2022年北师大版九年级数学下册3.5确定圆的条件 知识点分类训练（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2022年北师大版九年级数学下册3.5确定圆的条件 知识点分类训练（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 264.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-10 09:41:27 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-5确定圆的条件》知识点分类训练（附答案）
一．点与圆的位置关系
1．一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ）
A．1.5cm B．7.5cm C．1.5cm或7.5cm D．3cm或15cm
2．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，求AP的最小值．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（ ）
A． B．2﹣2 C．2﹣2 D．4
5．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
二．确定圆的条件
6．下列说法错误的是（ ）
A．已知圆心和半径可以作一个圆
B．经过一个已知点A的圆能作无数个
C．经过两个已知点A，B的圆能作两个
D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能作一个圆
7．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
三．三角形的外接圆与外心
8．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°
9．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（ ）
A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．25° C．15° D．10°
11．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝ ．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC长为 ．
14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为（ ）
A．5 B． C．5 D．5
15．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝ ．
16．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ．
17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是 ．
18．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是 度．
19．如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．
20．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC＝BC，D为⊙O中上一点，延长DA至点E，使CE＝CD．
（1）求证：AE＝BD；
（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD＝CD．
参考答案
一．点与圆的位置关系
1．解：分为两种情况：
①当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是15cm，因而半径是7.5cm；
②当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是3cm，因而半径是1.5cm．
故选：C．
2．解：∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝3、MQ＝4，
∴OM＝5，
又∵MP′＝2，
∴OP′＝3，
∴AB＝2OP′＝6，
故选：C．
3．解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，
可见，AP1+EP1＞AE，
即AP2是AP的最小值，
∵AE＝＝，P2E＝1，
∴AP2＝﹣1．
4．解：如图，
∵AE⊥BE，
∴点E在以AB为直径的半⊙O上，
连接CO交⊙O于点E′，
∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，
∵AB＝4，
∴OA＝OB＝OE′＝2，
∵BC＝6，
∴OC＝＝＝2，
则CE′＝OC﹣OE′＝2﹣2，
故选：B．
5．解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故选：B．
二．确定圆的条件
6．解：A、已知圆心和半径可以作一个圆，说法正确，故不符合题意．
B、只有确定圆心和半径才能确定一个圆，所以经过一个已知点A的圆能作无数个，说法正确，故不符合题意．
C、只有确定圆心和半径才能确定一个圆，所以已知点A，B的圆能作无数个，说法错误，故符合题意．
D、经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能作一个圆，说法正确，故不符合题意．
故选：C．
7．解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
三．三角形的外接圆与外心
8．解：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC＝80°，
∴∠A＝40°，∠A′＝140°，
故∠BAC的度数为：40°或140°．
故选：C．
9．解：如图，连接OA、OB、OD．
∵O是△ABC的外心，
∴OA＝OB＝OC，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OA＝OB＝OE，
∴O是△ABE的外心，
∵OA＝OE≠OD，
∴O不是△AED的外心，
故选：B．
10．解：连接OB和OC，
∵圆O半径为2cm，BC＝2cm，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A＝∠BOC＝30°，
故选：A．
11．解：如图，作直径BD，连接CD，
由勾股定理得，BD＝＝2，
在Rt△BDC中，cos∠BDC＝＝＝，
由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC，
∴cos∠BAC＝cos∠BDC＝，
故选：B．
12．解：设点D为优弧AB上一点，连接AD、BD、OA、OB，如右图所示，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB＝2，
