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5.1.1 相交线
一、单选题
1．（2021·湖南涟源·）如图，于点，点是线段上任意一点，若，则的长不可能是（ ）
A．5.5 B．6 C．7 D．8
2．（2021·全国·）如图，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，则下面的结论中，正确的个数为（ ）．
①AC与BC互相垂直
②CD与BC互相垂直
③点B到AC的垂线段是线段CA
④点C到AB的距离是线段CD
⑤线段AC的长度是点A到BC的距离
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2021·吉林省第二实验学校）如图，∠1与∠2是同位角的是（ ）
① ② ③ ④
A．① B．② C．③ D．④
4．（2021·全国·）已知图（1）～（4），
在上述四个图中，与是同位角的有（ ）．
A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）
5．（2021·江苏·）已知各角的度数如图所示，则下列各题中的和分别是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2021·湖南宁乡·）如图所示，O为直线BC上一点，∠AOC=35°，则∠1＝____________．
7．（2021·全国·）垂线的性质2:连接直线外一点与直线上各点的__________中，________最短．直线外一点到这条直线的_______________叫做点到直线的距离．
8．（2021·全国·）四条直线两两相交，则图形中共有_________对对顶角（平角除外）；有_______对邻补角．
9．（2021·全国·）如图，点为直线上一点，．
（1）__________________°，__________________°；
（2）的余角是__________________，的补角是___________________．
10．（2021·河南·驻马店市第一高级中学分校）如图，∠1还可以用______ 表示，若∠1=62°，那么∠BCA=____ 度．
三、解答题
11．（2021·全国·）如图．两条直线a，b相交．
（1）如果∠1=60°，求∠2，∠3，∠4的度数；
（2）如果2∠3=3∠1，求∠2，∠3，∠4的度数．
12．（2022·黑龙江香坊·）已知，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，∠EOC：∠BOD＝7：11．
（1）如图1，求∠DOE的度数；
（2）如图2，过点O画出直线CD的垂线MN，请直接写出图中所有度数为125°的角．
13．（2021·四川江油·）如图，直线，相交于点，，平分，
（1，求；
（2）射线平分， 求的度数．
14．（2021·全国·）如图所示，AB和CD相交于点O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，试说明OM和ON成一条直线．
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数学（人教版）
八年级 下册
2022春人教版七下数学同步精品教学课件
5.1.1 相交线
学习目标
1.理解邻补角与对顶角的概念；
2.掌握邻补角与对顶角的性质，并能运用它们的性质进行角的计算及解决简单实际问题.（重点、难点）
观察图片中的出现的直线，你发现了什么？
观察与思考
纸上任意画两条相交直线，尝试用量角器测量所得角的度数，你发现了什么？
1）∠1______∠2
2）∠3______∠4
3）∠1+∠3=______
3）∠2+∠4=______
=
=
180°
180°
相互交流，所测量数据是否和上述结果相同？
1
2
3
4
O
想一想∠2与∠3， ∠1与∠4之间有什么关系吗？
1
2
4
A
C
D
邻补角：如果两个角有一条______ ，它们的另一边互为___________（ ∠1与∠2互补），那么这两个角互为邻补角.
B
3
观察∠ 1和∠2的顶点和两边，它们有怎样的位置关系？
互为反向延长线
大小关系：邻补角互补∠1+∠2=
O
公共边
观察：1.图中有几对邻补角？
2.∠1的邻补角是 _______
4对
∠2、∠4
成对出现
探究新知
邻补角互补
1
2
A
B
C
D
O
反向延长线
类比∠1和∠2，观察∠ 1和∠3有怎样的位置关系？
3
4
对顶角：如果两个角有一个的_______ ，并且其中一个角的两边是另一个角的两边的 ，那么这两个角互为对顶角.
