2021——2022学年度人教版九年级数学下册 第二十七章 相似
27.2.2 相似三角形的性质 课后练习
一、选择题
1.已知与相似,且,那么下列结论中,一定成立的是( )
A. B. C.相似比为 D.相似比为
2.在△ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则△ADE与△ABC的周长之比为( )
A. B. C. D.
3.已知,它们的周长分别为30和15,且,则的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长比为( )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶9
5.若△ABC∽△DEF,且AB:DE=2:3,则△ABC与△DEF的面积比为( )
A.2:3 B.: C.4:9 D.16:81
6.如图,BC,AD相交于点C,△ABC∽△DEC,若AC=4.8,CD=2.4,BC=8.4,则CE的长为( )
A.2.4 B.3.6 C.4.2 D.4.8
7.如图,在锐角三角形中,,,动点从点出发到点停止,动点从点出发到点停止,点运动的速度为,点运动的速度为,如果两点同时开始运动,那么以点,,为顶点的三角形与相似时的运动时间为( )
A.或 B. C. D.或
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是( )
A.1.5 B.1.2 C.2.4 D.以上都不对
9.如图,在中,,,,垂足为D,E为BC的中点,AE与CD交于点F,则EF的长为( )
A. B. C. D.
10.如图,已知,,,将绕点沿逆时针方向旋转后得到,直线、相交于点,连接.则以下结论中:①∽;②;③为的中点;④面积的最大值为.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
11.如图,在平面直角坐标系中,与轴交于点,已知点,,,是线段上一点,连接,若与相似,则的长为______.
12.如图,点D、E分别在的边AB、AC上,且,若DE=3,BC=6,AC=8,则_______.
13.如图,在△ABC中,AB=12,BC=15,D为BC上一点,且BD=BC,在AB边上取一点E,使以B,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则BE=_____.
14.如图,在中,中线相交于点,如果的面积是4,那么四边形的面积是_________
15.如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,连结AE,将△ABE沿直线AE翻折得到△AFE,EF与AC相交于点M.若AB=8,BC=10,且BE=BC,则点F到直线AD的距离为____.
三、解答题
16.在中,D为上的一点,E为延长线上的一点,交于F.求证:
17.如图,△ABC中,BC=24cm,高AD=12cm,矩形EFGH的两个顶点E、F在BC上另两个顶点G、H分别在AC、AB上,且EF:EH=4:3;
求矩形EFGH的周长.
18.如图,AB⊥BC,EC⊥BC,点D在BC上,AB=1,BD=2,CD=3,CE=6.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)求∠ADE的度数.
19.如图,已知,,点、分别是线段、上的动点,点从点出发,以每秒2个单位的速度向点运动,点从点出发,以每秒1个单位的速度向点运动,点、中有一个点停止时,另一个点也停止,设运动时间为秒.
(1)当为何值时,为直角三角形;
(2)当为何值时,是等腰三角形?并求此时点的坐标.
20.如图,在正方形ABCD中,点E、F、G 分别在AB、BC、CD上,且于F.
(1)求证:△BEF∽△CFG;
(2)若AB=12,AE=3,CF=4,求CG的长.
21.如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,DF⊥AE于F.
(1)△ABE与△ADF相似吗?请说明理由.
(2)若AB=6,AD=12,BE=8,求DF的长.
22.如图,点O是坐标原点,△OBA∽△DOC,边OA、OC都在x轴的正半轴上.已知点B的坐标为(12,16),∠BAO=∠OCD=90°,OD=10,反比例函数的图象经过点D,交AB边于点E.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)求BE的长.
23.如图,为的直径,点是上一点,与相切于点,过点作,连接.
(1)求证:是的角平分线;
(2)若,求的长.
【参考答案】
1.D 2.A 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8.B 9.B 10.C
11.2或4
12.4
13.4或
14.8
15..
16.证明:过D作交于G,则和相似,
∴,
∵,
∴,
由可得和相似,
∴即,
∴
17.解:设AD与HG的交点为K,如图所示,
设厘米,厘米,则;
,
.
,即.
解得:;
,.
矩形的周长.
18.(1)证明:∵AB⊥BC,EC⊥BC,点D在BC上,
∴∠ABD=∠DCE=90°.
∵AB=1,BD=2,CD=3,CE=6,
∴=,=.
∴=.
∴△ABD∽△DCE;
(2)由(1)知,△ABD∽△DCE,则∠BAD=∠EDC.
∵∠BAD+∠ADB=90°,
∴∠ADB+∠EDC=90°.
∴∠ADE=180°﹣∠ADB﹣∠EDC=90°.
19.解:(1)运动秒时,,,.
①当时,,
,
,
.
②当时,,
,
,
.
综上:当或时,为直角三角形;
(2)如图,过作于,于.
,
.
,
,
,
,
,,
,
.
①如图,当时,
,解得:,
;
②如图:当时,过作,交于,
∴是的中点,
∴,
∵, ,
∴ ,
∵ ,
∴,
,
,解得,
;
③如图,当时,过作,交于,
∴是的中点,即.
∵, ,
∴,
∵ ,
∴,
,
,解得:,
.
综上,当或或时,为等腰三角形,此时,点的坐标分别是,,.
20.解:(1)∵ABCD是正方形,于F
∴∠B=∠C=∠EFG=
∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG=
∴∠BEF=∠CFG
∴△BEF∽△CFG
(2)解: ∵△BEF∽△CFG
∴
∴ .
21.解:(1)△ABE与△ADF相似.理由如下:
∵四边形ABCD为矩形,DF⊥AE,
∴∠ABE=∠AFD=90°,
∠AEB=∠DAF,
∴△ABE∽△DFA.
(2)∵△ABE∽△ADF
∴=,
∵在Rt△ABE中,AB=6,BE=8,
∴AE=10
∴DF===7.2.
答:DF的长为7.2.
22.解:(1),
.
,,
.
在中,,
,
不妨令,
,
,
解得:
,.
.
点在函数的图象上,
.
.
(2)是图象与的交点,
.
.
23.解:(1)证明:连接,如图,
∵ 与相切于点,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴,
∴ ,
∴ 是的角平分线;
(2)∵ 是的直径,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ (负值已舍去).