∴AB＝2，
故答案为：2．
13．解：连接CD，如图所示：
∵∠B＝∠DAC，
∴，
∴AC＝CD，
∵AD为直径，
∴∠ACD＝90°，
在Rt△ACD中，AD＝4，
∴AC＝CD＝AD＝×4＝2，
故答案为：2．
14．解：连接OA、OB、OP，
∵∠C＝30°，
∴∠APB＝∠C＝30°，
∵PB＝AB，
∴＝，
∴∠PAB＝∠APB＝30°
∴∠ABP＝120°，
∵PB＝AB，
∴OB⊥AP，AD＝PD，
∴∠OBP＝∠OBA＝60°，
∵OB＝OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝5，
则Rt△PBD中，PD＝cos30° PB＝×5＝，
∴AP＝2PD＝5，
故选：D．
15．解：连接AB，则AB为⊙M的直径．
Rt△ABO中，∠BAO＝∠OCB＝60°，
∴OB＝OA＝×＝．
过B作BD⊥OC于D．
Rt△OBD中，∠COB＝45°，
则OD＝BD＝OB＝．
Rt△BCD中，∠OCB＝60°，
则CD＝BD＝1．
∴OC＝CD+OD＝1+．
故答案为：1+．
16．解：如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
故答案为：．
17．解：过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，
则此时，点P到AC的距离最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，
∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，
∴OP＝OA＝6，
∴OM＝OA＝×6＝3，
∴PM＝OP+OM＝6+3，
∴则点P到AC距离的最大值是6+3，
故答案为：6+3．
18．解：连接OA，OB，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴∠OAD＝∠OBE，
∵AD＝BE，
∴△OAD≌△OBE（SAS），
∴∠DOA＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝120°，
故答案为：120．
19．（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∴∠AEP＝∠ABP＝45°，
∵PE是直径，
∴∠PAE＝90°，
∴∠APE＝∠AEP＝45°，
∴AP＝AE，
∴△PAE是等腰直角三角形．
（2）∵AC＝AB．AP＝AE，∠CAB＝∠PAE＝90°，
∴∠CAP＝∠BAE，
∴△CAP≌△BAE，
∴∠ACP＝∠ABE＝45°，PC＝EB，
∴∠PBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，
∴PB2+PC2＝PB2+BE2＝PE2＝22＝4．
20．证明：（1）∵△ABC是⊙O的内接三角形，AC＝BC，
∴∠ABC＝∠BAC，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED；
又∵∠ABC＝∠CDE，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠CDE＝∠CED，（同弧上的圆周角相等）
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△AEC和△BDC中，
∴△AEC≌△BDC（SAS），
∴AE＝BD．
（2）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝90°；
又∵CD＝CE，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴DE＝CD，
又∵DE＝AD+AE且AE＝BD，
∴AD+BD＝CD．
一．点与圆的位置关系
1．一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ）
A．1.5cm B．7.5cm C．1.5cm或7.5cm D．3cm或15cm
2．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，求AP的最小值．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（ ）
A． B．2﹣2 C．2﹣2 D．4
5．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
二．确定圆的条件
6．下列说法错误的是（ ）
A．已知圆心和半径可以作一个圆
B．经过一个已知点A的圆能作无数个
C．经过两个已知点A，B的圆能作两个
D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能作一个圆
7．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
三．三角形的外接圆与外心
8．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°
9．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（ ）
A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．25° C．15° D．10°
11．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝ ．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC长为 ．
14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为（ ）
A．5 B． C．5 D．5
15．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝ ．
16．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ．
17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是 ．
18．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是 度．
19．如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．
20．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC＝BC，D为⊙O中上一点，延长DA至点E，使CE＝CD．
（1）求证：AE＝BD；
（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD＝CD．
参考答案
一．点与圆的位置关系
1．解：分为两种情况：
