27.2相似三角形 课后练习 2021—2022学年人教版九年级数学下册（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 27.2相似三角形 课后练习 2021—2022学年人教版九年级数学下册（word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 374.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-10 13:02:49 | ||
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文档简介
2021——2022学年度人教版九年级数学下册 第二十七章 相似 27.2相似三角形 课后练习
一、选择题
1．下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠D＝40°，∠B＝∠E＝60°，AB＝DE
B．∠A＝∠D＝60°，∠B＝ 40°，∠E＝80°
C．∠A＝∠D＝50°，AB＝3 ，AC＝5 ，DE＝6 ，DF＝10
D．∠B＝∠E＝70°，AB：DE＝AC：DF
2．若P是RtABC直角边BC（∠C=90 ，∠B≠∠A）上异于B、C的一点，过点P作直线截ABC，截得的三角形与原ABC相似，满足这样条件的直线有（ ）条
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是（ ）．
A． B． C． D．
4．如图， ∽ ，且 ，则 与 的相似比为（ ）
A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2
5．如下图，D、E分别是△ABC边的AB、AC上的点，DE∥BC，且S△ADE︰S△ABC＝1︰9，那么AD∶BD的值为（ ）
A．1︰9 B．1︰3 C．1︰8 D．1︰2
6．在ABC中，D，E分别是边AB，AC上的两个点，并且DEBC，AD：BD＝3：2，则ADE与四边形BCED的面积之比为（ ）
A．3：5 B．4：25 C．9：16 D．9：25
7．如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（ ）
A． B． C．或3 D．或4
8．如图，点 是 的角平分线 的中点， 点 分别在 边上，线段 过点 ， 且 ，下列结论中， 错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，小明到操场测量旗杆AB的高度，他手拿一支铅笔MN，边观察边移动（铅笔MN始终与地面垂直）．当小明移动到D点时，眼睛C与铅笔，旗杆的顶端M，A共线，同时眼睛C与它们的底端N，B也恰好共线．此时测得DB＝50m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6m，铅笔MN的长为0.16m，则旗杆AB的高度为（ ）
A．15m B．m C．m D．14m
二、填空题
11．已知，在 中，，，，点、分别在边、上，且．将绕点顺时针旋转，当点落在线段上的点处时，恰好是的平分线，此时线段的长是_____．
12．如图，过的重心G作分别交边AC、BC于点E、D，联结AD，如果AD平分，，那么______．
13．如图所示，已知AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC相似，则AP=________．
14．如图，在中，中线相交于点，如果的面积是4，那么四边形的面积是_________
15．如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板DEF的斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB为 ___m．
三、解答题
16．如图，已知，，，，，求证：．
17．已知：如图，在和中，．
求证：．
18．如图，平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O，
（1）求证：△EBC是等腰三角形；
（2）已知：AB=7，BC=5，求的值．
19．如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”．
(1)在△ABC中，∠A=30．
①如图1，若∠B=100°，请过顶点C画出△ABC的“形似线段”CM，并标注必要度数；
②如图2，若∠B =90°，BC=1，则△ABC的“形似线段”的长是 ．
(2)如图3，在DEF中，，，，若EG是DEF的“形似线段”，求EG的长．
20．如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴正半轴上，点B的坐标是，点P是CB边上一动点（不与点C，B重合），连接OP，AP，过点O作射线OE交AP的延长线于点E，交CB边于点M，且，令，．
(1)当x为何值时，？
(2)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
21．如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、C、E在同一直线上，联结BD交AC边于点F．
(1)如果∠ABD＝∠CAD，求证：BF2＝DF DB；
(2)如果AF＝2FC，S四边形ABCD＝18，求S△DCE的值．
22．如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题：
【问题发现】
（1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________．
【类比探究】
（2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论．
【拓展应用】
（3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．
23．【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树CD，FG和灯柱AB如图①所示，在灯柱AB上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下：
①根据光源确定榕树在地面上的影子；
②测量出相关数据，如高度，影长等；
③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．
根据上述内容，解答下列问题：
(1)已知榕树CD在路灯下的影子为DE，请画出榕树FG在路灯下的影子GH；
(2)如图①，若榕树CD的高度为3.6米，其离路灯的距离BD为6米，两棵榕树的影长DE，GH均为4米，两棵树之间的距离DG为6米，求榕树FG的高度；
