福建省莆田高一下学期复学质量检测数学试题（word版含解析）

福建省莆田高一下学期复学质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1． 圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为
A． B．
C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．在锐角中，角，，的对边分别是，，，外接圆的面积是，，则（ ）
A．或 B． C． D．
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=
A． B．
C． D．
6．圆心都在直线上的两圆相交于两点，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，则
A． B． C． D．或
8．已知函数为上 的连续函数，当时，，当时，，且对恒成立，函数的一个周期内的图像与函数的图像恰好有两个公共点，则（ ）
A． B． C． D．
9．在中，若，则此三角形为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
10．已知半径为1的圆经过直线和直线的交点，那么圆心到原点的距离的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
11．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
12．设函数，当时，的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知集合，，则___________.
14．不等式对于恒成立，则实数的取值范围是________．
15．已知，，且，那么________.
16．已知扇形的半径为8，面积为20，则圆心角的弧度数为___________.
三、解答题
17．已知圆C与直线相切于点，并且圆心在直线上，求圆C的方程.
18．已知函数的部分图象，如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）若方程在上有两个不同的实根，试求的取值范围;
（3）若，求出函数在上的单调减区间.
19．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足.
（1）求A的大小；
（2）若，，求的面积.
20．化简：
21．已领函数
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
22．已知角的终边上一点，且
（1）求的值；
（2）求出和.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．C
【解析】
【详解】
圆心在曲线上，设圆心坐标为，
半径，当半径最小时，圆的面积最小，
由基本不等式得，当a=1时等号成立，此时半径的最小值为，
故圆的面积最小时，圆心为，半径为，
所以圆的方程为，
故选：C
2．A
【解析】
令，将转化为，然后利用二倍角的余弦公式求得的值.
【详解】
令，则，所以.
因为，
所以.
故选：A
【点睛】
本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力.
3．D
【解析】
【分析】
由外接圆的面积是可求其外接圆的半径，再由正弦定理求，由此可得.
【详解】
设外接圆的半径为，则，所以.由正弦定理得，因为，所以，因为是锐角三角形，所以.
故选：D.
4．A
【解析】
【分析】
由函数解析式结合奇偶性的定义可知为奇函数，再由易知，即可确定正确图象.
【详解】
由解析式知：且，则为奇函数，排除B、C；而当时，，，所以，排除D.
故选：A.
5．D
【解析】
【分析】
中，根据正弦定理解得，在中，利用三角函数关系得到.
【详解】
因为∠BCD=15°，∠BDC=30°，所以∠CBD=135°．
在中，根据正弦定理可知
即，解得．
在中，
所以．
故选D．
【点睛】
本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
6．A
【解析】
【分析】
由相交两圆的公共点性质求解，即由直线是线段的垂直平分线求解．
【详解】
由题意直线是线段的垂直平分线，
所以，解得，所以．
故选：A．
7．B
【解析】
【详解】
分析：先根据得到，再求最后求的值.
详解：由题得
所以，
所以
故答案为B
点睛：（1）本题主要考查三角函数求值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是根据已知求的隐含范围，其二是通过变角求的值，.
8．A
【解析】
由条件可得在上单调递减，在上单调递增，函数为偶函数，当且仅当时，有最小值，对恒成立，可得，又函数恒成立，由函数的一个周期内的图像与的图象恰好有两个公共点，则公共点为 ，所以的周期为2，且可得答案.
【详解】
因为，由对恒成立
所以，即的最小值为1.
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增.
所以在上，当时，有最小值.
又函数为偶函数，则，当且仅当时，有最小值.
由函数恒成立.
由，，且由函数的一个周期内的图像与函数的图像恰好有两个公共点.
所以其公共点为
所以的周期为2，即，所以.
,所以，
所以
故选：A
【点睛】
本题考查偶函数的性质，考查函数的单调性和最值，考查三角函数的图像性质，考查分析问题的能力，属于中档题.
9．C
【解析】
【分析】
利用诱导公式可得，结合正弦定理可得，利用两角和正弦公式可得，从而得到答案.
【详解】
在中，由已知得，
又由正弦定理可知，，
即，
∵，
∴，，
所以三角形为直角三角形，
故选C.
【点睛】
本题考查三角形形状的判定，考查正弦定理的应用，考查诱导公式与两角和正弦公式，考查运算能力与推理能力，属于中档题.
10．C
【解析】
【分析】
联立直线方程，求得圆所经过的定点，求出该点到原点的距离，加上圆的半径即可.
【详解】
联立，解得，即圆经过，
因为与原点的距离为，，所以圆心到原点的距离的最大值为，
故选：C.
11．A
【解析】
【分析】
求得圆心坐标和半径，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解.
【详解】
由圆的方程可知圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
所以弦长为.
故选：A.
12．A
【解析】
【分析】
可化简，作出函数图象，根据三角函数的性质结合图象求解.
