陕西省师大附中2013届高三上学期期中考试数学（理）试题

陕西师大附中2012—2013学年度第一学期
期中考试高三数学（理科）试题

一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)
1．复数（ ）
A． B． C． D．
2．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位
C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位
3．设函数， 则关于不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
4．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）
A．18 B.24 C.30 D.36
5．已知等差数列的前项和为，且,则（ ）
A． B． C． D．4
6．已知点是曲线上的任意一点，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A. B． C． D．
7．分别在区间,内各任取一个实数依次为,则的概率是（ ）
A．0.3 B．0.667 C．0.7 D．0.714
8．一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为（ ）
A． B． C．1 D．
9．若双曲线的中心在原点，是的焦点，过的直线与交于两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．二项式的展开式中所有项的二项式系数之和是64，则展开式中含项的系数是 .
12．一个总体分为两层，其个体数之比为，用分层抽样法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是 .
13．某算法流程图如图所示，则输出的结果是 .
14．由曲线和围成的封闭图形的面积为 .
15．关于不等式的解集是 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分）
16．（本题满分12分）在△ABC中，分别为三个内角的对边，锐角满足。
(1)求的值；
(2) 若，当取最大值时，求的值．
17．（本题满分12分）已知数列的首项为，其前项和为，且对任意正整数有：、、成等差数列．
（1）求证：数列成等比数列；
（2）求数列的通项公式．
18．（本题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类。这三类工程所含项目的个数分别为6，4，2.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.
（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（2）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望.
19．（本题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
(2)求证：无论点E在BC边的何处，都有；
(3)当为何值时,与平面所成角的大小为45°.
20．（本题满分13分）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，且直线与轴交于点.
(1)求证:，，成等比数列；
(2)设，，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
21．（本题满分14分）设函数
（1）令，判断在上的单调性，并求；(2)求函数在定义域上的最小值；
（3）是否存在实数满足，使得在区间上的值域也为.
期中考试数学（理科）参考答案
一、选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
B
D
C
A
D
C
A
B
B
二、填空题：
11. 12. 40 13. 16 14. 15.
三、解答题：
16．解 (1)∵锐角B满足……………1分
∵
．…………………… 5分
(2) ∵，……………… 8分
∴
∴…………10分
∴．
∴
∴……12分
17．解：(1)证明：


即
(2)由(1)知是以为首项，2为公比的等比数列
又
18．解: 记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，（,且互不相同）相互独立，
且 ----------（2分）
（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率 ----------（6分）
（2）记第名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件,.
相互独立，且()= ()+()=+=，所以,即， --------(10分)
故的分布列是
0
1
2
3
P
--------(12分)
19．.解：(1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC.
又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，∴EF∥平面PAC.
(2)证明：建立如图所示空间直角坐标系，则
P(0,0,1)，B(0,1,0)，
F(0，，)，D(，0,0)，
设BE＝x(0≤x≤)，则E(x,1,0)，
·＝(x,1，－1)·(0，，)＝0，∴PE⊥AF.
(3)设平面PDE的法向量为m＝(p，q,1)，
由，得m＝(，1－，1)．
而＝(0,0,1)，依题意PA与平面PDE所成角为45°，
所以sin45°＝＝，∴＝，
得BE＝x＝－或BE＝x＝＋>(舍)．
故BE＝－时，PA与平面PDE所成角为45°.
20．解：(理)(1)设直线的方程为：，
联立方程可得得: ①
设，，，则， ②
，
而，∴，
即，、成等比数列 …………7分
(2)由，得，
，
即得：，，则
由(1)中②代入得，故为定值且定值为…………13分
21．解：(1)当时，
所以，在上是单调递增， …………4分
（2）的定义域是，
当时，，所以，
当时，，所以，，
所以，在上单调递减，在上，单调递增，
所以， …………10分
（3）由（2）知在上是单调递增函数，若存在满足条件，则必有，也即方程在上有两个不等的实根
但方程即只有一个实根所以，不存在满足条件的实数 …………14分