(3)无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物CD高为50米，建筑物MF上有一个广告牌EM，合计总高度EF为70米，两座建筑物之间的直线距离FD为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌EM的底端M处，观测者沿着直线AF向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌EM的顶端E处．则广告牌EM的高度为 米
【参考答案】
1．D 2．C 3．C 4．A 5．D 6．C 7．C 8．D 9．A 10．C
11．6
12．8
13．或2或6
14．8
15．5.5
16．证明：，，，，
，
，
，
．
17．证明：在线段AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
又，AD＝A′B′，
∴＝，＝，
∴DE＝B′C′，AE＝A′C′，
在△ADE和△A′B′C′中
，
∴△ADE≌△A′B′C′（SSS），
∴△ABC∽△A'B'C'．
18．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
19．(1)①如图所示，
②分论讨论如下：
当时，如下图：
，
，
，
，
当时，如下图：
设，则，
，
解得：，
，
则△ABC的“形似线段”的长是或，
故答案为：或．
(2)
解：①若，
则．
，，，
．
②若，
则．
，，，
．
综上，．
20．(1)点B的坐标是，四边形OABC是矩形,
，，，
解得
经检验都是方程的解
当时
,
则与线段交于点，如图，与题图不符，故舍去
(2)
当时，，
此时若，则点与重合，则，即
点P是CB边上一动点（不与点C，B重合），
21．(1)证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝∠ACD=60°，
又∵∠ABD＝∠CAD，
∴△ABF≌△CAD（ASA），
∴BF＝AD，
∵∠ADF＝∠BDA，∠ABD＝∠CAD，
∴△ADF∽△BDA，
∴，
∴AD2＝DF BD，
∴BF2＝DF BD；
(2)解：∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴，
∴△DCF∽△BAF，
∴＝，
∴，，，
设S△DCF＝x，则S△ADF＝S△BCF＝2x，S△ABF＝4x，
∵S四边形ABCD＝18，
∴x+2x+2x+4x＝18，
解得x＝2，
∴S△ABF＝8，S△BCF＝4，
∴S△ABC＝S△ABF+S△BCF＝8+4＝12，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴△ABC∽△DCE，
∴＝，
∴S△DCE＝＝×12＝3．
22．解：（1）连接，如下图：
∵点D为BC边中点
∴
又∵为等腰直角三角形
∴，，
∴
又∵
∴
∴
∴
（2）分别过点、作、交于点
∵为等腰直角三角形
∴
又∵、
∴、为等腰直角三角形
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴，，
∴，
∴
又∵
∴
∴，即
（3）∵，
∴
又∵
∴
∴
∴
设，
∴
∴当时，最大，最大为1．
23．（1）解：图①中GH即为所求；
（2）∵CD∥PB，
∴△ECD∽△EPB，
∴，即，
解得：PB=9，
∵FG∥PB，
∴△HFG∽△HPB，
∴，即，
解得：FG=，
答：榕树FG的高度为米；
（3）∵CD∥EF，
∴△BCD∽△BEF，
∴，即，
解得：BD=75，
∵CD∥EF，
∴△ACD∽△AMF，
∴，即，
解得：MF=，
∴EM=EF-MF=70-=（米），
故答案为：．
一、选择题
1．下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠D＝40°，∠B＝∠E＝60°，AB＝DE
B．∠A＝∠D＝60°，∠B＝ 40°，∠E＝80°
C．∠A＝∠D＝50°，AB＝3 ，AC＝5 ，DE＝6 ，DF＝10
D．∠B＝∠E＝70°，AB：DE＝AC：DF
2．若P是RtABC直角边BC（∠C=90 ，∠B≠∠A）上异于B、C的一点，过点P作直线截ABC，截得的三角形与原ABC相似，满足这样条件的直线有（ ）条
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是（ ）．
A． B． C． D．
4．如图， ∽ ，且 ，则 与 的相似比为（ ）
A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2
5．如下图，D、E分别是△ABC边的AB、AC上的点，DE∥BC，且S△ADE︰S△ABC＝1︰9，那么AD∶BD的值为（ ）
A．1︰9 B．1︰3 C．1︰8 D．1︰2
6．在ABC中，D，E分别是边AB，AC上的两个点，并且DEBC，AD：BD＝3：2，则ADE与四边形BCED的面积之比为（ ）
A．3：5 B．4：25 C．9：16 D．9：25
7．如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（ ）
A． B． C．或3 D．或4
8．如图，点 是 的角平分线 的中点， 点 分别在 边上，线段 过点 ， 且 ，下列结论中， 错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，小明到操场测量旗杆AB的高度，他手拿一支铅笔MN，边观察边移动（铅笔MN始终与地面垂直）．当小明移动到D点时，眼睛C与铅笔，旗杆的顶端M，A共线，同时眼睛C与它们的底端N，B也恰好共线．此时测得DB＝50m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6m，铅笔MN的长为0.16m，则旗杆AB的高度为（ ）
A．15m B．m C．m D．14m
二、填空题
11．已知，在 中，，，，点、分别在边、上，且．将绕点顺时针旋转，当点落在线段上的点处时，恰好是的平分线，此时线段的长是_____．
12．如图，过的重心G作分别交边AC、BC于点E、D，联结AD，如果AD平分，，那么______．
13．如图所示，已知AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC相似，则AP=________．
14．如图，在中，中线相交于点，如果的面积是4，那么四边形的面积是_________
15．如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板DEF的斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB为 ___m．
