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2.3-2.4 不等式的解集 一元一次不等式
一、单选题
1．用不等式表示图中的解集，其中正确的是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
【答案】D
【分析】
根据不等式的解集表示方法即可求解．
【解析】
解：∵表示不等式的解集的折线向右延伸，且表示﹣2的点是空心圆点
∴x＞﹣2
故选：D．
【点睛】
此题主要考查不等式解集的表示，解题的关键是熟知不等式解集的表示方法．
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数多个 D．不等式的正数解有有限多个
【答案】B
【分析】
正确解出不等式的解集，就可以进行判断．
【解析】
解：、正确；
、不等式的解集是，不包括，故错误；
、正确；
、不等式的正整数解有4，3，2，1，故正确．
故选：．
【点睛】
本题考查了不等式的解集，利用了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
3．在﹣2、3、﹣4、0、1、、﹣中能使不等式x﹣2＞2x成立的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】
直接解不等式，进而得出符合题意的个数．
【解析】
解：x﹣2＞2x，
解得：x＜﹣2，
故符合题意的有：﹣4，﹣共2个．
故选：C．
【点睛】
此题考查不等式的解集，正确解不等式是解题关键．
4．下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式x＜5的整数解有无数多个
B．不等式﹣2x＜8的解集是x＜﹣4
C．不等式x＞﹣5的负整数解是有限个
D．﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解
【答案】B
【分析】
先求解不等式，然后根据不等式解集的定义进行判断．
【解析】
A、小于5的整数有无数个，正确；
B、不等式﹣2x＜8的解集是x＞﹣4，错误；
C、不等式x＞﹣5的负整数解集有﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，正确；
D、不等式2x＜﹣8的解集是x＜﹣4，因而﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解，正确．
故选B．
【点睛】
本题考查不等式的解集，求出不等式的解集是解题的关键．
5．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
化系数为1时，不等号方向改变了，利用不等式基本性质可知1-a＜0，所以可解得a的取值范围．
【解析】
∵不等式（1-a）x＞2的解集为，
又∵不等号方向改变了，
∴1-a＜0，
∴a＞1；
故选：B．
【点睛】
此题考查解一元一次不等式，解题关键在于掌握在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
6．下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）
①；②；③；④；⑤．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】
根据一元一次不等式的定义作出判断．
【解析】
解：①；③；④三个不等式中，未知数只有1个，且未知数的最高次数为1次，所以3个都是一元一次不等式；
②，未知数的次数为-1，不是1，所以不是一元一次不等式；
⑤是一个不含未知数的不等式，所以不是一元一次不等式．
故选C．
【点睛】
本题考查一元一次不等式，正确理解一元一次不等式的意义是解题关键．
7．与不等式的解集相同的不等式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用不等式的性质进行计算求解，逐项判断．
【解析】
由，解得：，
A、由，解得：，故符合题意；
B、由，解得：，故不符合题意；
C、由，解得：，故不符合题意；
D、由，解得：，故不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质是关键．
8．如图，是关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集，则a的取值是（ ）
A．a≤﹣1 B．a≤﹣2 C．a=﹣1 D．a=﹣2
【答案】C
【分析】
先解不等式求出其解集，然后由数轴可得不等式的解集为x≤﹣1，进而可得关于a的方程，解方程即得答案．
【解析】
解：解不等式2x﹣a≤﹣1，得，
由不等式的解集在数轴上的表示可得不等式的解集是x≤﹣1，
所以，解得：a=﹣1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的解法和不等式的解集在数轴上的表示，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题关键．
9．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先解出不等式，根据已知条件求出m，n的式子计算即可；；
【解析】
解不等式得，
，
∵，
∴，
得到：，
解得：，
整理不等式，
得，
解得：．
