边为，，2，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；
D、三角形的三边为，，2，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
6．（2021秋 平谷区期末）如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A． B． C．D．
【解析】解：∵52＝25，122＝144，92＝81，152＝225，132＝169，
∴52+122＝132，52+92≠122，92+122＝152，52+132≠152，
∴A错误，B错误，C正确，D错误．
故选：C．
7．（2021秋 上蔡县期末）一架2.5米长的梯子靠在一座高10米的建筑物上，此时梯子底部离建筑物墙面0.7米．若梯子的顶部滑下0.4米，则梯子的底部向外滑出距离为（ ）
A．1米 B．0.8米 C．0.6米 D．0.4米
【解析】解：在Rt△AOB中，
根据勾股定理AB2＝AO2+OB2，可以求得：
OA＝＝2.4（米），
现梯子的顶部滑下0.4米，即OC＝2.4﹣0.4＝2（米），
且CD＝AB＝2.5米，
所以在Rt△COD中，DO2＝CD2﹣CO2，
即DO＝＝1.5（米），
所以梯子的底部向外滑出的距离为1.5﹣0.7＝0.8（米）．
答：梯子的底部向外滑出的距离为0.8米，
故选：B．
8．（2021秋 正定县期末）在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，则△ABC中AC边上的高线长为（ ）
A． B．6 C．4.8 D．
【解析】解：设AC边上的高线为h，
∵△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，
∴62+82＝102，即AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝AB BC＝
即×6×8＝
h＝4.8．
故选：C．
9．（2021秋 禅城区期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
【解析】解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
所以x+2＝17．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故选：C．
10．（2021秋 铁西区期末）在如图所示的方格纸中，点A，B，C均为格点，则∠ABC的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
【解析】解：连接AC，
则AC＝BC＝＝，
AB＝＝，
∵（）2+（）2＝（）2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°．
故选：C．
二．填空题
11．（2020秋 泾阳县期末）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，连接BD，则CD的长为 ．
【解析】解：∵△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，
∴AD＝DB，
设CD为x，AD＝DB＝4﹣x，
在Rt△CDB中，CD2+BC2＝DB2，
即x2+32＝（4﹣x）2，
解得x＝，
即CD＝，
故答案为：．
12．（2021秋 新泰市期中）如图所示，校园有一块四边形草坪ABCD，测得∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，则这块四边形草坪的面积是 234 m2．
【解析】解：连接AC，如图：
∵∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，
∴AC2＝AB2+BC2＝242+72＝625，
∴AC＝25（m）．
又∵CD＝15m，AD＝20m，152+202＝252，即AD2+DC2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
＝ AB BC+ AD DC
＝×24×7+×20×15
＝234（m2）．
答：这块四边形草坪的面积是234m2．
故答案为：234．
13．（2021秋 海陵区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，高BD＝8，AD＝6，AE平分∠BAC，则△ABE的面积为 15 ．
【解析】解：如图，过点E作EF⊥AB于F，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，ED⊥AC，
∴EF＝DE，∠ADE＝∠AFE＝90°，
在Rt△AEF和Rt△AED中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△AED（HL），
∴AF＝AD＝6，
∴BF＝AB﹣AF＝10﹣6＝4，
设EF＝DE＝x，则BE＝8﹣x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴EF＝3，
∴S△ABE＝＝15．
故答案为：15．
14．（2021 昭通模拟）在△ABC中，AB＝15，AC＝20，D是BC边所在直线上的点，AD＝12，BD＝9，则BC＝ 25或7 ．
【解析】解：如图1所示，当点D在线段BC上时，
∵AD＝12，BD＝9，AB＝15，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴DC＝＝＝16，
∴BC＝BD+CD＝9+16＝25；
如图2所示，当点D在CB的延长线上时，
同理可得，DC＝16，
∴BC＝CD﹣BD＝16﹣9＝7；
由于AC＞AB，所以点D不在BC的延长线上．
综上所述，BC的长度为25或7．
故答案为：25或7．
15．（2021秋 卧龙区期末）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为 2.7 m．
【解析】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AE＝0.7米，DE＝2.4米，
∴AD2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠ABC＝90°，BC＝1.5米，AB2+BC2＝AC2，
∴AB2+1.52＝6.25，
∴AB2＝4．
∵AB＞0，
∴AB＝2米．
∴BE＝AE+AB＝0.7+2＝2.7米．
答：小巷的宽度BE为2.7米，
故答案为：2.7．
16．（2021秋 朝阳区校级期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ 45 °（点A，B，P是网格线交点）．
【解析】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°．
