2021-2022学年度五校联考高一下数学开学考试卷（word版含解析）

2021-2022学年度高一下数学开学考试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知为定义在R上的奇函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（ ）
A． B．函数在定义域上是周期为2的函数
C．直线与函数的图象有2个交点 D．函数的值域为
2．记对数的整数部分为，第一位小数的值为，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．有以下结论∶
①若，，则角的终边在第三象限；
②幂函数在(0，+∞)上为减函数，则实数m的值为0；
③已知函数，若方程有三个不同的根，则的值为或0；
④定义在R上的奇函数满足：对于任意有若的值为 1.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知三棱锥的顶点在底面的射影为的垂心，若的面积为的面积为的面积为，满足，当的面积之和的最大值为8时，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，设函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．函数在有且仅有3个零点，则下列说法正确的是（ ）
A．在不存在，使得
B．函数在仅有1个最大值点
C．函数在上单调进增
D．实数的取值范围是
8．符号表示不超过x的最大整数，如，，，定义函数，以下结论正确的是（ ）
①函数的定义域是R，值域为[0,1)；
②方程有无数个解；
③函数是奇函数；
④函数是增函数.
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
9．已知，则下列有关函数在上零点的说法，有下面四个结论：
①函数有5个零点
②函数有6个零点
③函数所有零点之和大于2
④函数正数零点之和小于4.
正确的是（ ）.
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
10．已知直线与函数图象交于不同三点M，N，P，且，则实数k的值为（ ）
A． B． C． D．
11．若函数是奇函数，则使成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．对于函数，若存在，使，则称 是函数与图象的一对“雷点”．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，恒有，且当时，．若函数与的图象恰好存在一对“雷点”，则实数的取值范围为____________________．
14．已知关于的一元二次不等式在实数集上恒成立，且，则的最小值为________
15．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“刈股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”（1弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比，可构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的一个较大的等边三角形，设且，则可推出___________.
16．已知O为△外接圆的圆心，D为BC边的中点，且，，则△面积的最大值为___________.
三、解答题
17．已知函数（为常数，且，）．
(1)当时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
(2)当为偶函数时，若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．
18．定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点．已知函数．
(1)当，时，求函数的不动点；
(2)若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值．
参考公式：，的中点坐标为.
19．已知不等式对恒成立，求实数的取值范围．
20．已知函数（且）．
(1)当时，解不等式；
(2)是否存在实数a，使得当时，函数的值域为？若存在，求实数a的值；若不存在，请说明理由．
21．已知函数，．
(1)若的值域为，求a的值．
(2)证明：对任意，总存在，使得成立．
22．已知．
(1)解不等式；
(2)设，是否存在实数，使得函数存在两个零点、，且满足．若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
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参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
首先时，函数变形为，再结合函数是奇函数，可计算求值，并判断选项B；根据条件，可判断和时，函数的值域，即可判断D；再结合条件，以及D选项，即可判断C.
【详解】
函数是上的奇函数，，由题意可得，
当时，，，A选项正确；
当时，，则，，，
则函数不是上周期为的函数，B选项错误；
若为奇数时，，
若为偶数，则，即当时，，
当时，，若，且当时，，
，
当时，则，，
当时，，则，
所以，函数在上的值域为，
由奇函数的性质可知，函数在上的值域为，
由此可知，函数在上的值域为，D选项错误；
如下图所示：
由图象可知，当时，函数与函数的图象只有一个交点，
当或时，，此时，函数与函数没有交点，
则函数与函数有且只有一个交点，C选项错误.
故选：A.
2．C
【解析】
【分析】
利用对数函数的性质可得，可得，设对数的第二位小数及以后的值为，则，利用对数的运算可得，即得.
【详解】
∵，
∴，
设对数的第二位小数及以后的值为，则，
∴，又，
∴，即，
所以，∴6.
故选：C.