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了一元一次不等式的解法，准确计算是解题的关键．
10．某商店的老板销售一种商品，他以不低于进价20%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价，若你想买下标价为360元的这种商品，且使商店老板愿出售，你最多可要求老板降价（ ）
A．80元 B．100元 C．120元 D．160元
【答案】C
【分析】
设这件商品的进价为x元，首先根据题意列出方程求出商品的进价，然后求出盈利的最低价格，从而用两个价格作差即可得出答案．
【解析】
设这件商品的进价为x元，根据题意得，
，
解得 ，
盈利的最低价格为（元），
∴商店老板最多会降价（元），
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，能够求出商品的进价及盈利的最低价格是解题的关键．
11．若方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题首先要解这个关于x的方程，然后根据解是负数，就可以得到一个关于m的不等式，最后求出m的范围．
【解析】
原方程可整理为：3mx＋3m＋1＝3m mx 5x，（3m＋m＋5）x＝ 1，两边同时除以（4m＋5）得，x＝，
∵方程3m（x＋1）＋1＝m（3 x） 5x的解是负数，
∴＜0，
∴4m＋5＞0，
解得：．
故选：C．
【点睛】
本题考查一次方程与不等式，解关于x的不等式是解题的关键．
12．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（ ）．A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据加减消元法求解二元一次方程组，结合题意，再根据一元一次不等式的性质计算，即可得到答案．
【解析】
①②得：
∴
将代入②得：
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、一元一次不等式的性质，从而完成求解．
二、填空题
13．一个数x的与-4的差不小于这个数的2倍加上5所得的和，则可列不等式为________．
【答案】
【分析】
根据题意有x的与-4的差可表示为，这个数的2倍加上5所得的和可表示为，不小于即为，则可列出不等式．
【解析】
根据题意有
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查列不等式，掌握列不等式的方法是解题的关键．
14．已知是关于的一元一次不等式，则的值为_________．
【答案】2
【分析】
利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．
【解析】
解：∵不等式（m+2）x|m|-1+3＞0是关于x的一元一次不等式，
∴|m|-1=1，且m+2≠0，
解得：m=-2（舍去）或m=2，
则m的值为2，
故答案为2.
【点睛】
本题考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．
15．如果不等式ax≤2的解集是x≥-4，则a的值为______．
【答案】-
【分析】
利用不等式的基本性质，将两边不等式同时除以a，不等号的方向改变了．得到不等式的解集为：x≥，又因为它的解集是x≥-4，所以=-4，即可解得a的值．
【解析】
∵不等式ax≤2的解集是x≥-4，
∴a＜0；
解不等式得：x≥，
∴=-4，
解得a= ，
故答案为 ．
【点睛】
当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算．
16．不等式①，②，③，④，⑤，⑥中一元一次不等式是________．（只填序号）
【答案】②⑥
【分析】
根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此判断即可．
【解析】
解：①，含有两个未知数，不合题意；
②，是一元一次不等式，符合题意；
③，不等式左边是分式，不符合题意；
④，未知数次数不为，不符合题意；
⑤，即为，不符合题意；
⑥，是一元一次不等式，符合题意；
故答案为：②⑥．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的定义，熟知定义是解本题的关键．
17．(1)不等式2x－3≥x的解集是________；
(2)不等式x－4>3x的解集是________；
(3)不等式>5的解集是________．
【答案】 x≥3 x<－2 x<－
【分析】
(1)解不等式2x－3≥x即可(2)解不等式x－4>3x即可(3)解不等式>5即可.
【解析】
（1）2x－3≥x
(2)x－4>3x
(3)>5
故答案为(1). x≥3 (2). x<－2 (3). x<－
【点睛】
此题重点考察学生对解不等式的应用，掌握不等式的解法是解题的关键.
18．有下列说法:①x=是不等式4x-5>0的解;②x=是不等式4x-5>0的一个解;③x>是不等式4x-5>0的解集;④x>2中任何一个数都可以使不等式4x-5>0成立,所以x>2也是它的解集.其中正确的是__.(填序号)
【答案】②③
【分析】
分别解①②③④中的不等式，再根据不等式的解去判断正误.
【解析】
4x-5>0 故x=不是不等式4x-5>0的解;
② x=是不等式4x-5>0的一个解;
③x>是不等式4x-5>0的解集;
④x>2中任何一个数都可以使不等式4x-5>0成立,但不是它的解集.
