贵州省贵阳高一下学期开学考数学试题（word版含解析）

贵州省贵阳高一下学期开学考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则；④若，则．其中，正确的命题个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知函数，且，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
3．若平面向量，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则
A． B． C． D．
5．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则=（ ）
A． B．2 C． D．98
7．角的终边过点，则等于
A． B． C． D．
8．函数的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
9．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正六边形中，点为边的中点，则下列数量积最大的是
A． B． C． D．
11．的值为
A． B． C． D．
二、多选题
12．将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则下列判断正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递减
D．函数图象关于点对称
三、填空题
13．若函数，则 .
14．在中，已知，则面积的最大值是___________
15．函数，则________．
16．若函数（，且）的值域是，则实数的取值范围是________．
四、解答题
17．已知点在直线上，求：
（1） （2）
18．已知函数.
（1）求的值；
（2）求的单调递减区间.
19．已知函数，
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并予以证明．
（3）求函数的值域.
20．如图，设是平面内相交成60°角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对（x，y）叫做向量在坐标系xOy中的坐标，设，
（1）计算的大小；
（2）根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理.
21．已知函数是定义在R上的偶函数，已知时，．
（1）求函数的解析式；
（2）画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间；
（3）试讨论的解的个数．
22．已知函数图象过点和，其中，，且，令．
（）求，的值并判断的奇偶性．
（）用单调性定义证明时，为增函数．
试卷第页，共页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
利用向量的定义、模、向量共线基本定理判断命题的真假即可．
【详解】
对于①，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点一定相同，故正确；
对于②，当是零向量时，不能说与方向相同或相反，故错；
对于③，如果，则与可以不共线，所以不正确；
对于④，向量不能比较大小，故不正确；
故选：B．
2．A
【解析】
根据分段函数的定义计算．
【详解】
，所以，解得．
故选：A．
【点睛】
本题考查分段函数，根据自变量的不同取值范围选择不同的表达式计算是解题关键．本题考查了三角函数的计算，对数的概念．属于中档题．
3．C
【解析】
【分析】
可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.
【详解】
由题意可得：
，
，
，
故选：C
【点睛】
本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.
4．A
【解析】
【分析】
容易得出，，，从而得出，，的大小关系．
【详解】
，，；
．
故选．
【点睛】
本题主要考查指数函数、对数函数的单调性，指数函数的值域．属于基础题.
5．B
【解析】
【分析】
分别计算，，根据零点存在定理得到答案.
【详解】
因为，，且为增函数
故的零点所在的区间为.
故选：
【点睛】
本题考查了函数零点的范围，灵活使用零点存在定理是解题的关键.
6．A
【解析】
【分析】
利用已知条件，化简求得的值.
【详解】
由于是定义在上的偶函数，且，当时，，所以.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查根据函数的性质求函数值，属于基础题.
7．C
【解析】
【分析】
由任意角的三角函数定义，即可求出答案．
【详解】
，所以
【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数定义．
8．D
【解析】
【分析】
本题可通过绘出函数与函数的图像得出结果.
【详解】
如图，绘出函数与函数的图像，
结合图像易知，函数的零点所在的一个区间是，
故选：D.
9．A
【解析】
先求得集合T，再运用集合的并集运算可得选项．
【详解】
因为，
又，所以.
故选：A.
10．C
【解析】
【分析】
设正六边形的边长为，以正六边形的中心为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用坐标法计算每个选项中向量的数量积，可得出正确选项.
【详解】
设正六边形的边长为，以所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则、、、、、，，，，，，则，，，，
最大.故选：C.
【点睛】
本题考查图形中向量数量积的计算，一般利用基底法以及坐标法来进行计算，考查计算能力，属于中等题.
11．C
【解析】
【分析】
先将所给的角用含有的式子表示，再利用诱导公式把问题转化成求锐角三角函数的值的问题，再化简得解.
【详解】
原式
．
故选C．
【点睛】
本题考查角的转化和三角函数的诱导公式，关键是如何将问题转化成求锐角三角函数值的问题，属于基础题.
12．ABD
【解析】
【分析】
根据图像变换的知识求得解析式，由此判断的单调性和对称性，确定正确选项.
