冀教版数学七年级下9.3 三角形的角平分线、中线和高 课件(共53张PPT)

(共53张PPT)
9.3 三角形的角平分线、中线和高
第九章 二元一方程组
课时导入
1. 角平分线的定义及画法：
一条射线把一个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线.
2. 线段中点的定义：
把一条线段分成两条相等的线段
的点.
知识回顾
课时导入
3. 做“过一点作已知直线的垂线”：
课时导入
有一天，小明回家看到弟弟正在对着下边的三角形
发呆，小明有一点奇怪了，外号“坐不住”的弟弟怎么
能坐住了？原来是弟弟想作出三角形ABC的三条高，但
是他不会作边AB、BC上的高，小明不假思索的说：“
我来帮你”，当他准备作时，也难住了，聪明的你，能
帮帮小明兄弟吗？
知识点
三角形的角平分线
知1－讲
感悟新知
1
定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，
这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线.
角平分线的理解：
∵ AD是△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC
知1－讲
感悟新知
特别提醒
1.角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线
段 .
2.三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分 .故角的平
分线的性质三角形的角平分线都具有 .
知1－讲
感悟新知
想一想，一个三角形有几条角平分线？请同学们画出，
思考它们有什么特点？
①三角形的角平分线是一条线段，而角平分线是一条射线.
②一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部交于
一点.
感悟新知
知1－练
例 1
导引：
如图，△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DF∥AB，EF交AD于点O，请问DO是△DEF的角平分线吗？说明理由．
要知道DO是不是△DEF的角平
分线，只需要知道∠EDO与
∠FDO是否相等．若相等，根
据三角形的角平分线的定义即
可判定．
感悟新知
知1－练
DO是△DEF的角平分线．理由如下：
因为AD是△ABC的角平分线，
所以∠DAB＝∠DAC(角平分线定义)．
因为DE∥AC，DF∥AB，
所以∠DAC＝∠ADE，∠DAB＝∠ADF(两直线平行，内错角相等)，所以∠ADE＝∠ADF(等量代换)，
所以DO是△DEF的角平分线．
解：
知1－讲
总 结
感悟新知
本例在解题过程中，先利用角平分线的定义，得
出相等的角，再结合相关条件(如平行等)推出新的一
组相等的角，最后由角平分线的定义说明角平分线，
它经历了定义→条件→定义的过程，这就是定义法．
感悟新知
知1－练
1.
如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是(　　)
A．BD是△ABC的角平分线
B．CE是△BCD的角平分线
C．∠3＝ ∠ACB
D．CE是△ABC的角平分线
D
感悟新知
知1－练
2.
一个三角形的三条角平分线的交点在(　　)
A．三角形内　　　　　
B．三角形外
C．三角形的某边上
D．以上三种情形都有可能
A
知识点
三角形的中线
知2－讲
感悟新知
2
定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点
的线段叫做这个三角形的中线.
三角形中线的理解：
∵AD是△ ABC的中线
∴BD=CD= BC
知2－讲
感悟新知
特别解读
三角形的中线把三角形分成的两个三角形的面积和周长
的关系：
1. 两个三角形的面积相等；
2. 两个三角形的周长的差等于这两个三角形另两边的差 .
知2－讲
感悟新知
想一想，一个三角形有几条中线？请同学们画出.
它们有什么特点？
①三角形的中线是一条线段.
②任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部交
于一点.
感悟新知
知2－练
例2
张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了．于是张大爷准备把如图所示的一块三角形田地平均分给两个儿子，两个儿子要求分成的两块田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种平分的方案．
根据等底同高的三角形的面积相
等，要等分三角形的面积，只需
要作出一条边上的中线即可.
导引：
感悟新知
知2－练
解：
根据要求，平分田地的直线必须经过三角形的顶点．画△ABC的中线AD(如图)，则AD就把△ABC的面积平分成两份．这是因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC.过点A作AE⊥BC于点E.在△ABD和△ACD中，因为BD，CD边上的高都是AE，所以由三角形的面积计算公式，知△ABD和△ACD的面积相等，
感悟新知
知2－练
因此，要把△ABC平分成两个三角形，只需画中线AD即可，这是一种平分方法．(本题答案不唯一，作AB，AC边上的中线也可以)
知2－讲
总 结
感悟新知
(1)三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相
等的两部分，即等底同高的三角形面积相等；
(2)拓展：在两个三角形中：底、高、面积这三个量，
如果有其中的两个量相等，那么第三个量也相等.
感悟新知
知2－练
1.
(1)如图，△ABC的面积等于10，AD是中线，分别求出△ABD和△ACD的面积.
(2)你能把一个三角形分成面积相等的两部分吗？分成面积相等的四部分呢？分成面积相等的三部分呢？
感悟新知
知2－练
解：
(1)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝ BC，所以S△ABD＝S△ACD＝ S△ABC＝5.
(2)①把一个三角形分成面积相等的两部分，如图所示，其中BD＝DC＝ BC，S△ABD＝S△ADC＝
S△ABC.
(题①图)
感悟新知
知2－练
②把一个三角形分成面积相等的四部分，如图所示，其中BD＝DE＝EF＝FC＝ BC，S△ABD＝S△ADE＝S△AEF＝S△AFC＝ S△ABC.
(题②图)
感悟新知
知2－练
③把一个三角形分成面积相等的三部分，如图所示，其中BD＝DE＝EC＝ BC，S△ABD＝S△ADE＝S△AEC＝ S△ABC.
(题③图)
2.
感悟新知
知2－练
若AD是△ABC的中线，下列结论错误的是(　　)
A．AB＝BC 　 B．BD＝DC
C．AD平分BC 　 D．BC＝2DC
A
3.