3．B
【解析】
【分析】
由二倍角公式可得可判断①，利用幂函数的定义及性质可判断②，利用数形结合可判断③，利用奇函数的性质及同角关系式可判断④，即得.
【详解】
对于①，由，，可得，故角的终边在第四象限，故①错误；
对于②，幂函数在(0，+∞)上为减函数，所以，解得，故②正确；
对于③，作函数与的图象，
若方程有三个不同的根，不妨设，由图可得或，
当时，，则，
当时，，
所以，即，
∴，
综上，的值为或0，故③正确；
对于④，∵∴，
∵是定义在R上的奇函数，∴，又对于任意，
∴，即函数最小正周期为4，
∴，故④错误.
所以正确结论为②③.
故选：B.
4．D
【解析】
【分析】
根据三角新的垂心，利用线线垂直与线面垂直的关系，证明两两垂直，从而可以将三棱锥的外接球问题，转变为一个长方体的外接球问题求解.
【详解】
连接交于点，连接,
因为为的垂心，所以，
因为平面，所以，而 ,
所以平面，所以，
可得，
因为，
即，所以，
所以，所以,
又 平面， 平面，故 ，
而 ,所以平面，平面，
所以，
同理可知，且，所以平面，
所以，因此两两垂直，
设，
则，
当且仅当时，等号成立，
所以，
设三棱锥外接球的半径为，
所以，解得，
所以三棱锥外接球的体积为,
故选:D.
5．D
【解析】
【分析】
利用分段函数在上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.
【详解】
因函数是定义在上的减函数，
则有，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
6．D
【解析】
【分析】
根据分段函数的意义将方程恰有两个互异的实数解，转化为各段上根的个数问题分类推理求解.
【详解】
因关于x的方程恰有两个互异的实数解，则有：
有两个不同的实根且无实根，
或与各有一个实根，
或无实根且有两个不同的实根，
当时，，函数为增函数，
则函数在上最多一个零点，有两个不同的实根不成立，
当函数在上有一个零点时，必有，即，此时，，
因此，当时，函数在上确有一个零点，方程必有一个实根，
当，时，，函数，
而函数对称轴，即在上单调递减，又，即在上必有一个零点，
因此，方程必有一个实根，
于是得当时，与各有一个实根，
若方程无实根，必有，
此时方程有两个不同的实根，函数在上有两个零点，
当且仅当，解得，
于是得当时，有两个不同的实根且无实根，
综上得：当或时，方程恰有两个互异的实数解，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
【点睛】
思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.
7．D
【解析】
【分析】
可根据题意作出函数的大致图像，可判断B错；根据函数有三个零点，可判断函数一定能取到最大和最小值，由此可判断A的正误；判断D时，可求出y轴右侧的四个零点，根据题意列出相应的不等式组，求得的范围，进而判断出D的正误，由此求出的范围，判断函数的单调性，可知C的正误.
【详解】
对于A,在上有且仅有3个零点，则函数的最小正周期 ，
所以在上存在 ，且 ，使得，故A错误；
由图象可知，函数在可能有两个最大值，故B错误;
对于选项D,令 ，
则函数的零点为 ,
所以函数在y轴右侧的四个零点分别是： ，
函数在有且仅有3个零点，
所以 ，解得 ，故D正确；
由对选项D的分析可知，的最小值为 ，
当 时， ，
但不是的子集，
所以函数在上不是单调进增的，故C错，
故选：D.
8．A
【解析】
【分析】
利用的定义，结合函数的定义域、值域、奇偶性的定义进行判断.