故答案为：45．
三．解答题
17．（2021秋 新民市期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．
（1）线段AB的长度是 ，线段CD的长度是 2 ．
（2）若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．
【解析】解：（1）由图可得，
AB＝＝，CD＝＝2，
故答案为：，2；
（2）以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形，
理由：∵AB＝，CD＝2，EF＝，
∴CD2+EF2＝（2）2+（）2＝8+5＝13＝AB2，
∴以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形．
18．（2021秋 卧龙区校级月考）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，根据下列各边的长度，判断各三角形是否为直角三角形，并指出哪一个角是直角．
（1）a＝2，b＝，c＝3；
（2）a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1；（n＞1）
【解析】解：（1）∵a＝2，b＝，c＝3，
∴a2+c2＝13，b2＝13，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，∠B 是直角；
（2）∵a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1，
∴a2+b2＝（2n）2+（n2﹣1）2＝n4+2n2+1，c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，∠C是直角．
19．（2021秋 西岗区期末）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）学校计划在空地上种植草皮，若每平方米草皮要200元，问学校需要投入多少资金买草皮．
【解析】解：（1）连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝AD AB+DB BC＝×4×3+×12×5＝36．
故这块四边形空地的面积是36平方米；
（2）36×200＝7200（元）．
答：学校需要投入7200元资金买草皮．
20．（2021秋 苏州期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求DF的长．
【解析】证明：（1）∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴AD2＝AE2+DE2＝82+42＝80，
同理：CD2＝20，
∴AD2+CD2＝100，
∵AC＝AE+CE＝8+2＝10，
∴AC2＝100，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC＝90°；
（2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC＝10，
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，
∵点F是边AB的中点，
∴DF＝．
21．（2021秋 内江期末）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，以台风中心为圆心，周围500km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【解析】解：（1）∵AC＝600km，BC＝800km，AB＝1000km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴600×800＝1000×CD，
∴CD＝480（km），
∵以台风中心为圆心周围500km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝500km，FC＝500km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝140（km），
∴EF＝280km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴280÷28＝10（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为10小时．
22．（2021秋 滨江区校级月考）如图，在△ABC中，AD、AE分别是高和角平分线．
（1）若∠BAC＝86°，∠C＝32°，求∠DAE的度数；
（2）若AB＝15，AC＝20，AD＝12．
①求证：∠BAC是直角；
②求AE的长度．
【解析】（1）解：∵AE平分∠ABC，
∴∠EAC＝∠BAC＝43°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝58°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝58°﹣43°＝15°．
（2）①证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴BD＝＝＝9，CD＝＝＝16，
∴BC＝BD+DC＝9+16＝25，
∵AB2+AC2＝152+202＝625，BC2＝625，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°；
②解：过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AB于N，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAB＝∠AEC＝45°，
∴△AME，△AEN都是等腰直角三角形，
∴AN＝NE＝EM＝AM，
∵ AB AC＝ AB EN+ AC EM，
∴EM＝＝．
∴AE＝EM＝．
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人教版八年级下 17.2勾股定理的逆定理同步练习
一．选择题
1．（2021秋 沛县期末）下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．3，4，5 D．6，8，11
2．（2021秋 长春期末）在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（ ）
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能确定
3．（2021秋 威宁县校级期末）已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a＝6，b＝8，c＝10 C．∠A＝∠B+∠C D．a2＝b2﹣c2
