河北省石家庄高一下学期开学考试数学试题（word版含解析）

河北省石家庄高一下学期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．设，，则
A． B．
C． D．
3．已知函数的图象如下图所示，则该函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
4．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
6．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有只，兔有只，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则是
A．奇函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是增函数
C．奇函数，且在上是减函数 D．偶函数，且在上是减函数
二、多选题
9．下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．（x，y，）
10．下列说法正确的有（ ）
A．命题的否定为
B．若，则
C．若，则
D．当时，的最小值是
11．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标变为原来的2倍；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
12．下列各式中，值为的是
A． B． C．
D． E．
三、填空题
13．已知函数在上单调，其图象经过点，且有一条对称轴为直线，则的最大值是_______.
14．英国物理学家和数学家艾萨克·牛顿（Isaac newton，1643-1727年）曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型.现把一杯温水放在空气中冷却，假设这杯水从开始冷却，x分钟后物体的温度满足：（其中…为自然对数的底数）.则从开始冷却，经过5分钟时间这杯水的温度是________（单位：℃）.
15．已知函数，若对任意的，，均有，则实数的取值范围是__________．
16．已知，且，则_________.
四、解答题
17．已知，
（1）求；
（2）若，求.
18．已知中，角的对边分别为，且的面积，
（1）求的取值范围；
（2）求函数的最值.
19．已知定义域为实数集的函数
（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明.
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数
（1）求证：在上是增函数；
（2）设函数存在反函数，且是奇函数，若方程有实数根，求实数的取值范围.
21．已知函数.
（1）求的值；
（2）求的最小值，并写出取最小值时自变量的集合.
22．已知函数，.
（1）若存在使，求实数的取值范围；
（2）设，且在上单调递增，求实数的取值范围.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
利用诱导公式、二倍角公式求得正确选项.
【详解】
由，得，则.
故选:B
2．D
【解析】
容易看出，，从而可得出a，b的大小关系．
【详解】
0＝log31＜log3e＜log33＝1，；
∴a＜1＜b
故选D．
【点睛】
考查对数函数单调性的应用，对数的运算，属于基础题．
3．C
【解析】
【详解】
试题分析：观察知A=2，过（0，1）排除B，D，再代入点（，0）得答案C．
考点：三角函数的图像与性质．
4．A
【解析】
【详解】
试题分析：，充分性成立；，必要性不成立，选A.
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p q”为真，则p是q的充分条件．
2．等价法：利用p q与非q 非p，q p与非p 非q，p q与非q 非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
5．C
【解析】
利用特殊角的三角函数值，求出点的坐标，再利用三角函数定义求出答案即可.
【详解】
利用三角函数定义知，
故选：C
6．A
【解析】
本题可依次根据上有三十五头、下有九十四足列出方程，然后两者联立，即可得出结果.
【详解】
设鸡有只，兔有只
根据上有三十五头，可得，
下有九十四足，则，
即，
故选：A.
7．B
【解析】
【分析】
解一元二次不等式及绝对值不等式，对两个集合进行化简，进而可求出交集.
【详解】
解：解得，；解得，，
所以，，∴.
故选：B.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合的交集求解.本题的关键是正确求出不等式的解.
8．C
【解析】
【分析】
先判断定义域是否关于原点对称，进而利用可得函数为奇函数，再由指数函数的单调性可判断函数的单调性.
【详解】
定义域为R，关于原点对称，
，有，
所以是奇函数，
函数，显然是减函数.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.
9．BC
【解析】
【分析】
由根式和幂的运算法则、对数的运算法则判断．
【详解】
解析：对于A，因为，所以，故A错；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错．
故选：BC．
10．BC
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题可判断A，利用不等式的性质可判断BC，利用基本不等式可判断D.
【详解】
对于A，命题的否定为，故A错误；
对于B，由，可知，所以，即，故B正确；
对于C，由，可知，所以，故C正确；
对于D，当时，，，当且仅当，，取等号，故D错误.
故选：BC.
11．ABD
【解析】
【分析】
先化简，再利用变换得到的图象，然后由，得到且，均为函数的最大值求解.
【详解】
函数，
变换后得函数的图象，易知函数的值域为．
因为，
所以且，均为函数的最大值，
所以的值为函数的最小正周期的整数倍，且．
故选：ABD
12．ACE
【解析】
利用二倍角的正弦、余弦、正切公式对五个选项进行化简求值，所得结果是的选项即为正确选项.
【详解】
A符合，原式；
B不符合，原式；
C符合，原式；
D不符合，原式；
E符合，原式．
故选：ACE．
【点睛】
本题主要考查的是二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用，要求熟练掌握并灵活运用这些公式，考查学生的计算能力.