观察：1.图中有几对对顶角？
2.∠1的对顶角是 __
2对
∠3
公共顶点
成对出现
探究新知
1
2
3
4
A
D
O
B
C
证明：
∵+=
+=
= ）
同理 =
对顶角3有怎样的数量关系呢？
对顶角的性质：对顶角相等
猜想、思考：为什么？
数量关系
B
A
C
D
O
1
2
3
4
1.有公共顶点
归类
∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1
∠1和∠3、
∠2和∠4、
1.有公共顶点
特征
邻补角
对顶角
2.有一条公共边
3.另一边互为反向
延长线
2.没有公共边
两直线相交
3.两边互为反向延长线
位置
关系
邻补角、对顶角的位置关系和大小关系
∠1+∠2=
∠2+∠3=
∠3+∠4=
∠4+∠1=
∠1=∠3
∠2=∠4
总结归纳
1. 当∠1=45°时，求∠2，∠3，∠ 4的度数；
1
2
3
4
解：由邻补角的定义，得
∠3=180°-∠1=180°-45°=135°
由对顶角的性质，得
∠2 =∠1 =45°
∠3 =∠4 =135°
巩固提高
2. 当∠1=90°时，求∠2，∠3，∠4的度数；
解：由邻补角的定义，得
∠3=180°-∠1=180°- 90°=90°
由对顶角的性质，得
∠2 =∠1 =90°
∠3 =∠4 =90°
1
2
3
4
D
A
B
C
巩固提高
3. 当∠1=n°时，求∠2，∠3，∠4的度数；
解：由邻补角的定义，得
∠3=180°-∠1=180°- n°
由对顶角的性质，得
∠2 =∠1 =n°
∠3 =∠4 =180°-n°
1
2
3
4
D
A
B
C
巩固提高
1. 当∠3是∠1的5倍时, 求∠1，∠2，∠3，∠4的度数；
解：由邻补角的定义，得
∠3+∠1=180°而∠3是∠1的5倍
解得，∠1=30°，∠3=150°
由对顶角的性质，得
∠2 =∠1 =30°
∠3 =∠4 =150°
1
2
3
4
D
A
B
C
合作探究
2. 两条直线 、 相交，其中2∠3=3∠1，求∠2的度数.
解：根据题意，∠1与∠3是邻补角，
∴∠1+∠3=180°，
∵2∠3=3∠1，
∴∠3=108°，∠1=72°
根据对顶角性质，得
∠2=∠3=108°
合作探究
3.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠DOB，若∠AOC=40 ，求∠AOE的度数.
解：∵∠AOC＝40°，
∴∠AOD＝180° ∠AOC＝140°，∠DOB＝∠AOC＝40°，
∵OE平分∠DOB，
∴∠DOE＝1/2∠DOB＝20°，
∴∠AOE＝∠AOD＋∠DOE＝140°＋20°＝160°．
合作探究
图形语言（基本图形） 文字语言 符号语言
邻补角
对顶角 对顶角相等 ∵∠1与∠3是对顶角
∴∠1=∠3
（对顶角相等）
）
（
1
3
（
1
2
（
三种语言
总结归纳
1.下列各图中， ∠1 ，∠2是对顶角吗？
(
)
1
2
(
)
1
2
(
)
2
1
2.下列各图中， ∠1 ，∠2是邻补角吗？
(
1
（
2
(
)
1
2
(
)
1
2
不是
是
不是
不是
是
不是
当堂检测
观察下列各图，寻找对顶角（不含平角)
⑴ 如图a，图中共有 对对顶角；
⑵ 如图b，图中共有 对对顶角；
⑶ 如图c，图中共有 对对顶角；
⑷ 研究⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，猜测：若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角；
⑸ 若有10条直线相交于一点，则可形成 对对顶角.