【点睛】
此题重点考查学生对不等式解的理解，掌握不等式的解法是解题的关键.
19．用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入铁钉所受的阻力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】
由题意可得出a的最大长度为2+1+0.5=3.5cm，以及敲击2次后铁钉进入木块的长度是2+1=3cm，得出最小长度，即可得出答案．
【解析】
解：∵每次钉入木块的钉子长度是前一次的．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm，
根据题意得：敲击2次后铁钉进入木块的长度是2+1=3cm，
而此时还要敲击1次故长度要大于3cm，
第三次敲击进去最大长度是前一次的二分之一，也就是第二次的一半=0.5cm
所以a的最大长度为2+1+0.5=cm，
故a的取值范围是：3＜a≤．
故答案为：3＜a≤．
【点睛】
此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确的分析得出a的最大长度2+1+0.5=3.5cm，与最小长度是解决问题的关键．
20．如果关于的不等式和的解集相同，则的值是_____．
【答案】-2
【分析】
解不等式，根据解集相同，进而解不等式，从而确定的值．
【解析】
解不等式，解得，
依题意，不等式的解集为，
则，
不等式的解集为，
则，
解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，根据题意确定的值是解题的关键．
21．，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】
根据绝对值的性质可得是非负数，据此即可得到不等式，从而求解．
【解析】
根据题意得： 0，
解得：
故答案是：
【点睛】
此题考查解一元一次不等式，绝对值，解题关键在于利用绝对值的非负性．
22．当________时，代数式的值是非负数．
【答案】
【分析】
根据题意，列出不等式解不等式即可．
【解析】
依题意
去分母得：
去括号得：
移项，合并同类项得：
化系数为1，得：
故答案为：
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
23．已知，则代数式最大值与最小值的差是________．
【答案】
【分析】
首先解一元一次不等式，解题时要注意系数化一时：系数是-11，不等号的方向要改变．在去绝对值符号时注意：当a为正时，|a|=a；当a为0时，|a|=0；当a为负时，|a|=-a．
【解析】
解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解不等式组得：；
（1）当时，，
当时有最小值，
当时有最大值5；
（2）当时，，
∴当时的值恒等于5（最大值）；
∴最大值与最小值的差是.
故答案为：.
【点睛】
此题考查了一元一次不等式的求解与绝对值的性质．解题时要注意一元一次不等式的求解步骤，绝对值的性质．
三、解答题
24．下列数值中哪些是不等式3x-1≥5的解？哪些不是？
100,98,51,12,2,0,-1,-3,-5.
【答案】100,98,51,12,2是不等式3x-1≥5的解；0,-1,-3,-5不是不等式3x-1≥5的解.
【解析】
试题分析：
把上述各数分别代入不等式的左边计算出左边的值，看是否大于或等于5即可.
试题解析：
∵在不等式中，
当时，左边=；
当时，左边=；
当时，左边=；
当时，左边=；
当时，左边=；
当时，左边=；
当时，左边=；
当时，左边=；
当时，左边=;
∴上述各数中，100，98，51，12，2是不等式的解；0，－1，－3，－5不是不等式的解.