13．5
【解析】
根据函数图象经过点和对称轴直线，得到的取值范围，再根据在，上单调可求得答案.
【详解】
因为函数图象经过点，所以，得，①
因为是一条对称轴，，得，②
①-②得，，即，由于，
所以，因为函数在上单调，
所以，所以，则的最大值为5，
故答案为：5.
【点睛】
本题考查三角函数的对称性、周期等性质，需要学生有较好的理解力和计算能力.
14．45
【解析】
【分析】
直接利用对数的运算性质计算即可,
【详解】
.
故答案为：45.
【点睛】
本题考查对数的运算性质，考查计算能力，属于基础题.
15．
【解析】
对任意的x1，x2∈R，均有f（x1）≤g（x2）可化为f（x）max≤g（x）min，由题意及基本不等式可知g（x）min；再分段讨论确定函数f（x）可能的最大值，从而可得，从而解得实数k的取值范围.
【详解】
若对任意的，,均有，
则f（x）max≤g（x）min，
由于，
∵，
当，，
当，，
∴无论，最小值，
原不等式不可能成立，
∴可得，，
当x=0，
当，
∴g（x）min，
∵为减函数
当x>1时, .
当 2∴，
解得
∴实数k的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查分段函数的应用，考查知识点有函数的最值、不等式恒成立求参数范围，综合性强，属于较难题.
16．
【解析】
先对平方得，再根据平方关系得，结合范围解得，即得，最后根据商数关系得结果.
【详解】
【点睛】
本题考查同角三角函数平方关系与商数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
17．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）两边平方可得，根据同角公式可得，；
（2）根据两角和的正切公式，计算可得结果.
【详解】
（1）因为，
所以，即.
因为，所以，所以，
故.
（2）因为，所以，
所以.
【点睛】
本题考查了两角同角公式，二倍角正弦公式，两角和的正切公式，属于基础题.
18．(1)；(2)无最小值，时取得最大值为
【解析】
【分析】
（1）由三角形面积公式结合题中条件可求出的范围，进而可求出结果；
（2）先化简，再根据（1）的结果，结合正弦函数的性质即可求出结果.
【详解】
解：（1）由三角形面积公式可得，又
则，
；
(2)由题意，
无最小值，时取得最大值为.
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.
19．（1）单调递减，证明见解析；（2）.
【解析】
（1）先化简，判断其为减函数，再按照取值、作差、变形、定号、下结论的步骤证明即可；
（2）原不等式等价于，利用单调性脱掉可得对于一切恒成立，整理为二次函数利用即可求解.
【详解】
（1），在上为减函数
证明：设，且，
所以
由于在上单增，所以
所以，
所以在上单调递减.
（2）恒成立，
在上为减函数，
所以对于一切恒成立，
即对于一切有恒成立，
由，解得.
故实数的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤：
1.取值：任取，，规定；
2.作差：计算；
3.定号：确定的正负；
4.得出结论：根据同增异减得出结论.
20．(1)证明见解析；(2).
【解析】
【分析】
(1)对函数求导，证明导函数在定义域上大于零，即可得函数在定义域上为增函数；
(2)先由奇函数的条件求出参数，然后求出反函数，由方程分离参数，利用基本不等式即可求出实数的取值范围.
【详解】
(1)证明：由，可得在上恒成立，则可得在上是增函数；
(2)由函数在定义域R上是奇函数，得解得，则，可得反函数()，又因有实数根，可得在上有实数根，化简得，因为，所以，则由，当且仅当即时取等号，所以实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查了利用导数证明函数单调性的方法，当然证明函数单调性还可以运用定义法证明，考查了反函数的求解，函数与方程的综合应用，考查了运用基本不等式求范围，属于中档题.
21．（1）；（2）的最小值为，此时
【解析】
【分析】
由已知可得，（1）将代入即可；（2）根据正弦函数的性质求解即可.
【详解】
解：由已知得，
（1）；
（2）由得的最小值为，
此时，即，
则取最小值时自变量的集合为.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变形及三角函数的性质，是基础题.
22．（1）；（2）.
【解析】
（1）由题意可得，，所以，即可求解；
（2），然后讨论时满足对称轴为，当时，讨论对称轴与区间的关系，，显然不成立，所以有或解不等式，最后求并集即可.
【详解】
（1），，
即，，
所以判别式，
解得：或.
故实数的取值范围为.
（2），对称轴为，
在上单调递增，
当
①当，即时，
则有解得：
②当，即或时，
设方程的根为，.
若，则，即解得：
若，则，即解得：
若，不符合题意，
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】
结论点睛：一元二次不等式恒成立求参数
（1）对于对于恒成立，等价于 ，
（2）对于对于恒成立，等价于 .
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