图a
图b
图c
2
6
12
n(n-1)
90
转化思想
转化成两条直线相交
应用拓展
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5.1.1 相交线
一、单选题
1．（2021·湖南涟源·）如图，于点，点是线段上任意一点，若，则的长不可能是（ ）
A．5.5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】
解：∵AC⊥BC于点C，点D是线段BC上任意一点，AC=6，
∴AD≥6，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了垂线段，关键是掌握垂线段最短．
2．（2021·全国·）如图，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，则下面的结论中，正确的个数为（ ）．
①AC与BC互相垂直
②CD与BC互相垂直
③点B到AC的垂线段是线段CA
④点C到AB的距离是线段CD
⑤线段AC的长度是点A到BC的距离
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】
解：①AC与BC互相垂直，正确；
②∵CD和AB互相垂直，故②错误；
③∵点B到AC的垂线段是线段BC的长度，故③错误；
④∵点C到AB的距离是线段CD的长度，故④错误；
⑤线段AC的长度是点A到BC的距离，正确；
综上，正确的是①⑤，共2个，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是点到直线的距离、垂直的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键．特别注意点到直线的距离指的是点到直线的垂线段的长度，互相垂直指夹角为90°．
3．（2021·吉林省第二实验学校）如图，∠1与∠2是同位角的是（ ）
① ② ③ ④
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】
根据同位角的定义可知②中的∠1与∠2是同位角；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了同位角的判断，准确解析判断是解题的关键．
4．（2021·全国·）已知图（1）～（4），
在上述四个图中，与是同位角的有（ ）．
A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）
【答案】C
【解析】
解：由图形可得，∠1与∠2是同位角有（1）（3）．
故选：C．
【点睛】
此题考查了同位角的知识，属于基础题，掌握定义是关键．
5．（2021·江苏·）已知各角的度数如图所示，则下列各题中的和分别是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：根据题意得：x=2x-30°，
解得：x=30°；
y+2y-30°=180°，
解得：y=70°；
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元一次方程组的应用，理解对顶角相等，邻补角互补，解答本题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程组．
二、填空题
6．（2021·湖南宁乡·）如图所示，O为直线BC上一点，∠AOC=35°，则∠1＝____________．
【答案】145°
【解析】
解：∵∠AOC+∠AOB=180°，且∠AOC=35°．
∴∠1＝∠AOB=145°，
故答案为：145°．
【点睛】
本题主要考查了邻补角的性质，根据题意得到∠AOC+∠AOB=180°是解题的关键．
7．（2021·全国·）垂线的性质2:连接直线外一点与直线上各点的__________中，________最短．直线外一点到这条直线的_______________叫做点到直线的距离．
【答案】所有线段 垂线段 垂线段的长度
【解析】
解：垂线的性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
故答案为：所有线段；垂线段；垂线段的长度．
【点睛】
本题主要考查了垂线段和点到直线的距离等定义，正确把握相关定义是解题关键．
8．（2021·全国·）四条直线两两相交，则图形中共有_________对对顶角（平角除外）；有_______对邻补角．
【答案】12 24
【解析】
解：∠AOC与∠BOD互为对顶角，∠AOH与∠BOG互为对顶角，∠AOF与∠BOE互为对顶角；
∠COH与∠DOG互为对顶角，∠COF与∠DOE互为对顶角，∠COB与∠DOA互为对顶角；
∠HOF与∠GOE互为对顶角，∠HOB与∠GOA互为对顶角，∠HOD与∠GOC互为对顶角；
∠FOB与∠EOA互为对顶角，∠FOD与∠EOC互为对顶角，∠FOG与∠EOH互为对顶角，
∴对顶角共有12对；
∠AOC与∠BOC互为邻补角，∠AOH与∠BOH互为邻补角，∠AOF与∠BOF互为邻补角，∠AOE与∠BOE互为邻补角，∠AOG与∠BOG互为邻补角，∠AOD与∠BOD互为邻补角；
∠COH与∠DOH互为邻补角，∠COF与∠DOF互为邻补角，∠COB与∠DOB互为邻补角，∠COA与∠DOA互为邻补角，∠COE与∠DOE互为邻补角，∠COG与∠DOG互为邻补角；
∠GOE与∠HOE互为邻补角，∠GOA与∠HOA互为邻补角，∠GOC与∠HOC互为邻补角，∠GOD与∠HOD互为邻补角，∠GOB与∠HOB互为邻补角，∠GOF与∠HOF互为邻补角；