【详解】
因为
结合函数的图象可知，
当时，时，.
由对称性可知，
所以，
故选.
13．
【解析】
通过解不等式确定集合，再根据正弦函数值域，与结合不等性质确定集合，进而求得.
【详解】
解不等式，得，
即,
又，，故，
即，，
故答案为：.
【点睛】
求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．
14．
【解析】
【分析】
将不等式恒成立转化为对于恒成立，设，则其对应的轨迹表示以为圆心，半径为的上半圆，记，为该半圆的左右两端点，作出函数图像，根据函数图像，得到在直线的上方或在直线上即可，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】
解：不等式对于恒成立，
等价为对于恒成立，
设，则其对应的轨迹表示以为圆心，半径为的上半圆，
记，为该半圆的左右两端点，
若对于恒成立，
则等价为在直线的上方或在直线上即可，
即，在不等式对应的区域内，
则满足，即，解得，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查不等式恒成立求参数的问题，以及直线与圆位置关系求参数的问题，通常需要构造函数，利用数形结合的方法求解，属于常考题型．
15．
【解析】
可根据得出，进行数量积的坐标运算即可得出，根据齐次式的特征即可求得结果.
【详解】
因为，所以；
所以，所以
所以.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了数量积运算性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
16．##
【解析】
【分析】
利用扇形面积公式及弧长公式即可求解.
【详解】
解：设扇形面积为，圆心角所对的弧长为
则，
∴，
∴圆心角的弧度数为.
故答案为：.
17．.
【解析】
根据过圆心和点的直线与直线垂直，得到过圆心和点的直线的斜率，进而得到过圆心和点的直线方程，将此直线与直线方程联立解得圆心坐标，再求出圆的半径，然后可得圆C的标准方程.
【详解】
依题意，过圆心和点的直线与直线垂直，
故这条直线的斜率为
所以这条直线的方程．
由已知，所求圆的圆心C在直线上．
解方程组，
可得，．所以圆心C的坐标为．
半径为，
所求圆C的方程为．
【点睛】
关键点点睛：利用两直线方程联立求出圆心坐标是解题关键.
18．（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据图象可得最小正周期，求得；根据最大值和最小值确定；由，结合的范围可求得的取值，从而得到解析式；（2）将问题转化为与的图象在上有两个交点，通过数形结合的方式可确定的取值范围；（3）根据复合函数单调性的判断可将问题转化为求解的单调递增区间；根据（2）中的图象，分别讨论每一段单调区间对应的的单调性，进而求得结果.
【详解】
（1）由图象可知：最小正周期，解得：
，
，
，
（2）方程在上有两个不同的实根等价于与的图象在上有两个交点
如图为函数在上的图象
当时，，当时，，
由图中可以看出当与有两个交点时，
（3）当时，为减函数
求函数在上的单调减区间即求函数的单调递增区间
①当时，单调递增，此时
在上单调递减，不符合题意
②当时，单调递减
当时，；当时，
在上单调递增
③当时，单调递增，此时
在上单调递减，不符合题意
综上所述：在上的单调递减区间为
【点睛】
本题考查根据三角函数图象求解解析式、根据方程根的个数求解参数范围、复合函数单调区间的求解等知识；根据方程根的个数求解参数范围的常用方法是将问题转化为函数交点个数问题，通过数形结合的方式来进行求解.
19．（1）；（2）.
【解析】
（1）由正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求出；
（2）先根据正弦定理可求出，再由余弦定理可求出，根据三角形面积公式即可求出的面积.
【详解】
（1）因为，
由正弦定理，得，即，
所以，
因为，所以.
（2）由正弦定理，得.
由余弦定理，得，
解得.
所以的面积.
【点睛】
本题考查正余弦定理的应用，考查三角形面积公式，属于中档题.
20．
【解析】
根据诱导公式分别化简每一项，再计算.
【详解】
解：原式=
【点睛】
本题考查三角函数诱导公式化简，重点考查公式的灵活掌握，根据三角函数的形式，分步骤利用公式化简，属于基础题型.
21．（1）；（2）最大值2，最小值.
【解析】
【分析】
（1）根据两角和的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简，然后代入计算即可.
（2）根据（1）的条件，以及正弦函数的性质进行计算和判断即可.
【详解】
解：（1）因为
，
所以.
（2）因为，所以，
所以，
所以，当，即时，取到最大值2；
当，即时，取到最小值.
22．（1）（2）见解析
【解析】
【详解】
试题分析：
（1）利用余弦函数的定义可求出参数；
（2）再由正弦函数和正切函数的定义可求得．
试题解析：
（1）由题设知，∴（为原点），.
所以，∴，即，解得.
（2）当时，，，
当时，，，
点睛：任意角三角函数的定义：设是角终上的一点，，则，，，三角函数值的正负与终边所在象限有关，与点在终边的位置无关．
试卷第页，共页
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