湖南省长沙市高一下学期入学考试数学试题（word版含解析）

湖南省长沙市高一下学期入学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数（且）．若函数的图象上有且只有两个点关于原点对称，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．若集合，则
A． B．
C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．给出下列命题：①2021年9月10日是教师节，也是中秋节；②9的整数倍一定是3的整数倍；③的解是.其中真命题的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．sin(－315°)的值是
A．－ B．－ C． D．
6．已知向量，向量，则向量在方向上的投影向量的模为（ ）
A．1 B． C． D．
7．函数f(x)＝1＋ln的图象大致是(　　)
A． B． C． D．
8．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期.现有一杯的热茶，放置在的房间中，如果热茶降温到，需要10分钟，则欲降温到，大约需要（ ）分钟.（参考数据，）
A．16分钟 B．20分钟
C．24分钟 D．26分钟
二、多选题
9．如图，在长方体中，,分别为棱的中点，则下列说法中正确的有（ ）
A．DB1⊥CE
B．直线与为相交直线
C．若P是棱C1D1上一点，且D1P=1，则E、C、P、F四点共面
D．平面CEF截该长方体所得的截面可能为六边形
10．已知a，b为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为4
C．的最小值为 D．的最大值为
11．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象关于对称
12．已知函数定义域为，，且时，，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递减
D．若，则
三、填空题
13．已知函数f（x）=（2m2+m）xm是定义在[0，+∞）上的幂函数，则f（4x+5）≥f（x）的解集为____________．
14．在中，，，，，则_______.
15．已知，则=_____________.
16．已知函数y＝f(n)，满足f(1)＝2，且f(n+1)＝3f(n),n∈N+ .则f(3)＝____________.
四、解答题
17．说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果可以，说出其中涉及的充分条件或必要条件：
（1）形如（是非零常数）的函数是二次函数；
（2）菱形的对角线互相垂直.
18．某商品在近30天内，每件销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是：，该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是（，），求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的是30天中的哪一天？
19．已知函数，且的解集为.
（1）求函数的解析式；
（2）解关于的不等式；
（3）设，若对于任意的都有，求的最小值.
20．已知角终边上有一点，且.
(1)求m的值，并求与的值.
(2)化简并求的值.
21．设函数定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的区间.
（1）判断是否是函数的区间；
（2）若是函数（其中，）的区间，求的取值范围.
22．已知是圆O的一条直径，且，C，D是直径同侧的半圆弧上两个三等分点，其中C是靠近A的三等分点．
（1）求的值；
（2）求的值．
试卷第页，共页
试卷第页，共页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据原点对称的性质，求出当时函数关于原点对称的函数，条件转化为函数与只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合的方法，再结合对数函数的性质进行求解即可
【详解】
当时，函数关于原点对称的函数为，即，若函数的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价于函数与只有一个交点，作出两个函数的图象如图：
若时，与函数有唯一的交点，满足条件；
当时，
若时，要使与函数有唯一的交点，
则要满足，即，
解得故；
综上的取值范围是
故选：C
2．A
【解析】
【详解】
试题分析：.，解得，所以.
考点：对数不等式，集合交集.
3．B
【解析】
【分析】
依题意可得，，，进而可得结果.
【详解】
因为，所以．
故选：B.
4．C
【解析】
【分析】
一一判断各命题的真假即可得解；
【详解】
解：①2021年9月10日是教师节，不是中秋节，故①错误；
②因为是的倍数，所以9的整数倍一定是3的整数倍，故②正确；
③的解是，故③正确.
故真命题有②③共2个；
故选：C
5．C
【解析】
【分析】
根据终边相同的角同名三角函数值相等转化后求解即可.
【详解】
因为－315°＝－360°＋45°
所以sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin45°＝，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了终边相同的角的三角函数，属于容易题.
6．A
【解析】
【分析】
直接根据在方向上的投影的计算公式求出，即可求出投影向量，从而求出向量的模即可求解．
【详解】
解：，所以，
在方向上的投影为，所以在方向上的投影向量为，其模为
故选：．
7．D
【解析】
【详解】
函数定义域为 排除B，又函数为偶函数，排除C，当时排除A，故选D.
8．D
【解析】
【分析】
根据已知条件求出，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即可求出结果.
【详解】
根据题意可得，解得，
所以，即，所以，
故,
故大约需要26分钟，
故选：D.
9．BC
【解析】
【分析】
结合三垂线定理即可判定A不正确；证明四边形为梯形，可判定B正确；取的中点，连接，通过证明，即可判定C正确；确定截面共有五边形，可判定D正确.
【详解】
由题意，在正方体中，因为平面，
所以在平面内射影为，
在长方形中，因为，可得与不垂直，
结合三垂线定理可得与不垂直，所以A错误；
因为且，可得四边形为梯形，
所以与必相交，所以B正确；
点是棱上一点，且，取的中点，连接，
因为分别是和的中点，所以，
由四边形为平行四边形，所以，所以四点共面，所以C正确；
由选项C可知，为截面的边，截面又与平面及相交，
可得截面的两条边，所以截面共有五边形，所以D错误.
故选：BC.
10．AD
【解析】
【分析】
根据基本不等式进行和积互化，逐项分析判断即可得解.
【详解】
A：由，令，即，
∴，∴，
∴，当时，等号成立，A正确；
选项B：由，∴，则，
∴，
当，即时等号成立，的最小值为5，B不正确；
选项C：，
当，即时，等号成立，
的最小值为，C不正确；
选项D：，
当，即时等号成立，D正确.
