冀教版数学七年级下 11.3.1 用平方差公式分解因式 课件(共41张PPT)

(共41张PPT)
11.3 公式法
第十一章 因式分解
第1课时 用平方差公式
分解因式
课时导入
知识回顾
1. 什么叫把多项式分解因式？
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项
式的分解因式.
2. 已学过哪一种分解因式的方法？
提公因式法
课时导入
导入新知
如何分解a2－b2呢？
知识点
直接用平方差公式分解因式
知1－讲
感悟新知
1
实际上，把平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2
反过来，就得到b2＝(a＋b)(a－b).
这样就成为分解因式的一个公式了.
试着将下面的多项式分解因式：
(1) p2－16=________；(2) y2－4 =________ ；
(3) x2－ =________；(4) 4a2－b2 =________.
知1－讲
总 结
感悟新知
平方差公式法：两个数的平方差等于这两个数的
和与这两个数的差的积．即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
这样就成为分解因式的一个公式了．
知1－讲
感悟新知
特别解读
1. 因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式的逆用 .
2. 乘法公式中的平方差公式指的是符合两数和与两数差的积的条件后，结果写成平方差；而因式分解中的平方差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分解成两个数的和乘这两个数的差 .
知1－讲
总 结
感悟新知
(1)上面公式特点：公式的左边是一个两项式，都能写
成平方形式且符号相反；公式的右边是两个二项式
的积，其中一个二项式是两个底数的和，另一个二
项式是两个底数的差．
知1－讲
总 结
感悟新知
(2)它是乘法公式中的平方差公式逆用的形式．
(3)乘法公式中的平方差指的是符合两数和与两数差的
积条件后，结果写成平方差；而因式分解中的平方
差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分
解，在今后的学习中要加以区分，不能混淆．
即
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知1－练
例 1
把下列各式分解因式：
(1)4x2－9y2 ； (2)(3m－1)2－9.
解：
(1) 4x2－9y2
＝(2x)2－(3y)2
＝(2x＋3y)(2x－3y).
(2)(3m－1)2－9
＝(3m－1)2－32
＝(3m－1＋3)(3m－1－3)
＝(3m＋2)(3m－4).
知1－讲
总 结
感悟新知
解题的关键是熟练掌握平方差公式的特点：
① 可以看作是二项式；
② 这两项都必须是完全平方式；
③ 这两项的符号相反．
感悟新知
知1－练
1.
下面分解因式的结果是否正确？如果不正确，指出错在哪里，并改正过来.
(1)4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)；
(2)ab2－9a3 ＝(b＋3a)(b－3a).
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知1－练
(1)不正确，4x2＝(2x)2，正确结果应为4x2－y2＝(2x)2－y2＝(2x＋y)(2x－y)．
(2)不正确，应先提出公因式a，再利用平方差公式因式分解，正确的应为ab2－9a3＝a(b2－9a2)＝a(b＋3a)(b－3a)．
解：
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2.
运用公式法分解因式：
(1)25a2－16b2； (2)a2b2－ c2；
(3)(a＋2b)2－4；(4)x4－25x2．
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知1－练
(1)25a2－16b2＝(5a)2－(4b)2＝(5a＋4b)(5a－4b)．
(2)a2b2－ c2＝(ab)2－ .
(3)(a＋2b)2－4＝(a＋2b)2－22＝(a＋2b＋2)(a＋2b－2).
(4)x4－25x2＝(x2)2－(5x)2＝(x2＋5x)(x2－5x)
＝x2(x＋5)(x－5)或x4－25x2＝x2(x2－25)
＝x2(x2－52)＝x2(x＋5)(x－5)．
解：
感悟新知
知1－练
3.
把下列各式分解因式.
(1)256－x2； (2)9x2－64；
(3) x2－m2n2.
(1)256－x2＝162－x2＝(16＋x)(16－x)．
(2)9x2－64＝(3x)2－82＝(3x＋8)(3x－8)．
(3) x2－m2n2＝ －(mn)2
解：
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4.
解：
下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解；如果不可以，请说明理由.
(1)x2＋y2；(2)－x2＋y2；(3)－x2－y2；(4) x2－81.
(1)不可以，不符合平方差公式的结构特点．
(2)可以，－x2＋y2＝y2－x2＝(y＋x)(y－x)．
(3)不可以，因为－x2－y2＝－(x2＋y2)，不符合平方差公式的结构特点．
(4)可以，x2－81＝x2－92＝(x＋9)(x－9)．
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5.
下列各式不能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．－x2＋y2 B．x2－(－y)2
C．－m2－n2 D．4m2－ n2
C
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知1－练
6.
下列各式中，可用平方差公式分解因式的有(　　)
①－a2－b2；②16x2－9y2；③(－a)2－(－b)2；
④－121m2＋225n2；⑤(6x)2－9(2y)2.
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
B
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7.
分解因式：16－x2＝(　　)
A．(4－x)(4＋x) B．(x－4)(x＋4)
C．(8＋x)(8－x) D．(4－x)2
A
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8.
下列因式分解正确的是(　　)
A．x2－4＝(x＋4)(x－4)
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．3mx－6my＝3m(x－6y)
D．2x＋4＝2(x＋2)
D
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知1－练
9.
将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是(　　)
A．a(a－1) B．a(a－2)
C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1)
B
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知1－练
10.