25．将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】画图见解析．
【分析】
根据在数轴上表示不等式的解集的方法分别画出所求范围即可．
【解析】
解：（1）如图所示：
；
（2）如图所示：
；
（3）如图所示：
；
（4）如图所示：
．
【点睛】
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
26．已知一元一次不等式mx-3＞2x+m．
（1）若它的解集是x＜，求m的取值范围；
（2）若它的解集是x，试问：这样的m是否存在？如果存在，求出它的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）m＜2；（2）m值不存在,理由见解析．
【分析】
（1）求出不等式的解集，根据已知得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可；
（2）根据已知和不等式的解集得出=和m-2＞0，求出即可．
【解析】
（1）不等式mx-3＞2x+m，
移项合并得：（m-2）x＞m+3，
由解集为x＜，
得到m-2＜0，即m＜2；
（2）由解集为x＞，得到m-2＞0，即m＞2，且=，
解得：m=-18＜0，不合题意，
则这样的m值不存在．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
27．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
【答案】（1），数轴见解析；（2），数轴见解析；（3），数轴见解析；（4），数轴见解析；（5），数轴见解析；（6），数轴见解析；（7），数轴见解析；（8），数轴见解析
【分析】
（1）、（2）根据移项、合并同类项和系数化为1即可求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可；
（3）根据去括号、移项、合并同类项和系数化为1即可求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可；
（4）、（5）、（6）、（7）、（8）根据去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1即可求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可．
【解析】
解：（1），
移项，得．
合并同类项，得．
两边同除以2，得．
不等式的解集在数轴上的表示如图：
（2），
移项，得．
合并同类项，得．
两边同除以，得．
不等式的解集在数轴上的表示如图：
（3），
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
两边同除以，得．
不等式的解集在数轴上的表示如图：
（4），
去分母，得
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
不等式的解集在数轴上的表示如图：
（5），
去分母，得
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
两边同除以，得．
不等式的解集在数轴上的表示如图：
（6），
去分母，得
合并同类项，得．
两边同除以，得．
不等式的解集在数轴上的表示如图：
（7），
去分母，得
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
两边同除以，得．
不等式的解集在数轴上的表示如图：
（8），
去分母，得
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
两边同除以，得．
不等式的解集在数轴上的表示如图：
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集的知识，能正确运用不等式的基本性质进行计算是解此题的关键．
28．下面是小明同学解不等式的过程：
去分母，得．
移项、合并同类项，得．
两边都除以，得．
他的解法有错误吗？如果有错误，请你指出错在哪里．
【答案】有错误，见解析
【分析】
根据不等式的性质可判断①②有错误，然后正确解出不等式得出不等式的解集．
【解析】
有错误，错误之处：
（1）去分母时，公分母2漏乘“”项；
（2）两边都除以后，不等号方向没有改变．
正确的解法是：
去分母，得，
移项 合并同类项，得，
两边都除以，得．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟记不等式的性质．
29．小明准备用26元买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元，一盒方便面3元，他买了5盒方便面，他最多还能买多少根火腿肠？
【答案】5根
【分析】
设还可买x根火腿肠，根据题意列出一元一次不等式，解不等式，取整数解即可求得答案．
【解析】
设他还可买x根火腿肠，根据题意，得，
．
解这个不等式，得．
为正整数，
所以他最多还能买5根火腿肠．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出一元一次不等式是解题的关键．
30．取什么值时，式子表示下列数？
（1）正数；（2）小于的数；（3）0．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
(1)解不等式即可求解；
(2)解不等式即可求解；
(3)解一元一次方程即可求解．
【解析】
解：(1)由题意可知：，
去分母得到：，
解得：；
(2)由题意可知：，
去分母得到：，
解得：；
(3)由题意可知：，
去分母得到：，
解得：．
【点睛】
本题考查了一元一次方程与一元一次不等式的解法，属于基础题，熟练掌握其求解步骤，计算过程中细心即可．
31．解下列关于的不等式
（1） （2）
【答案】（1）；（2）当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式无解．
【分析】
（1）先去括号、移项合并后，再根据不等式的性质由求解即可；
（2）先把原不等式去括号、移项、合并同类项化为，再由的符号，分三种情况讨论即可．
【解析】
解：（1），
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
∵，
∴原不等式的解集为；
（2），
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
当，即时，原不等式的解集为，
当，即时，原不等式的解集为，
当，即时，原不等式可化为，则原不等式无解．
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式的解法，解答此类问题时一定要分类讨论，否则会造成漏解．
32．自学下面材料后，解答问题.
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式.如：；等.那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负.其字母表达式为：
(1)若＞0，＞0，则＞0；若＜0，＜0，则＞0；
(2)若＞0，＜0，则＜0；若＜0，＞0，则＜0.
反之：(1)若＞0，则或
(2)若＜0，则__________或__________.
(3)根据上述规律，求不等式的解集.
(4)试求不等式的解集.