【详解】
对于①：函数的定义域是，但，其值域为，故正确；
对于②：，可得，则，，都是方程的解，故正确；
对于③：函数的定义域是，而，如，，
故函数不是奇函数，故错误；
对于④：由②可知，，，当时，函数函数的值都是，所以不是增函数，故错误，
故选：A
9．C
【解析】
【分析】
作出函数的图象，令，分和两种情况，将问题转化为求解的根以及的根进行分析，从而得到的取值情况，结合的图象分析判断即可．
【详解】
解：作出函数的图象如图所示，
令，则，
当时，函数可变为，
令，即，即，
则，解得，
所以，
由图可知，方程有2个不同的实根，，且；
当时，函数可变为，
令，即，
又因为，
所以方程有且仅有1个实根，
则，又，
由图可知，方程有4个不同的实根，
由图可知，，又，
所以，，
则，
所以，
整理可得，
所以函数有6个零点，故选项①错误，选项②正确；
，故选项③正确，
因为，故选项④错误．
故选：C．
10．D
【解析】
【分析】
根据函数为奇函数，且在上为增函数，可知函数关于点对称，且在上为增函数，于是M，N关于P对称，设，即可列式，解出，即可根据斜率公式求出．
【详解】
因为函数为奇函数，且在上为增函数，所以函数关于点对称，且在上为增函数， 设点P的坐标为，且M，N关于P对称，设，，解得或4，不妨设，所以，所以实数k的值为．
故选：D．
11．D
【解析】
【分析】
由为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式.
【详解】
∵是奇函数，，即，
整理可得， ，，，
，，
，解可得.
所以不等式的解集为
故选：D.
12．A
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式研究的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得、、，进而将目标式转化并令，构造，则只需研究在上的范围即可.
【详解】
由分段函数知：时且递减；时且递增；
时，且递减；时，且递增；
∴的图象如下：有四个实数根，，，且，
由图知：时有四个实数根，且，又，
由对数函数的性质：，可得，
∴令，且，
由在上单增，可知，
所以
故选：A
13．
【解析】
【分析】
根据新定义，将问题转化为两函数图像的交点问题，再结合两函数的性质，运用数形结合思想求解参数的取值范围.
【详解】
与的图象关于y轴对称，所以题目
等价于函数在上有且仅有一个交点．利用
的奇偶性与周期性，可得，在同一坐标系
中作出的图象．的图象为进行上下平移，
如图，
由图知，过点(1,1)时，；
与只有一个交点时，方程有一个解，此时解得;
过点(1,0)时，；
过点(0,0)时，.
结合图象得，当与的图像恰好存在一对“雷点”时，
a的取值范围为得.
故答案为：.
14．3
【解析】
【分析】
由题干条件得到，对变形，利用基本不等式进行求解.
【详解】
一元二次不等式对一切实数都成立，
当时，不能保证恒成立，不符合题意；
当时，要满足
，由此，
，，
得：，
则，
即时，取等号，
故答案为：3．
15．
【解析】
【分析】
设，根据与，利用余弦定理求出，，设出AG=m，DG=n，利用勾股定理求出m与n的值，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求出与的值，进而求出的值.
【详解】
设，，则，，因为和是等边三角形，故，由余弦定理得：，解得：，故，，过点D作DG⊥AB于点G，设AG=m，DG=n，则BG=2-m，由勾股定理得： ，解得：
如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB的直线为y轴建立直角坐标系，
则，，，，则 ，，，由得：，即，解得：，则
故答案为：
16．
【解析】
【分析】
令，由题设得，结合余弦定理可得，再由三角形面积公式、基本不等式求△面积的最大值，注意等号成立条件.
【详解】
由题设，若，而，如下图示：
∴，
令，则，且，
∴，则，
由，而，即，当且仅当时等号成立，
∴.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：利用平面向量数量积的运算律，将条件转化为，进而根据余弦定理、三角形面积公式、基本不等式求三角形面积的最大值.
17．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）先化简，并判定其单调性、求出值域，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用换元思想和（1）问结论求最值即可确定的取值范围；
（2）先利用函数的奇偶性得到值，利用换元思想和基本不等式确定的范围，再根据方程在给定区间有解进行求解.
(1)
当时，在上单调递增，
∴当时，，
对任意的都有成立，转化为恒成立，即对恒成立，
令，则恒成立，即，
由对勾函数的性质知：在上单调递增，故，
∴的取值范围是.