4．（2021秋 青神县期末）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a2：b2：c2＝3：4：5
5．（2021秋 顺德区期末）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A．B．C． D．
6．（2021秋 平谷区期末）如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A． B． C．D．
7．（2021秋 上蔡县期末）一架2.5米长的梯子靠在一座高10米的建筑物上，此时梯子底部离建筑物墙面0.7米．若梯子的顶部滑下0.4米，则梯子的底部向外滑出距离为（ ）
A．1米 B．0.8米 C．0.6米 D．0.4米
8．（2021秋 正定县期末）在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，则△ABC中AC边上的高线长为（ ）
A． B．6 C．4.8 D．
9．（2021秋 禅城区期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
10．（2021秋 铁西区期末）在如图所示的方格纸中，点A，B，C均为格点，则∠ABC的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
二．填空题
11．（2020秋 泾阳县期末）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，连接BD，则CD的长为 ．
12．（2021秋 新泰市期中）如图所示，校园有一块四边形草坪ABCD，测得∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，则这块四边形草坪的面积是 m2．
13．（2021秋 海陵区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，高BD＝8，AD＝6，AE平分∠BAC，则△ABE的面积为 ．
14．（2021 昭通模拟）在△ABC中，AB＝15，AC＝20，D是BC边所在直线上的点，AD＝12，BD＝9，则BC＝ ．
15．（2021秋 卧龙区期末）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为 m．
16．（2021秋 朝阳区校级期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，B，P是网格线交点）．
三．解答题
17．（2021秋 新民市期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．
（1）线段AB的长度是 ，线段CD的长度是 ．
（2）若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．
18．（2021秋 卧龙区校级月考）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，根据下列各边的长度，判断各三角形是否为直角三角形，并指出哪一个角是直角．
（1）a＝2，b＝，c＝3；
（2）a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1；（n＞1）
19．（2021秋 西岗区期末）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）学校计划在空地上种植草皮，若每平方米草皮要200元，问学校需要投入多少资金买草皮．
20．（2021秋 苏州期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求DF的长．
21．（2021秋 内江期末）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，以台风中心为圆心，周围500km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
22．（2021秋 滨江区校级月考）如图，在△ABC中，AD、AE分别是高和角平分线．
（1）若∠BAC＝86°，∠C＝32°，求∠DAE的度数；
（2）若AB＝15，AC＝20，AD＝12．
①求证：∠BAC是直角；
②求AE的长度．
答案与解析
一．选择题
1．（2021秋 沛县期末）下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．3，4，5 D．6，8，11
【解析】解：A．因为，所以不能组成直角三角形，不合题意；
B．因为，所以不能组成直角三角形，不合题意；
C．因为32+42＝52，所以能组成直角三角形，符合题意；
D．因为62+82≠112，所以不能组成直角三角形，不合题意；
故选：C．
2．（2021秋 长春期末）在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（ ）
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能确定
【解析】解：∵AC2﹣BC2＝AB2，
∴AC2＝BC2+AB2，
∴∠B＝90°．
故选：B．
3．（2021秋 威宁县校级期末）已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a＝6，b＝8，c＝10 C．∠A＝∠B+∠C D．a2＝b2﹣c2
【解析】解：A、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，
∴∠C＝5×15°＝75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵62+82＝102，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，
∴∠A＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵a2＝b2﹣c2，
∴a2+c2＝b2，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．（2021秋 青神县期末）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a2：b2：c2＝3：4：5
【解析】解：A、∠A﹣∠B＝∠C，∠A＝90°，是直角三角形，不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴∠C＝90°，是直角三角形，不符合题意；
C、a2＝c2﹣b2，a2+b2＝c2，是直角三角形，不符合题意；