【答案】（2），；（3）；（4）或
【分析】
(2)根据两数相除，异号得负解答；
(3)先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可;
(4) 先根据异号得负把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可.
【解析】
（2）根据阅读，可以知道，＜0，所以，、异号，
所以有或两种情况.
（3）∵
∴或②
解一元一次不等式组，
得到①，∴；
由②得（无解）
故不等式的解集为
（4）对不等式进行整理得到，
，即
整理可得，
∴或
由①解得，∴
由②解得，∴
综上所述，不等式的解集为或
【点睛】
本题主要考查解不等式、不等式组的能力，将原不等式转化为两个不等式组是解题的关键.
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第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
2.3-2.4不等式的解集 一元一次不等式
精品教学课件
北师大版八年级下册数学教学课件
1. x = 4，5，6，7.2能使不等式x > 5成立么？
2. 你还能说出几个使不等式x > 5成立的x值吗？你认为不等式 x > 5的解有几个？
问题引入
能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
例如，5是不等式 x+1>5的一个解，4.2，6，7，8，···也是它的解.
判断某个数值是不是不等式的解，就用这个数值代替不等式中的未知数，看不等式是否成立.
一、不等式的解集
不等式 x + 1> 5的解集是x > 4.
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.
求不等式解集的过程叫做解不等式.
练习
判断下列说法是否正确，为什么？
（1）x=2，是不等式 2x < 6的一个解.
（2）x > 1的正整数解有无数个.
（3）因为 x=1是不等式 x – 5 < 0的一个解，
因此该不等式的解为 x = 1.
√
√
×
不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值.
不等式的解
不等式的解集
用数轴表示不等式的解集
我们知道数轴上右边的点表示的数总是比左边的点表示的数大可以根据这一特点来描述不等式的解集.
（1）x > a.
a
（2）x ≥ a.
a
（3）x < a.
a
（4）x ≤ a.
a
用数轴确定不等式的解集主要有三个步骤：
（1）画数轴：画出标准数轴.
（2）定边界：根据不等式解集中的数据确定边界.若有等号，则边界点就用实心圆点表示；若没有等号，则边界点就用空心圆圈表示.
（3）根据解集中不等号的方向，确定数轴中表示解集的线的方向，“大于向右，小于向左”.
1.将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
(1)x≥4
(2)x≤-1
(3)x＞-2
(4)x＜6
练一练
2. 不等式 x≥-3的负整数解是_______________ ，
不等式x-1<2的正整数解是_____________________.
-3、-2、-1
1、2
合作探究
思考
观察下面的不等式：
x-7>26
3x-7>26
-4x>3
它们有哪些共同特征？
每个不等式都只含有一个未知数；并且未知数的次数是1.
二、一元一次不等式的概念
只含一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.
一元一次不等式的定义
概括总结
练一练
下列不等式中，哪些是一元一次不等式
(1) 3x+2>x–1 (2)5x+3<0
(3) (4)x(x–1)<2x
左边不是整式
化简后是
x2-x<2x
合作探究
解不等式：
4x-1<5x+15
解方程：
4x-1=5x+15
解：移项，得
4x-5x=15+1
合并同类项，得
-x=16
系数化为1，得
x=-16
解：移项，得
4x-5x<15+1
合并同类项，得
-x<16
系数化为1，得
x>-16
三、解一元一次不等式
归纳总结
解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a的形式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x
a的形式.
例1 解下列一元一次不等式 ：
（1） 2-5x < 8-6x ；
（2） .
解：
（1） 原不等式为2-5x < 8-6x
将同类项放在一起
即 x < 6.
移项，得 -5x+6x < 8-2，
计算结果
典例精析
解：
首先将分母去掉
去括号，得 2x -10 + 6 ≤ 9x
去分母，得 2(x -5)+1×6 ≤ 9x
移项，得 2x - 9x ≤ 10 - 6
去括号
将同类项放在一起
（2） 原不等式为
合并同类项，得 -7x ≤ 4
两边都除以-7，得
x ≥ .
