河北省沧州市高一下学期开学测试数学试题（word版含解析）

河北省沧州市高一下学期开学测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数若，则=
A． B． C． D．
2．已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于直线对称 C．关于轴对称 D．关于轴对称
5．已知，是方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．等于（ ）
A． B． C．4 D．
7．“”是“” 的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1A． B． C．A=B D．A∩B=Æ
二、多选题
9．欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．复数对应的点位于第三象限 B．为纯虚数
C．复数的模长等于 D．的共轭复数为
10．已知函数，给出以下四个结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．的最小值为2
C．当取到最小值时对应的 D．在单调递增，在单调递减
11．已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中正确的是（ ）
A．函数图象的对称轴方程为
B．函数的最大值为
C．函数的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线l：平行
D．方程的两个不同的解分别为，，则最小值为
12．取整函数：不超过的最大整数，如，取整函数在现实生活中有着广泛的应用，如停车收费、出租车收费等等都是按照“取整函数”进行计费的，以下关于“取整函数”的性质是真命题有（ ）
A． B．
C．则 D．
三、填空题
13．已知, 则的取值范围是________.
14．设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则，，的大小顺序是______．（用“>”连接）
15．若任意，就称A是“和谐”集合，则在集合的所有非空子集中，“和谐”集合的概率是_______.
16．设为坐标原点,若直线:与曲线:相交于 点,则扇形的面积为______.
四、解答题
17．化简下列各式：
（1）；（2）.
18．求值：（1）；（2）；（3）.
19．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻 水深/米 时刻 水深/米 时刻 水深/米
0：00 4.25 9：00 1.75 18：00 4.25
3：00 6.75 12：00 4.25 21：00 1.75
6：00 4.25 15：00 6.75 24：00 4.25
（1）设港口在时刻的水深为米，现给出两个函数模型：和.请你从两个模型中选择更为合适的函数模型来建立这个港口的水深与时间的函数关系式（直接选择模型，无需说明理由）；并求出时，港口的水深.
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口，何时应离开港口？一天内货船可以在港口呆多长时间？
20．已知p：实数x满足，其中，q：实数x满足．
（1）若，则p是q的什么条件？
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
21．已知函数．
（1）若函数的定义域为，求实数、的值；
（2）若的单调递增区间为，求实数的取值范围．
22．已知，
（1）求的值；
（2）求的值.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．A
【解析】
【详解】
试题分析：因为所以，选A．
考点：定积分
2．D
【解析】
【分析】
先利用诱导公式对要求解的式子进行化简，然后结合已知条件，求解出的值，继而求解出，带入化简后的式子即可完成求解.
【详解】
由已知，
因为角的终边与单位圆交于点，所以，
所以，
故选：D.
3．A
【解析】
【分析】
利用指数函数和幂函数的单调性即可判断出a,b,c的大小关系.
【详解】
,,,
幂函数f(x)=在上单调递增，则，
指数函数g(x)=在上单调递增，则，
可得a故选A
【点睛】
本题考查由指数函数和幂函数的单调性判断大小问题，属于基础题.
4．D
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，由此判断出函数图像的对称性.
【详解】
由于，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，故选D.
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性的判断，考查偶函数图像的对称性，属于基础题.
5．B
【解析】
【分析】
利用韦达定理得到，，由同角三角函数平方关系可构造方程求得，由的范围求得的范围，由此可得的取值.
【详解】
由题意得：，
，
即，解得：；
，，即，
，.
故选：B.
6．A
【解析】
【分析】
由题易得，然后按照两角和差的正切公式分别展开计算即可得解.
【详解】
.
故选：A.
7．A
【解析】
【详解】
因为，所以 ，所以“”是“” 的充要条件，选A.
8．B
【解析】
【详解】
集合，又，所以B是A的真子集，选B.
9．BC
【解析】
【分析】
本题首先可根据、判断出A错误，然后根据判断出B正确，再然后根据以及复数的模长计算公式判断出C正确，最后根据的共轭复数为判断出D错误.
【详解】
A项：由题可知，，
因为，，所以复数对应的点位于第二象限，A错误；
B项：，则为纯虚数，B正确；
C项：，
则复数的模长为：
，C正确；
D项：，共轭复数为，D错误，
故选：BC.
【点睛】
关键点点睛：本题考查主要复数的相关性质，考查复数所对应的点所在象限的判断，考查复数的模以及共轭复数，考查同角三角函数关系的应用，考查计算能力，是中档题.
10．ABC
【解析】
利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；利用函数单调性的定义结合偶函数的性质可判断D选项的正误；利用函数的单调性可判断B、C选项的正误.
【详解】
对于A选项，函数的定义域为，
，函数为偶函数，A选项正确；
对于D选项，任取、，且，即，
则，
，则，，，，，
所以，函数在区间上为增函数，由于该函数为偶函数，则函数在上为减函数，D选项错误；
对于B、C选项，函数在区间上为增函数，在上为减函数，
当时，函数取得最小值，即，B、C选项均正确.
故选：ABC.
【点睛】
方法点睛：对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义（基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论）求解；②可导函数则可以利用导数解之．
11．ABD
【解析】
由题意可得，由函数的图象与性质可得函数的对称轴方程为，函数取得最大值，由导数的几何意义可得使得在P点处的切线与直线l：平行，，解得，由方程解得最小值为，从而可得正确答案.