D、∵设a2＝3x，b2＝4x，c2＝5x，3x+4x≠5x，∴a2+b2≠c2，不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
5．（2021秋 顺德区期末）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A．B．C． D．
【解析】解：A、三角形的三边为，2，3，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
B、三角形的三边为，，，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
C、三角形的三边为，，2，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；
D、三角形的三边为，，2，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
6．（2021秋 平谷区期末）如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A． B． C．D．
【解析】解：∵52＝25，122＝144，92＝81，152＝225，132＝169，
∴52+122＝132，52+92≠122，92+122＝152，52+132≠152，
∴A错误，B错误，C正确，D错误．
故选：C．
7．（2021秋 上蔡县期末）一架2.5米长的梯子靠在一座高10米的建筑物上，此时梯子底部离建筑物墙面0.7米．若梯子的顶部滑下0.4米，则梯子的底部向外滑出距离为（ ）
A．1米 B．0.8米 C．0.6米 D．0.4米
【解析】解：在Rt△AOB中，
根据勾股定理AB2＝AO2+OB2，可以求得：
OA＝＝2.4（米），
现梯子的顶部滑下0.4米，即OC＝2.4﹣0.4＝2（米），
且CD＝AB＝2.5米，
所以在Rt△COD中，DO2＝CD2﹣CO2，
即DO＝＝1.5（米），
所以梯子的底部向外滑出的距离为1.5﹣0.7＝0.8（米）．
答：梯子的底部向外滑出的距离为0.8米，
故选：B．
8．（2021秋 正定县期末）在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，则△ABC中AC边上的高线长为（ ）
A． B．6 C．4.8 D．
【解析】解：设AC边上的高线为h，
∵△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，
∴62+82＝102，即AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝AB BC＝
即×6×8＝
h＝4.8．
故选：C．
9．（2021秋 禅城区期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
【解析】解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
所以x+2＝17．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故选：C．
10．（2021秋 铁西区期末）在如图所示的方格纸中，点A，B，C均为格点，则∠ABC的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
【解析】解：连接AC，
则AC＝BC＝＝，
AB＝＝，
∵（）2+（）2＝（）2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°．
故选：C．
二．填空题
11．（2020秋 泾阳县期末）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，连接BD，则CD的长为 ．
【解析】解：∵△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，
∴AD＝DB，
设CD为x，AD＝DB＝4﹣x，
在Rt△CDB中，CD2+BC2＝DB2，
即x2+32＝（4﹣x）2，
解得x＝，
即CD＝，
故答案为：．
12．（2021秋 新泰市期中）如图所示，校园有一块四边形草坪ABCD，测得∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，则这块四边形草坪的面积是 234 m2．
【解析】解：连接AC，如图：
∵∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，
∴AC2＝AB2+BC2＝242+72＝625，
∴AC＝25（m）．
又∵CD＝15m，AD＝20m，152+202＝252，即AD2+DC2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
＝ AB BC+ AD DC
＝×24×7+×20×15
＝234（m2）．
答：这块四边形草坪的面积是234m2．
故答案为：234．
13．（2021秋 海陵区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，高BD＝8，AD＝6，AE平分∠BAC，则△ABE的面积为 15 ．
【解析】解：如图，过点E作EF⊥AB于F，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，ED⊥AC，
∴EF＝DE，∠ADE＝∠AFE＝90°，
在Rt△AEF和Rt△AED中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△AED（HL），
∴AF＝AD＝6，
∴BF＝AB﹣AF＝10﹣6＝4，
设EF＝DE＝x，则BE＝8﹣x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴EF＝3，
∴S△ABE＝＝15．
故答案为：15．
14．（2021 昭通模拟）在△ABC中，AB＝15，AC＝20，D是BC边所在直线上的点，AD＝12，BD＝9，则BC＝ 25或7 ．
【解析】解：如图1所示，当点D在线段BC上时，
∵AD＝12，BD＝9，AB＝15，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴DC＝＝＝16，
∴BC＝BD+CD＝9+16＝25；
如图2所示，当点D在CB的延长线上时，
同理可得，DC＝16，
∴BC＝CD﹣BD＝16﹣9＝7；
由于AC＞AB，所以点D不在BC的延长线上．
综上所述，BC的长度为25或7．
故答案为：25或7．
15．（2021秋 卧龙区期末）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为 2.7 m．
【解析】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AE＝0.7米，DE＝2.4米，