计算结果
根据不等式性质3
解一元一次不等式与解一元一次方程的依据和步骤有什么异同点？
它们的依据不相同.解一元一次方程的依据是等式的性质，解一元一次不等式的依据是不等式的性质.
它们的步骤基本相同，都是去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1.
这些步骤中，要特别注意的是：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向.这是与解一元一次方程不同的地方.
议一议
1.(1)解不等式3(x+2)-8≥1-2(x-1),并把它的解集表示在数轴上.
解:去括号,得3x+6-8≥1-2x+2.
移项,得3x+2x≥1+2-6+8.
合并同类项,得5x≥5.
系数化为1,得x≥1.
在数轴上表示为:
练一练
解:去分母,得4(2x-1)≤3(3x+2)-12.
去括号,得8x-4≤9x+6-12.
移项,得8x-9x≤6-12+4.
合并同类项,得-x≤-2.
把x的系数化为1,得x≥2.
在数轴上表示为:
2.求不等式3(x+1)≥5x-9的正整数解.
解:去括号,得3x+3≥5x-9.
移项,得3x-5x≥-9-3.
合并同类项,得-2x≥-12.
系数化为1,得x≤6.
所以不等式3(x+1)≥5x-9的正整数解是1,2,3,4,5,6.
问题：小华打算在星期天与同学去登山，计划上午7点出发，到达山顶后休息2h，下午4点以前必须回到出发点. 如果他们去时的平均速度是3km/h，回来时的平均速度是4km/h，他们最远能登上哪座山顶（图中数字表示出发点到山顶的路程）？
三、一元一次不等式的应用
前面问题中涉及的数量关系是：
去时所花时间+休息时间+回来所花时间≤总时间.
解：设从出发点到山顶的距离为x km,
则他们去时所花时间为 h
回来所花时间为 h.
他们在山顶休息了2 h，又上午7点到下午4点之间总共相隔9 h，即所用时间应小于或等于9 h.
所以有 +2+ ≤ 9.
解得 x≤12.
因此要满足下午4点以前必须返回出发点，小华他们最远能登上D山顶.
例1 某种商品进价为200元，标价为300元出售，商场规定可以打折销售，但其利润率不能少于5%. 请你帮助售货员计算一下，这种商品最多可以按几折销售？
解： 设该商品可以打 x 折销售.
则 (300×0.1x－200)÷200≥5％.
解得
x ≥ 7.
答：这种商品最多可以按七折销售.
分析： 本题涉及的数量关系是：
（出售价－进价）÷进价≥利润率.
典例精析
例2 一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分.在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？
解： 设小明答对了 x 道题，则他答错和不答
的共有 (25－x)道题.根据题意，得
4x－1×(25－x)≥85.
解这个不等式，得 x ≥ 22.
答：小明至少答对了22道题.
分析： 本题涉及的数量关系是：总得分≥85.
应用一元一次不等式解决实际问题的步骤:
实际问题
解不等式
列不等式
结合实际
确定答案
找出不等关系
设未知数
总结归纳
1. 若代数式 的值是非负数，则 x 的取值范围是（ ）
A.x≥ B.x≥
C.x＞ D.x＞
B
课堂练习
2.如图所示，图中阴影部分表示 x 的取值范围，则下列表示中正确的是（ ）
B
A.-3＞x＞2 B.-3＜x≤2
C.-3≤x≤2 D.-3＜x＜2
3.当x或y满足什么条件时，下列关系成立？
（1）2（x+1）大于或等于1；
（2）4x与7的和不小于6；
根据题意，得不等式2（x+1）≥1，解得x≥- .
根据题意，得不等式4x+7≥6，解得x≥- .
（3）y与1的差不大于2y与3的差；
（4）3y与7的和的四分之一小于－2.
根据题意，得不等式y-1≤2y-3，解得y≥2.
根据题意，得不等式 <-2，解得y<-5.
4.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来.
（1）3（2x＋5）＞2（4x＋3）；
（2） ；
（3） .