∠EOA与∠FOA互为邻补角，∠EOC与∠FOC互为邻补角，∠EOH与∠FOH互为邻补角，∠EOG与∠FOG互为邻补角，∠EOD与∠FOD互为邻补角，∠EOB与∠FOB互为邻补角，
∴邻补角共有24对，
故答案为：12；24．
【点睛】
本题考查了对顶角、邻补角的定义；仔细观察图形弄清各个角之间的对顶角关系和邻补角关系是解题的关键．
9．（2021·全国·）如图，点为直线上一点，．
（1）__________________°，__________________°；
（2）的余角是__________________，的补角是___________________．
【答案】35 55 与
【解析】
解：（1），，
，，
，，，
，
，
，；
（2）由（1）可得的余角是与，
，
的补角是，
的补角是．
故答案为：（1）35，55；（2）与，．
【点睛】
本题主要考查余角、补角以及垂直的定义，熟记补角、余角以及垂直的定义是解题关键．
10．（2021·河南·驻马店市第一高级中学分校）如图，∠1还可以用______ 表示，若∠1=62°，那么∠BCA=____ 度．
【答案】
【解析】
根据角的表示和邻补角的性质计算即可；
【答案】
∠1还可以用表示；
∵∠1=62°，，
∴；
故答案是：；．
【点睛】
本题主要考查了角的表示和邻补角的性质，准确计算是解题的关键．
三、解答题
11．（2021·全国·）如图．两条直线a，b相交．
（1）如果∠1=60°，求∠2，∠3，∠4的度数；
（2）如果2∠3=3∠1，求∠2，∠3，∠4的度数．
【答案】
解：（1）∵∠1=60°，
∴∠2=180°-∠1=180°-60°=120°，
∴∠3=∠2=120°，∠4=∠1=60°；
（2）∵∠1+∠3=180°，2∠3=3∠1，
∴∠1=72°，∠3=108°，
∴∠2=∠3=108°，∠4=∠1=72°．
【解析】
（1）根据邻补角的定义求出∠2，再根据对顶角相等可得∠3=∠2，∠4=∠1；
（2）邻补角的定义可得∠1+∠3=180°，然后求出∠1、∠3，再根据对顶角相等解答．
【点睛】
本题考查了对顶角相等，互为邻补角的两个角的和等于180°，是基础题，熟记概念是解题的关键．
12．（2022·黑龙江香坊·）已知，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，∠EOC：∠BOD＝7：11．
（1）如图1，求∠DOE的度数；
（2）如图2，过点O画出直线CD的垂线MN，请直接写出图中所有度数为125°的角．
【答案】
解：（1）∵EO⊥AB，
∴∠BOE=90°，
∴∠COE+∠BOD=90°，
∵∠EOC：∠BOD＝7：11，
∴∠COE=35°，∠BOD=55°，
∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=145°；
（2）∵MN⊥CD，
∴∠COM=90°，
∴∠EOM=∠COE+∠COM=125°，
∵∠BOD=55°，
∴∠BOC=180°-∠BOD=125°，
∴∠AOD=∠BOC=125°，
∴图中度数为125°的角有：∠EOM，∠BOC，∠AOD．
【解析】
（1）由EO⊥AB，得到∠BOE=90°，则∠COE+∠BOD=90°，再由∠EOC：∠BOD＝7：11，求出∠COE=35°，∠BOD=55°，则∠DOE=∠BOD+∠BOE=145°；
（2）由MN⊥CD，得到∠COM=90°，则∠EOM=∠COE+∠COM=125°，再由∠BOD=55°，得到∠BOC=180°-∠BOD=125°，则∠AOD=∠BOC=125°．
【点睛】
本题主要考查了几何中角度的计算，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握垂线的定义．
13．（2021·四川江油·）如图，直线，相交于点，，平分，
（1，求；
（2）射线平分， 求的度数．
【答案】
（1）设∠BOE=x°，
∵：，
∴，
∴，
∴，
∵OF平分，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴；
（2）∵平分，设，
∴，
由（1）知，，
又∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴，
∴，
∴．
【解析】
（1）设∠BOE=x°，用含有x的代数式分别表示∠AOC，∠AOF，代入已知求解即可；
（2）设∠BOE=x°，∠AOM=y°，计算x+y的大小即可．
【点睛】
本题考查了角的计算，角平分线的定义，平角的定义，角的和与差，熟练运用方程思想，整体思想计算是解题的关键．
14．（2021·全国·）如图所示，AB和CD相交于点O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，试说明OM和ON成一条直线．
【答案】
∵ OM平分∠AOC，ON平分∠BOD（已知），
∴ ∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON（角平分线定义），
∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
∴∠AOM=∠BON（等量代换），
∵∠AON+∠BON=180°（邻补角定义），
∴∠MON=∠AON+∠AOM=180°（等量代换），
∴ OM和ON共线．
【解析】
根据角平分线的性质及对顶角的特点求出∠MON=∠AON+∠AOM=180°，故可得到OM和ON共线．
【点睛】
此题主要考查邻补角的应用，解题的关键是熟知角平分线与对顶角的性质．
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