感悟新知
知2－练
已知D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那么下列说法中不正确的是(　　)
A．DE是△BCD的中线
B．BD是△ABC的中线
C．AD＝DC，BE＝EC
D．AD＝EC，DC＝BE
D
4.
感悟新知
知2－练
三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个(　　)
A．形状相同的三角形 　B．面积相等的三角形
C．直角三角形 　 D．周长相等的三角形
B
5.
感悟新知
知2－练
如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，则△ABD和△BCD的周长的差是(　　)
A．2　　　B．3　　　
C．6　　　D．不能确定
A
6.
感悟新知
知2－练
如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AD的中点，且S△ABC＝4，则S阴影为(　　)
A．2　　　　B．1　　　　
C.　　　　 D.
B
7.
感悟新知
知2－练
已知三角形的三条中线交于一点，则下列结论：
①这一点在三角形的内部；
②这一点有可能在三角形的外部；
③这一点是三角形的重心．
其中正确的结论有________．(填序号)
①③
知识点
三角形的高
知3－讲
感悟新知
3
定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线做垂
线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三
角形的高.
对三角形高的理解：
∵AD是△ ABC的高
∴AD⊥BC或∠ADC=∠ADB =90°
知3－讲
感悟新知
想一想，一个三角形有几条高？请同学们用同样的方
法画出.它们有什么特点？
知3－讲
感悟新知
①三角形的高是一条线段.
②一个三角形有三条高，三条高(或高的延长线)相交
于一点.可分为锐角三角形(内部)，直角三角形(直角
顶点)，钝角三角形(外部).
感悟新知
知3－练
例 3
(动手操作题，易错题)画出图中△ABC的三条高．(要标明字母，不写画法)
感悟新知
知3－练
导引：
“作一边上的高”，即可看作“过一点(这边所对
角的顶点)作已知直线(这边所在的直线)的垂线．”
按照“过一点作已知直线的垂线”进行作图，顶
点与垂足之间的线段即为该边上的高；需注意AB，
BC边上的高在三角形的外部，作高时先延长AB
与CB.
感悟新知
知3－练
解：
如图所示.
知3－讲
总 结
感悟新知
(1)作三角形的高时，找准顶点和对边是关键，作高
的步骤就是“过一点作已知直线的垂线”的步骤：
一靠(三角尺的一条直角边靠在要作高的边上)、二
找(移动三角尺使另一条直角
边通过要作高的顶点)、三画
线(画垂线段)，如图.
知3－讲
总 结
感悟新知
(2)注意：高是线段，垂线是直线．
1.
感悟新知
知3－练
如图.AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线和高.请你指出图中相等的角及相等的线段.
相等的角有∠BAE＝∠EAC，∠AFB＝∠AFC；相等的线段有BD＝DC.
解：
2.
感悟新知
知3－练
解：
分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条角平分线、三条中线和三条高.
(1)锐角三角形(如图所示)．
(2)直角三角形(如图所示)．
感悟新知
知3－练
(3)钝角三角形(如图所示)．
3.
感悟新知
知3－练
如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，∠BAC=40°，∠C=60°.
求∠DAE的度数.
感悟新知
知3－练
解：
因为AD平分∠BAC，所以∠CAD＝
∠BAC＝20°.因为∠ADE是△ACD的一个外角，所以∠ADE＝∠C＋∠CAD＝60°＋20°＝80°.又因为AE是△ABC的高，所以∠AED＝90°，所以在△AED中，∠DAE＝180°－∠AED－∠ADE＝180°－90°－80°＝10°.　
4.
感悟新知
知3－练
如图，在△ABC中，∠ABC=62°，BD是角平分线，CE是高，BD与CE交于点O.求∠BOC的度数.
感悟新知
知3－练
解：
因为BD是△ABC的角平分线，
所以∠OBC＝ ∠ABC＝31°.因为CE是△ABC的高，所以∠BEC＝90°，所以在△BEC中，∠ECB＝180°－∠EBC－∠BEC＝180°－62°－90°＝28°，所以在△BOC中，∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－31°－28°＝121°.
5.
感悟新知
知3－练
如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，AD，BE交于点F，∠C= 30°，
∠BFD=70°.求∠BAC的度数.
感悟新知
知3－练
解：
因为AD是△ABC的高，
所以∠ADB＝90°，所以在△BFD中，∠FBD＝180°－∠FDB－∠BFD＝180°－90°－70°＝20°.又因为BE是△ABC的角平分线，所以∠ABF＝∠FBD＝20°，所以∠ABC＝40°，所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝180°－40°－30°＝110°.
6.
感悟新知
知3－练
下列图形中，AD是△ABC的高的是(　　)
B
7.
感悟新知
知3－练
下列说法中正确的是(　　)
A．三角形的三条高都在三角形内
B．直角三角形只有一条高
C．锐角三角形的三条高都在三角形内
D．三角形每一边上的高都小于其他两边
C
8.
感悟新知
知3－练
如图，已知在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动(点D与点B，C不重合)，作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE＋CF的值(　　)
A．不变
B．增大
C．减小
D．先变大再变小
C
9.
感悟新知
知3－练
能把三角形平分成两个面积相等的三角形的线段是(　　)
A．三角形的中线
B．三角形的高
C．三角形的角平分线
D．以上三种情况都正确
A
课堂小结
三角形的角平分
线、中线和高
1.三角形的中线
(1)定义：三角形的中线是一条线段.
(2)三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三
角形的重心.
课堂小结
三角形的角平分
线、中线和高
2.三角形的角平分线
(1)定义：三角形的角平分线是一条线段.
(2)三角形三条角平分线相交于一点，这一点叫做
三角形的内心.
课堂小结
三角形的角平分
线、中线和高
3. 三角形的高
定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线
做垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，
简称三角形的高.