三、解答题
16．如图，已知，，，，，求证：．
17．已知：如图，在和中，．
求证：．
18．如图，平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O，
（1）求证：△EBC是等腰三角形；
（2）已知：AB=7，BC=5，求的值．
19．如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”．
(1)在△ABC中，∠A=30．
①如图1，若∠B=100°，请过顶点C画出△ABC的“形似线段”CM，并标注必要度数；
②如图2，若∠B =90°，BC=1，则△ABC的“形似线段”的长是 ．
(2)如图3，在DEF中，，，，若EG是DEF的“形似线段”，求EG的长．
20．如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴正半轴上，点B的坐标是，点P是CB边上一动点（不与点C，B重合），连接OP，AP，过点O作射线OE交AP的延长线于点E，交CB边于点M，且，令，．
(1)当x为何值时，？
(2)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
21．如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、C、E在同一直线上，联结BD交AC边于点F．
(1)如果∠ABD＝∠CAD，求证：BF2＝DF DB；
(2)如果AF＝2FC，S四边形ABCD＝18，求S△DCE的值．
22．如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题：
【问题发现】
（1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________．
【类比探究】
（2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论．
【拓展应用】
（3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．
23．【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树CD，FG和灯柱AB如图①所示，在灯柱AB上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下：
①根据光源确定榕树在地面上的影子；
②测量出相关数据，如高度，影长等；
③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．
根据上述内容，解答下列问题：
(1)已知榕树CD在路灯下的影子为DE，请画出榕树FG在路灯下的影子GH；
(2)如图①，若榕树CD的高度为3.6米，其离路灯的距离BD为6米，两棵榕树的影长DE，GH均为4米，两棵树之间的距离DG为6米，求榕树FG的高度；
(3)无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物CD高为50米，建筑物MF上有一个广告牌EM，合计总高度EF为70米，两座建筑物之间的直线距离FD为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌EM的底端M处，观测者沿着直线AF向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌EM的顶端E处．则广告牌EM的高度为 米
【参考答案】
1．D 2．C 3．C 4．A 5．D 6．C 7．C 8．D 9．A 10．C
11．6
12．8
13．或2或6
14．8
15．5.5
16．证明：，，，，
，
，
，
．
17．证明：在线段AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
又，AD＝A′B′，
∴＝，＝，
∴DE＝B′C′，AE＝A′C′，
在△ADE和△A′B′C′中
，
∴△ADE≌△A′B′C′（SSS），
∴△ABC∽△A'B'C'．
18．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
19．(1)①如图所示，
②分论讨论如下：
当时，如下图：
，
，
，
，
当时，如下图：
设，则，
，
解得：，
，
则△ABC的“形似线段”的长是或，
故答案为：或．
(2)
解：①若，
则．
，，，
．
②若，
则．
，，，
．
综上，．
20．(1)点B的坐标是，四边形OABC是矩形,
，，，
解得
经检验都是方程的解
当时
,
则与线段交于点，如图，与题图不符，故舍去
(2)
当时，，
此时若，则点与重合，则，即
点P是CB边上一动点（不与点C，B重合），
21．(1)证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝∠ACD=60°，
又∵∠ABD＝∠CAD，
∴△ABF≌△CAD（ASA），
∴BF＝AD，
∵∠ADF＝∠BDA，∠ABD＝∠CAD，
∴△ADF∽△BDA，
∴，
∴AD2＝DF BD，
∴BF2＝DF BD；
(2)解：∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴，
∴△DCF∽△BAF，
∴＝，
∴，，，
设S△DCF＝x，则S△ADF＝S△BCF＝2x，S△ABF＝4x，
∵S四边形ABCD＝18，
∴x+2x+2x+4x＝18，
解得x＝2，
∴S△ABF＝8，S△BCF＝4，
∴S△ABC＝S△ABF+S△BCF＝8+4＝12，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴△ABC∽△DCE，
∴＝，
∴S△DCE＝＝×12＝3．
22．解：（1）连接，如下图：
∵点D为BC边中点
∴
又∵为等腰直角三角形
∴，，
∴
又∵
∴
∴
∴
（2）分别过点、作、交于点
∵为等腰直角三角形
∴
又∵、
∴、为等腰直角三角形
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴，，
∴，
∴
又∵
∴
∴，即
（3）∵，
∴
又∵
∴
∴
∴
设，
∴
∴当时，最大，最大为1．
23．（1）解：图①中GH即为所求；
（2）∵CD∥PB，
∴△ECD∽△EPB，
∴，即，
解得：PB=9，
∵FG∥PB，
∴△HFG∽△HPB，
∴，即，
解得：FG=，
答：榕树FG的高度为米；
（3）∵CD∥EF，
∴△BCD∽△BEF，
∴，即，
解得：BD=75，
∵CD∥EF，
∴△ACD∽△AMF，
∴，即，
解得：MF=，
∴EM=EF-MF=70-=（米），
故答案为：．