(2)
当为偶函数时，对xR都有，即恒成立，即恒成立，
∴，解得，则，
此时，由可得：有实数解
令（当时取等号），则，
∴方程，即在上有实数解，而在上单调递增，
∴.
【点睛】
关键点点睛：应用转化与化归思想，第一问转化为对恒成立问题求参数范围；第二问由奇偶性求参数，再将问题转化为有实数解求参数范围.
18．(1)或；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
（1）将，代入 ，求出，令，解方程求不动点即可；
（2）由有两个不动点，即有两个不等实根，可通过判别式大于0得到关于参数，的不等式，不等式恒成立转化为即可．
（3）可以先设出两点的坐标分别为，，，，可以得到，根据根与系数的关系，题设中的条件转化为，化为，至此，求参数的问题转化为求关于的函数最小值的问题．
(1)
，由，解得或，
∴所求的不动点为或.
(2)
令，则①，
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以，即恒成立，
∴，故.
(3)
设，且，，
又的中点在该直线上，则，
∴，而、应是方程①的两个根，
∴，即，
∴，
∴当时，.
【点睛】
关键点点睛：利用二次函数、一元二次不等式及对应方程的关系求不动点、参数范围，结合根与系数关系及二次函数性质求最值．
19．
【解析】
【分析】
分、两种情况讨论，在时，验证即可；在时，，令，求出的取值范围，有恒成立，由此可得出实数的取值范围．
【详解】
当时，则有恒成立；
当时，不等式两边同时除以可得，
令，则
①当时，，当且仅当时，等号成立；
②当时，，当且仅当时，等号成立.
综上，有恒成立
当即时，成立；
当即或时，有
解得．
综上所述：
故.
20．(1)；
(2)不存在.
【解析】
【分析】
（1）根据对数函数的性质可得，求解集即可.
（2）由题设可得，进而将问题转化为在上有两个不同的零点，利用二次函数的性质即可判断存在性.
(1)
由题设，，
∴，可得，
∴的解集为.
(2)
由题设，，故，
∴，而在上递增，递减，
∴在上递减，故，
∴，即是的两个不同的实根，
∴在上有两个不同的零点，
而开口向上且，显然在上不可能存在两个零点，
综上，不存在实数a使题设条件成立.
【点睛】
关键点点睛：第二问，根据对数函数的性质易得，并将问题转化为二次函数在上有两个不同实根零点判断参数的存在性.
21．(1)2
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意，可得，从而即可求解；
（2）利用对勾函数单调性求出在上的值域，再分三种情况讨论二次函数在闭区间上的值域，然后证明的值域是值域的子集恒成立即可得证.
(1)
解：因为的值域为，所以，解得．
(2)
证明：由题意，根据对勾函数的单调性可得在上单调递增，所以．
设在上的值域为M，
当，即时，在上单调递增，因为，，所以；
当，即时，在上单调递减，因为，，所以；
当，即时，，，所以；
综上，恒成立，即在上的值域是在上值域的子集恒成立，
所以对任意总存在，使得成立.
22．(1)；
(2)存在，.
【解析】
【分析】
（1）利用对数函数的单调性求解集即可.
（2）由题设可得，根据的零点情况将问题化为在的定义域内有两个解，应用根与系数关系及已知条件求m，结合的定义域验证即可判断存在性.
(1)
由题设，，
，故解集为
(2)
由题意，，
∴，则；
∵函数有两个零点，
∴在的定义域内有两个解，即在的定义域内有两个解，
若存在两解满足上述条件，则，.
∴，解得：.
对于时，是否在函数的定义域内进行检验：
由，可得的定义域为.
方程的两个解，有，，满足题意.
.
【点睛】
关键点点睛：第二问，利用对数函数的性质及函数零点的个数，将问题化为一元二次方程在某区间解得个数，结合根与系数关系求参数并注意验证结果.
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