【详解】
函数的图像向右平移个单位长度得到.
由于，故是的对称轴，B选项正确.
由于，故是的对称中心，D选项正确.
由，解得，即在区间上递增，故A选项正确、C选项错误.
故选：ABD.
【点睛】
本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数的对称性和单调性，属于基础题.
13．5
【解析】
【详解】
试题分析：.
考点：分段函数.
14．
【解析】
【分析】
由正弦的和角公式得，进而得，故过C作于D，设，进而根据边的关系得，进而求解即可.
【详解】
因为，
所以，
即，所以
所以，如图，过C作于D，设，，
则，
所以，
所以，所以，
所以
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角形面积的最值问题，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于根据恒等变换和正弦定理得，进而过C作于D，设，，进而结合勾股定理得，最后结合二次函数性质得.
15．
【解析】
【分析】
根据分段函数先求出 ，从而，由此能求出结果．
【详解】
函数，
∴， ．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了分段函数的函数值求法，属于基础题.
16．
【解析】
【详解】
试题分析：范围包含，所以
考点：分段函数值域
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么．函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上．解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值．
17．（1）10；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据点在直线上，可求得，利用三角恒等变形，弦切互换，可得结果
（2）由（1）的条件，结合平方关系，弦切互换，可得结果.
【详解】
（1）因为点在直线上，
所以可知，则
（2）由，所以
所以
则
【点睛】
本题考查三角恒等变形，弦切互换，善于观察，理清思路，细心计算，属基础题.
18．（1）-2 （2）.
【解析】
（1）先化简函数为标准型函数，再代入求值；
（2）根据三角函数的单调性，整体代入求解即可.
【详解】
（1）由题意，
，
故.
（2）由（1）知.
令，，
解得，，
所以的单调递减区间是.
【点睛】
本题考查利用三角恒等变换对三角函数进行化简，之后求三角函数值与函数的单调区间，属综合基础题.
19．（1）；（2）奇函数（3）
【解析】
【分析】
（1） 根据对数函数的真数部分大于0 ，构造不等式，解得函数的定义域；
（2）先观察定义域是否关于原点对称，再利用偶函数定义判断即可.
（3）由对数的真数大0 可得的定义域，将函数解析式化成后，考虑这个二次函数的值域，再结合对数函数图像即可得出结论 ．
【详解】
（1）使函数有意义，必须有，解得．
所以函数的定义域是．
（2）由（1）知函数的定义域关于原点对称，
所以函数是奇函数．
（3）
令，则
在递增，
【点睛】
本题考查对数函数定义域和奇偶性的判断及利用图象与性质求值域的问题，是函数图象与性质的综合应用，难度中档 ．
20．（1）；（2）合理
【解析】
（1）结合图形作辅助线在直角三角形中求解；
（2）根据平面向量基本定理，作为一组基底，则平面内任意向量都有唯一有序数对使得.
【详解】
解：（1）建立如围所示的直角坐标系，将分解到轴和轴可求得，所以.
（2）作为一组基底，对于任意向量都是唯一确定的，所以本题中对向量坐标的规定合理.
【点睛】
此题考查平面向量基本运算，涉及数形结合处理模长问题，对平面向量基本定理辨析
21．（1）；（2）图象见解析，单调增区间为和；（3）答案见解析.
【解析】
（1）由偶函数的性质即可得解；
（2）画出函数图象，数形结合即可得函数的单调增区间；
（3）数形结合即可得解.
【详解】
（1）由题意，为R上的偶函数，且时，，
∴当时，，
∴；
（2）的图象如图，
由图象可得单调增区间为,；
（3）由（2）中图象可得：
①当时，方程无解；
②当或时，方程有两解；
③当时，方程有3个解；
④当时，方程有4个解．
22．（），，偶函数．
（）见解析
【解析】
【分析】
将点和代入求出，的值，然后求出的表达式判定奇偶性
设，判断的符号来判定函数单调性
【详解】
（）过和，
则，．
，，
解得或，又，
∴，，
，
，，
∴是偶函数．
（）设时，
．
∴在上是增函数．
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性和单调性，主要还是运用函数奇偶性和单调性的定义来求解，注意在证明单调性是的步骤：一设二作差，三化简四定号，五给结论
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