【详解】
根据函数的图象知，
，，
，，
根据五点法画图知，当时，，，
，
，
；
令，，
解得，，
函数的对称轴方程为，，A正确；
当，时，函数取得最大值，B正确；
，
假设函数的图象上存在点，
使得在P点处的切线与直线l：平行，则，
解得，显然不成立，所以假设错误，即C错误；
方程，则，
，，或，，
方程的两个不同的解分别为，，
则，其最小值为，故D正确.
故选：ABD．
【点睛】
本题考查了三角函数的图象与性质，考查了导数的几何意义，考查了辅助角公式的应用，属于中档题.
12．BC
【解析】
【分析】
根据取整函数的定义，ABD举列判断，C根据定义给予证明．
【详解】
时，，但，A错；
时，，B正确；
设，则，，∴，C正确；
，则，但，D错．
故选：BC．
【点睛】
本题考查含有一个量词的命题的真假判断，考查新定义函数取整函数，对于全称命题与存在命题的真假判断，要根据量词进行判断是进行证明还是可举例判断．
13．
【解析】
【详解】
由得,解得,且,由于的对称轴为,故所求函数在区间上递增,当时,最小值为;当时,最大值为,故取值范围是.
14．
【解析】
【分析】
利用函数的单调性可得，再利用奇偶性可得答案.
【详解】
因为在上是增函数，且，
所以，
又因为函数是偶函数，
所以，，
所以，
即
故答案为：
15．
【解析】
【详解】
试题分析：本题是一个新定义的题，可以先求出集合的所有子集的个数，再求出其中“和谐”集合的个数，从而解出“和谐”集合的概率，选出正确选项．解：由题意知集合的非空子集有28-1=255个，由定义任意x∈A，则就称A是“和谐”集合，知此类集合中的元素两两成对，互为倒数，观察集合M，互为倒数的数有两对，包括两个倒数是自身的数1与-1，可将这些数看作是四个元素，由于包括四个元素的集合的非空子集是24-1=15，故“和谐”集合的概率是故答案为
考点：等可能事件的概率
点评：本题考查等可能事件的概率，解题的关键是理解所给的定义及集合的子集的个数计算方法，求出集合的子集的个数与和谐集合的个数，由概率公式求出概率，本题考查了理解能力及推理判断的能力
16．
【解析】
【分析】
通过曲线方程确定曲线为单位圆在x轴上方的部分（含与x轴交点），时，，代入扇形面积公式即可求解.
【详解】
由曲线:,得,
∴曲线:表示单位圆在轴上方的部分(含于轴的交点)
时,,扇形的面积为.
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，数形结合，属于中档题.
17．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据指数幂的运算法则计算即可；
（2）根据指数幂的运算法则计算即可.
【详解】
解：（1）原式.
（2）原式.
【点睛】
本题考查了指数幂的运算法则，考查了数学运算能力，把8，27写成幂的形式是解题的关键.
18．（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）利用换底公式，以及，化简求值；（2）利用换底公式，化简求值；（3）法一，将底数化成3，再利用指对恒等式化简求值；法二，将指数和对数的底数都换成9，再化简求值.
【详解】
（1）
；
（2）；
（3）法一：
法二：.
19．（1）选择函数模型更适合. 水深为3米 （2）货船可以在1时进入港口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港.一天内货船可以在港口呆的时间为8小时.
【解析】
（1）观察表格中水深的变化具有周期性，则选择函数模型更适合，由表格数据得出的值，将代入解析式求解即可；
（2）由题意时，船可以进港，解不等式，得出的范围，由的范围即可确定进港，出港，一天内在港口呆的时间.
【详解】
解：（1）选择函数模型更适合
因为港口在0：00时刻的水深为4.25米，结合数据和图象可知
因为，所以，
所以，
因为时，，代入上式得，因为，所以，
所以.
当时，，
所以在时，港口的水深为3米
（2）因为货船需要的安全水深是米，
所以时，船可以进港，
令，则，
因为，解得或，
所以货船可以在1时进入港口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港.
因为，一天内货船可以在港口呆的时间为8小时.
【点睛】
本题主要考查了三角函数在生活中的应用，属于中档题.
20．（1）必要不充分条件 （2）
【解析】
（1）当时，p，q均确定，直接判断即可。（2）通过若q是p的充分不必要条件，用不等式表示集合间的包含关系，再解不等式.
【详解】
（1）因为，所以当时，，因为
所以p是q的必要不充分条件．
（2）由q是p的充分不必要条件可知，，
因此
所以或
即，
所以实数a的取值范围是．
【点睛】
此题考查充分条件和必要条件的基本性质，属于基础题.
21．（1），；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由一元二次不等式解集与对应方程的根的关系，结合韦达定理即可求、的值；
（2）根据对数型复合函数的单调区间，结合二次函数的性质列不等式组，求的取值范围．
【详解】
（1）由题意，不等式的解集是，
∴2、3是方程的两实根，
∴，，即，．
（2）设，由的单调递增区间为，
∴的递增区间为且恒为正数，
∴，
∴且，
∴．
22．（1）； （2）.
【解析】
（1）由，得到，化简为齐次式，即可求解；
（2）由三角函数的基本关系式，联立方程组，求得的值，再结合三角函数的基本关系式，化简得到，代入即可求解.
【详解】
（1）由题意，因为，可得，
又由
.
（2）联立方程组 ，可得，
又由（1）知，
可得.
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，以及化简为“齐次式”求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
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