故选：AD
11．AD
【解析】
【分析】
首先根据同角三角函数关系式，二倍角公式和辅助角公式对函数的解析式进行化简，然后利用函数的性质逐个判断选项即可.
【详解】
，
因为，函数的最小正周期是，选项A正确；
由，得，所以区间不是函数的单调递增区间，选项B错误；
由，得，所以点不是函数的对称中心，选项C错误；
由，得，当时，，所以是函数的对称轴，选项D正确.
故选：AD.
12．ABD
【解析】
【分析】
A. 利用赋值法求出，即得解；
B. 利用函数的单调性证明函数在上单调递增；
C. 因为选项B正确，所以选项C错误；
D. 等价于不等式，解不等式组即得解.
【详解】
解：因为且，
则，
所以，
故选项A正确；
当时，，则，
设，
则，则，
又，
则，
所以，
则在上为增函数，
故选项B正确，选项C错误；
不等式，即，
又在上为增函数，
则，解得，
所以若，则
故选项D正确．
故选：ABD
13．
【解析】
【分析】
先根据幂函数的定义得到2m2+m=1，解得m=–1（舍）或m=，故f（x）=，再解不等式即得解集.
【详解】
由题意得2m2+m=1，解得m=–1（舍）或m=，故f（x）=，f（4x+5）≥f（x），即，解得x≥0，故答案为．
【点睛】
(1) 本题主要考查幂函数的概念和解析式的求法，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 幂函数在是增函数，，幂函数在是减函数，且以两条坐标轴为渐近线．(3)解答本题不要漏掉了
14．2
【解析】
【分析】
根据向量加法的三角形法则表示出，，再代入数量积即可求解.
【详解】
，
，
，
设，则，
解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了平面向量加法的三角形法则，以及数量积的运算问题，是基础题.
15．
【解析】
【分析】
由条件利用两角和的正切公式求得，利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系化简要求的式子为，运算求得结果
【详解】
，
，
故答案为
【点睛】
本题主要考查了两角和的正切公式，二倍角公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
16．18
【解析】
【分析】
根据递推关系式依次求f(2) ，f(3).
【详解】
因为f(n+1)＝3f(n)，所以
【点睛】
本题考查根据递推关系求函数值，考查基本求解能力.
17．（1）见详解；（2）见详解.
【解析】
根据命题的形式，以及充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
【详解】
（1）根据命题的形式，可得这是一个判断二次函数的命题，所以可以看成一个判定定理；由“形如（是非零常数）的函数”能推出“这个函数是二次函数”，可得：“形如（是非零常数）的函数”是“这个函数是二次函数”的充分条件；“这个函数是二次函数”是“形如（是非零常数）的函数”的必要条件；
（2）根据命题的形式，可得这是一个关于菱形性质的命题，所以可以看成一个性质定理；这可以看成菱形的一个性质定理，由“四边形是菱形”能推出“四边形对角线互相垂直”，因此“四边形是菱形”是“四边形对角线互相垂直”的充分条件；“四边形对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件.
【点睛】
本题主要考查充分条件与必要条件的判断，熟记概念即可，属于基础题型.
18．第25天日销售金额最大，最大值为2625元
【解析】
【分析】
先化简函数解析式，再求出各段的最大值，比较得出函数的最大值．
【详解】
设日销售金额为元，则
，
即，
当时，f(t)=，时有最大值1600
当时，是减函数，时有最大值2625
综上所述，时有最大值2625，
所以，第25天日销售金额最大，最大值为2625元
【点睛】
本题主要考查分段函数的最值，属于基础题．
19．（1）；（2）答案见解析；（3）最小值为.
【解析】
【分析】
（1）由的解集端点与对应一元二次方程根的关系，应用根与系数关系求，写出函数解析式；
（2）由（1），题设不等式可化为，讨论、、分别求得它们的解集；
（3）由题意知：在上的值域为，要使只需，进而可求的最小值.
【详解】
（1）由的解集为知：为方程的两个根，
∴，，即；
（2），化简有，整理得，
∴当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
（3）∵时，，
∴根据二次函数的图像性质，有，
∴，
∵对于都有，即求，转化为，而，，
∴，即的最小值为.
【点睛】
关键点点睛：
（1）根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系，结合韦达定理求参数，写出函数解析式；
（2）分类讨论m的取值范围，从而确定不等式的解集；
（3）根据结论：要使在上恒成立，只需保证在该区间上即可，进而求参数最值.
20．(1)，，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数的定义可求，即得；
（2）利用诱导公式及条件即得.
(1)
由题意可得，解得，
当时，则，，
当时，则，.
(2)
原式.
21．(1)不是；(2).
【解析】
（1）由对数型函数的值域可以进行判断；
（2）根据，得对数方程，求解即可得范围.
【详解】
（1）因为，则，故任取，则
，根据题意，区间不是函数的区间.
（2）根据题意，若是函数的区间，则：
存在，使得：，整理得：；
因为，故，即，
解得：.
【点睛】
本题属于函数与新定义问题的综合，考查了指数型函数的值域，与对数方程的求解，属综合基础题.
22．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题得，再利用向量模的公式求解；
（2）如图，连接求出，再利用平面向量的数量积公式得解.
【详解】
（1）由题得，
∴
∴
（2）如图，连接
由题得．
∴.
【点睛】
方法点睛：求平面向量的模和数量积常用的方法有：（1）坐标法（建立坐标系，再利用模和数量积的坐标公式求解）；（2）非坐标法（直接利用向量的模和数量积的非坐标公式求解）.要根据已知条件，灵活选择方法求解.
试卷第页，共页
试卷第页，共页