①当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是15cm，因而半径是7.5cm；
②当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是3cm，因而半径是1.5cm．
故选：C．
2．解：∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝3、MQ＝4，
∴OM＝5，
又∵MP′＝2，
∴OP′＝3，
∴AB＝2OP′＝6，
故选：C．
3．解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，
可见，AP1+EP1＞AE，
即AP2是AP的最小值，
∵AE＝＝，P2E＝1，
∴AP2＝﹣1．
4．解：如图，
∵AE⊥BE，
∴点E在以AB为直径的半⊙O上，
连接CO交⊙O于点E′，
∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，
∵AB＝4，
∴OA＝OB＝OE′＝2，
∵BC＝6，
∴OC＝＝＝2，
则CE′＝OC﹣OE′＝2﹣2，
故选：B．
5．解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故选：B．
二．确定圆的条件
6．解：A、已知圆心和半径可以作一个圆，说法正确，故不符合题意．
B、只有确定圆心和半径才能确定一个圆，所以经过一个已知点A的圆能作无数个，说法正确，故不符合题意．
C、只有确定圆心和半径才能确定一个圆，所以已知点A，B的圆能作无数个，说法错误，故符合题意．
D、经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能作一个圆，说法正确，故不符合题意．
故选：C．
7．解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
三．三角形的外接圆与外心
8．解：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC＝80°，
∴∠A＝40°，∠A′＝140°，
故∠BAC的度数为：40°或140°．
故选：C．
9．解：如图，连接OA、OB、OD．
∵O是△ABC的外心，
∴OA＝OB＝OC，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OA＝OB＝OE，
∴O是△ABE的外心，
∵OA＝OE≠OD，
∴O不是△AED的外心，
故选：B．
10．解：连接OB和OC，
∵圆O半径为2cm，BC＝2cm，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A＝∠BOC＝30°，
故选：A．
11．解：如图，作直径BD，连接CD，
由勾股定理得，BD＝＝2，
在Rt△BDC中，cos∠BDC＝＝＝，
由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC，
∴cos∠BAC＝cos∠BDC＝，
故选：B．
12．解：设点D为优弧AB上一点，连接AD、BD、OA、OB，如右图所示，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB＝2，
∴AB＝2，
故答案为：2．
13．解：连接CD，如图所示：
∵∠B＝∠DAC，
∴，
∴AC＝CD，
∵AD为直径，
∴∠ACD＝90°，
在Rt△ACD中，AD＝4，
∴AC＝CD＝AD＝×4＝2，
故答案为：2．
14．解：连接OA、OB、OP，
∵∠C＝30°，
∴∠APB＝∠C＝30°，
∵PB＝AB，
∴＝，
∴∠PAB＝∠APB＝30°
∴∠ABP＝120°，
∵PB＝AB，
∴OB⊥AP，AD＝PD，
∴∠OBP＝∠OBA＝60°，
∵OB＝OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝5，
则Rt△PBD中，PD＝cos30° PB＝×5＝，
∴AP＝2PD＝5，
故选：D．
15．解：连接AB，则AB为⊙M的直径．
Rt△ABO中，∠BAO＝∠OCB＝60°，
∴OB＝OA＝×＝．
过B作BD⊥OC于D．
Rt△OBD中，∠COB＝45°，
则OD＝BD＝OB＝．
Rt△BCD中，∠OCB＝60°，
则CD＝BD＝1．
∴OC＝CD+OD＝1+．
故答案为：1+．
16．解：如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
故答案为：．
17．解：过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，
则此时，点P到AC的距离最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，
∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，
∴OP＝OA＝6，
∴OM＝OA＝×6＝3，
∴PM＝OP+OM＝6+3，
∴则点P到AC距离的最大值是6+3，
故答案为：6+3．
18．解：连接OA，OB，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴∠OAD＝∠OBE，
∵AD＝BE，
∴△OAD≌△OBE（SAS），
∴∠DOA＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝120°，
故答案为：120．
19．（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∴∠AEP＝∠ABP＝45°，
∵PE是直径，
∴∠PAE＝90°，
∴∠APE＝∠AEP＝45°，
∴AP＝AE，
∴△PAE是等腰直角三角形．
（2）∵AC＝AB．AP＝AE，∠CAB＝∠PAE＝90°，
∴∠CAP＝∠BAE，
∴△CAP≌△BAE，
∴∠ACP＝∠ABE＝45°，PC＝EB，
∴∠PBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，
∴PB2+PC2＝PB2+BE2＝PE2＝22＝4．
20．证明：（1）∵△ABC是⊙O的内接三角形，AC＝BC，
∴∠ABC＝∠BAC，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED；
又∵∠ABC＝∠CDE，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠CDE＝∠CED，（同弧上的圆周角相等）
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△AEC和△BDC中，
∴△AEC≌△BDC（SAS），
∴AE＝BD．
（2）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝90°；
又∵CD＝CE，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴DE＝CD，
又∵DE＝AD+AE且AE＝BD，
∴AD+BD＝CD．