下列分解因式错误的是(　　)
A．a2－1＝(a＋1)(a－1)
B．1－4b2＝(1＋2b)(1－2b)
C．81a2－64b2＝(9a＋8b)(9a－8b)
D．(－2b)2－a2＝(－2b＋a)(2b＋a)
D
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知1－练
11.
如图，从边长为(a＋3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的长是________．
a＋6
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知1－练
12.
已知|x－y＋2|＋(x＋y－2)2＝0，则x2－y2的值为________．
若x2－9＝(x－3)(x＋a)，则a＝________．
已知a＋b＝3，a－b＝5，则式子a2－b2的值是________．
－4
3
15
13.
14.
先提取公因式再用平方差公式分解因式
知识点
知2－讲
感悟新知
2
用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式要
先提取公因式，再用平方差公式分解因式．
感悟新知
知2－练
例2
把下列各式分解因式：
(1)a3－16a； (2)2ab3－2ab．
(1) a3－16a
＝a(a2－16)
＝a(a＋4)(a－4).
(2) 2ab3－2ab
＝2ab(b2－1)
＝(b－1)(b＋1).
解：
知2－讲
总 结
感悟新知
(1)运用平方差公式分解因式的关键是确定公式中的a
和b，再运用公式进行因式分解；对于有公因式的
多项式需要先提取公因式后再用平方差公式分解因
式，同时分解因式要进行到每一个因式都不能再分
解为止．
知2－讲
总 结
感悟新知
(2)注意：运用平方差公式分解因式，最后的结果除了
要求不能再分解因式外，还要注意使每个因式最简.
感悟新知
知2－练
1.
解：
分解因式：9a4－a2.
9a4－a2
＝a2(9a2－1)
＝a2[(3a)2－12]
＝a2(3a＋1)(3a－1)．
2.
感悟新知
知2－练
把下列各式分解因式：
(1)4x2－100； (2)12y4－3y2；
(3)x3－64x； (4)2a4－50a2
感悟新知
知2－练
解：
(1)4x2－100＝4(x2－25)＝4(x2－52)＝4(x＋5)(x－5).
(2)12y4－3y2＝3y2(4y2－1)＝3y2[(2y)2－12]
＝3y2(2y＋1)(2y－1)．
(3)x3－64x＝x(x2－64)＝x(x2－82)＝x(x＋8)(x－8).
(4)2a4－50a2＝2a2(a2－25)＝2a2(a＋5)(a－5)．
3.
感悟新知
知2－练
把下列各式分解因式：
(1)(x＋1)2－a2；
(2)(2x＋3)2－4m2；
(3)(2x＋3)2－(3x－4)2；
(4)4(3x＋y)2－(2x－y)2．
感悟新知
知2－练
解：
(1)(x＋1)2－a2＝(x＋1＋a)(x＋1－a)．
(2)(2x＋3)2－4m2＝(2x＋3)2－(2m)2＝(2x＋3＋2m) (2x＋3－2m)．
(3)(2x＋3)2－(3x－4)2＝[(2x＋3)＋(3x－4)][(2x＋3)－(3x－4)]＝(5x－1)(7－x)．
(4)4(3x＋y)2－(2x－y)2＝[2(3x＋y)]2－(2x－y)2＝[2(3x＋y)＋(2x－y)][2(3x＋y)－(2x－y)]＝(8x＋y)(4x＋3y)．
4.
感悟新知
知2－练
如图，在半径为R的圆形钢板上冲去半径为r的四个小圆孔.若R=8.6 cm，r=0.7 cm，请你利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积.(π取3.14)
感悟新知
知2－练
解：
根据题意得，大圆的面积SR＝πR2＝π×8.62(cm2)，四个小圆孔的面积Sr总＝4πr2＝4π×0.72(cm2)．
所以剩余钢板的面积S剩＝SR－Sr总＝π×8.62－4π×0.72＝π(8.62－4×0.72)＝π[8.62－(2×0.7)2]＝π(8.62－1.42)＝π(8.6＋1.4)×(8.6－1.4) ≈3.14×10 ×7.2＝226.08(cm2)．
所以剩余钢板的面积为226.08 cm2.
5.
感悟新知
知2－练
分解因式：x4－1.
x4－1
＝(x2＋1)(x2－1)
＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)．
解：
6.
感悟新知
知2－练
把x3－9x分解因式，结果正确的是(　　)
A．x(x2－9) B．x(x－3)2
C．x(x＋3)2 D．x(x＋3)(x－3)
D
7.
感悟新知
知2－练
一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，你认为她做得不够完整的是(　　)
A．x3－x＝x(x2－1)
B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y)
C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m)
D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)
A
8.
感悟新知
知2－练
小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是(　　)
A．我爱美 B．宜昌游
C．爱我宜昌 D．美我宜昌
C
9.
感悟新知
知2－练
n是整数，式子 ×[1－(－1)n](n2－1)的计算结果(　　)
A．是0
B．总是奇数
C．总是偶数
D．可能是奇数也可能是偶数
C
课堂小结
公式法
1. 平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)
2. 运用平方差公式因式分解需注意：
(1)多项式的特征：有两个平方项；两个平方项异号.
(2)当多项式有公因式时，先提公因式，再用平方差公
式进行因式分解；
(3)分解因式一定要分解到不能再分解为止.