（1）3（2x＋5）＞2（4x＋3）
6x+15＞8x+6
解：
x＜
用数轴
表示为
（2）
用数轴
表示为
3x-9＜4x-10
解：
x＞1
（3）
用数轴
表示为
2y+2-3（2y-5）≥12
解：
y≤
5. 某商店以每辆 250 元的进价购入 200 辆自行车，并以每辆 275 元的价格销售，两个月后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款，这时至少已售出多少辆自行车？
解：设这时已售出 x 辆自行车.
由题意得：275x>250×200，
解得 x> .
又∵x 为正整数. ∴x≥182.
答：这时至少已售出 182 辆自行车.
6. 长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点100 m 时他以 4 m/s 的速度向终点冲刺，在他身后 10 m 的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在张华之前到达终点？
解：设李明以 x m/s 的速度冲刺.
由题意得： x>100+10 .
解得 x>4.4.
答：李明需以超过 4.4 m/s 的速度冲刺，才能在张华之前到达终点.
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2.3-2.4 不等式的解集 一元一次不等式
一、单选题
1．用不等式表示图中的解集，其中正确的是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数多个 D．不等式的正数解有有限多个
3．在﹣2、3、﹣4、0、1、、﹣中能使不等式x﹣2＞2x成立的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式x＜5的整数解有无数多个
B．不等式﹣2x＜8的解集是x＜﹣4
C．不等式x＞﹣5的负整数解是有限个
D．﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解
5．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）
①；②；③；④；⑤．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．与不等式的解集相同的不等式是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集，则a的取值是（ ）
A．a≤﹣1 B．a≤﹣2 C．a=﹣1 D．a=﹣2
9．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
10．某商店的老板销售一种商品，他以不低于进价20%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价，若你想买下标价为360元的这种商品，且使商店老板愿出售，你最多可要求老板降价（ ）
A．80元 B．100元 C．120元 D．160元
11．若方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（ ）．A． B． C． D．
二、填空题
13．一个数x的与-4的差不小于这个数的2倍加上5所得的和，则可列不等式为________．
14．已知是关于的一元一次不等式，则的值为_________．
15．如果不等式ax≤2的解集是x≥-4，则a的值为______．
16．不等式①，②，③，④，⑤，⑥中一元一次不等式是________．（只填序号）
17．(1)不等式2x－3≥x的解集是________；
(2)不等式x－4>3x的解集是________；
(3)不等式>5的解集是________．
18．有下列说法:①x=是不等式4x-5>0的解;②x=是不等式4x-5>0的一个解;③x>是不等式4x-5>0的解集;④x>2中任何一个数都可以使不等式4x-5>0成立,所以x>2也是它的解集.其中正确的是__.(填序号)
19．用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入铁钉所受的阻力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则的取值范围是________．
20．如果关于的不等式和的解集相同，则的值是_____．
21．，则的取值范围是_____．
22．当________时，代数式的值是非负数．
23．已知，则代数式最大值与最小值的差是________．
三、解答题
24．下列数值中哪些是不等式3x-1≥5的解？哪些不是？
100,98,51,12,2,0,-1,-3,-5.
25．将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
26．已知一元一次不等式mx-3＞2x+m．
（1）若它的解集是x＜，求m的取值范围；
（2）若它的解集是x，试问：这样的m是否存在？如果存在，求出它的值；如果不存在，请说明理由．
27．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
28．下面是小明同学解不等式的过程：
去分母，得．
移项、合并同类项，得．
两边都除以，得．
他的解法有错误吗？如果有错误，请你指出错在哪里．
29．小明准备用26元买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元，一盒方便面3元，他买了5盒方便面，他最多还能买多少根火腿肠？
30．取什么值时，式子表示下列数？
（1）正数；（2）小于的数；（3）0．
31．解下列关于的不等式
（1） （2）
32．自学下面材料后，解答问题.
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式.如：；等.那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负.其字母表达式为：
(1)若＞0，＞0，则＞0；若＜0，＜0，则＞0；
(2)若＞0，＜0，则＜0；若＜0，＞0，则＜0.
反之：(1)若＞0，则或
(2)若＜0，则__________或__________.
(3)根据上述规律，求不等式的解集.
(4)试求不等式的解集.
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