∴AD2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠ABC＝90°，BC＝1.5米，AB2+BC2＝AC2，
∴AB2+1.52＝6.25，
∴AB2＝4．
∵AB＞0，
∴AB＝2米．
∴BE＝AE+AB＝0.7+2＝2.7米．
答：小巷的宽度BE为2.7米，
故答案为：2.7．
16．（2021秋 朝阳区校级期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ 45 °（点A，B，P是网格线交点）．
【解析】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°．
故答案为：45．
三．解答题
17．（2021秋 新民市期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．
（1）线段AB的长度是 ，线段CD的长度是 2 ．
（2）若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．
【解析】解：（1）由图可得，
AB＝＝，CD＝＝2，
故答案为：，2；
（2）以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形，
理由：∵AB＝，CD＝2，EF＝，
∴CD2+EF2＝（2）2+（）2＝8+5＝13＝AB2，
∴以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形．
18．（2021秋 卧龙区校级月考）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，根据下列各边的长度，判断各三角形是否为直角三角形，并指出哪一个角是直角．
（1）a＝2，b＝，c＝3；
（2）a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1；（n＞1）
【解析】解：（1）∵a＝2，b＝，c＝3，
∴a2+c2＝13，b2＝13，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，∠B 是直角；
（2）∵a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1，
∴a2+b2＝（2n）2+（n2﹣1）2＝n4+2n2+1，c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，∠C是直角．
19．（2021秋 西岗区期末）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）学校计划在空地上种植草皮，若每平方米草皮要200元，问学校需要投入多少资金买草皮．
【解析】解：（1）连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝AD AB+DB BC＝×4×3+×12×5＝36．
故这块四边形空地的面积是36平方米；
（2）36×200＝7200（元）．
答：学校需要投入7200元资金买草皮．
20．（2021秋 苏州期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求DF的长．
【解析】证明：（1）∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴AD2＝AE2+DE2＝82+42＝80，
同理：CD2＝20，
∴AD2+CD2＝100，
∵AC＝AE+CE＝8+2＝10，
∴AC2＝100，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC＝90°；
（2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC＝10，
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，
∵点F是边AB的中点，
∴DF＝．
21．（2021秋 内江期末）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，以台风中心为圆心，周围500km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【解析】解：（1）∵AC＝600km，BC＝800km，AB＝1000km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴600×800＝1000×CD，
∴CD＝480（km），
∵以台风中心为圆心周围500km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝500km，FC＝500km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝140（km），
∴EF＝280km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴280÷28＝10（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为10小时．
22．（2021秋 滨江区校级月考）如图，在△ABC中，AD、AE分别是高和角平分线．
（1）若∠BAC＝86°，∠C＝32°，求∠DAE的度数；
（2）若AB＝15，AC＝20，AD＝12．
①求证：∠BAC是直角；
②求AE的长度．
【解析】（1）解：∵AE平分∠ABC，
∴∠EAC＝∠BAC＝43°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝58°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝58°﹣43°＝15°．
（2）①证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴BD＝＝＝9，CD＝＝＝16，
∴BC＝BD+DC＝9+16＝25，
∵AB2+AC2＝152+202＝625，BC2＝625，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°；
②解：过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AB于N，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAB＝∠AEC＝45°，
∴△AME，△AEN都是等腰直角三角形，
∴AN＝NE＝EM＝AM，
∵ AB AC＝ AB EN+ AC EM，
∴EM＝＝．
∴AE＝EM＝．
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