山西省运城市高一下学期开学摸底数学试题（word版含解析）

山西省运城市高一下学期开学摸底数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数，给出下列四个命题：
①在定义域内是减函数；
②是非奇非偶函数；
③的图象关于直线对称；
④是偶函数且有唯一一个零点.
其中真命题有（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
2．已知集合，则（ ）
A．A∩B＝{x|﹣2＜x＜1} B．A∩B＝{x|1＜x＜2}
C．A∪B＝{x|x＞﹣2} D．A∪B＝{x|x＜1}
3．设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知中，，，，则
A． B．8 C． D．4
5．下列叙述正确的是（ ）
A．函数的最小值是
B．“0＜m≤4”是“mx2+mx+1≥0”的充要条件
C．若命题p： x∈R，x2﹣x+1≠0，则
D．“已知x，y∈R，若xy＜1，则x，y都不大于1”的逆否命题是真命题
6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则（ ）.
A． B．
C． D．
7．，，且，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
8．一金字塔位于某人的正东方向上，某人在点A测得金字塔顶端C的仰角为，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端C的仰角为，则金字塔的高度为（ ）米．（忽略人的身高）
A． B． C．40 D．
二、多选题
9．下列函数周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．直线y＝ax＋可能是（ ）
A． B． C． D．
11．已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．在上为减函数
C．为的最大值 D．
12．对于，下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．若，，则的最小值为______.
14．已知函数有唯一零点，则a的值为________．
15．函数的图象关于直线对称，它的最小正周期是，则下列说法正确的是______.（填序号）
①的图象过点
②在上是减函数
③的一个对称中心是
④将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
16．若，则__________.
四、解答题
17．已知x满足不等式，求函数的最大值.
18．已知，．
（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若“非”是“非”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19．（2007 江西）已知函数f（x）=满足f（c2）=．
（1）求常数c的值；
（2）解不等式f（x）＞．
20．设满足满足.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
21．函数是定义在上的偶函数，当时， .
（1）求函数的解析式；
（2）作出函数的图像，并写出函数的单调递增区间；
（3）求在区间上的值域.
22．已知函数f（x）＝2sinx（sinx+cosx），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期T和最大值M；
（2）若，求cosα的值．
试卷第页，共页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
利用复合函数单调性的求法判断单调性，判断是否成立即可判断的奇偶性，应用特殊值求出、，反证法判断图象是否关于直线对称，利用的性质即可确定零点的个数.
【详解】
函数可看成函数与函数的复合函数，
①函数在上是增函数，函数在上是减函数，故在定义域内是减函数，真命题；
②，且，故是奇函数，假命题；
③，，若，则，假命题；
④是奇函数，则是偶函数，且当时，在上是增函数，故，函数有唯一一个零点0，真命题.
故选：D.
2．C
【解析】
计算到A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x＞﹣1}，再计算交集并集得到答案.
【详解】
∵A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x＞﹣1}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}，A∪B＝{x|x＞﹣2}.
故选：C.
【点睛】
本题考查了集合的交集并集计算，意在考查学生的计算能力.
3．C
【解析】
【分析】
根据指数函数与幂函数的单调性判断的大小关系.
【详解】
因为函数在上是增函数，所以，即，又因为函数在上是增函数，所以，所以，故.
故选：C
4．B
【解析】
先根据同角三角函数关系得，再根据正弦定理求结果.
【详解】
因为，所以.
在中，由正弦定理，可得，故，解得.
故选：B
【点睛】
本题考查同角三角函数关系以及正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．C
【解析】
对于A，利用基本不等式时取不到等号，所以的最小值不是，对于B，举反例判断即可；对于C，全称命题否为特称命题；对于D，举反例判断即可
【详解】
解：对于A， ，而的等号不成立，所以A错；
对于B，当m＝0时，mx2+mx+1≥0也成立，所以B错；
对于C，命题p： x∈R，x2﹣x+1≠0，则，所以C正确
对于D，当时，xy＜1也成立，所以D错；
故选：C.
6．C
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性可知，然后比较，，大小关系，利用函数的单调性可得结果.
【详解】
由题可知：函数是定义在上的偶函数
所以，
又，，所以
又函数在上单调递减，所以
故选：C
【点睛】
本题考查根据函数的单调性比较式子大小，考查观察能力以及判断能力，属基础题.
7．D
【解析】
【分析】
构造函数，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项.
【详解】
构造形式，则，时导函数，单调递增；时导函数，单调递减．又 为偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D.
【点睛】
本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题.
8．A
【解析】
【分析】
利用CD表示出AD，BD，由AD﹣BD＝80，即可求得CD长．
【详解】
解：设CD＝x，
在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AD＝CDtan60°x，
在Rt△CDB中，∵∠CBD＝60°，∴BD＝CDtan30°x，
∵AB＝80米，
∵xx＝80，即x＝40米
故选：A．
9．BCD
【解析】
【分析】
利用正余弦、正切函数的周期性及绝对值变换结合图象判定各个函数的周期即可.
【详解】
的最小正周期为；
由的图象是由y=cos x的图象将x轴上方的部分保持不变，下方的部分向上翻转而得到，由图象可知其周期为；
的最小正周期为；
的最小正周期为.
故选：BCD.
10．AB
【解析】
【分析】
分类讨论和时，直线的位置．
【详解】
因为a≠0，所以C错；
当a＞0时，＞0，不过第四象限，故A对；
当a＜0时，＜0，不过第一象限，故D错，B对．
故选：AB
11．BD
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性结合对称轴，可判断函数的性质，从而可判断A,B的对错；因为定义域内x=-1时的值不确定，故可判断C;根据函数的对称轴以及单调性，可判断D的对错.
【详解】
因为为偶函数，且函数在上为增函数,
所以的图象关于直线对称，且在上为减函数,
所以A不正确，B正确；
因为在上为增函数，在上为减函数,但没有明确函数是否连续，不能确定的值，所以C不正确；
因为，，
又在上为增函数，
所以，即，所以D正确．
故选：BD．
12．CD
【解析】
【分析】
选项作差法可得，选项由基本不等式可得．
【详解】
解：
选项，作差可得，当且仅当时取等号，故错误．
选项，由基本不等式可得，变形可得，当且仅当时取等号，故错误；
选项，由基本不等式可得，平方可得，当且仅当时取等号，
故正确；
选项，，当且仅当时取等号，故正确；
故选：．
13．7
【解析】
根据题中条件，由，结合基本不等式，即可求出结果.
【详解】
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：7.
【点睛】
易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
14．2
【解析】
【分析】
通过计算可得函数关于对称，则必有，进而可得a的值.
【详解】
解：
，
函数关于对称，
若函数有唯一零点，
则该零点必为2，即，
解得，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查函数的对称性和函数零点个数的关系，轴对称函数如果与轴只有一个交点，则该交点必在对称轴上，本题难度不大.
15．①③.
【解析】
【分析】
先根据对称轴及最小正周期,求得函数的解析式.再结合正弦函数的图象与性质,判断点是否在函数图象上,求得函数的单调区间及对称中心判断选项,由平移变换求得变化后的解析式并对比即可.
【详解】
函数的最小正周期是
所以
则
图象关于直线对称,
对称轴为,代入可得
解得
因为
所以当时,
则
对于①,当时,,的图象过点,所以①正确;
对于②,的单调递减区间为
解得,因为,则在上不是减函数,所以②错误;
对于③,的对称中心为,解得,当时,,所以是的一个对称中心,所以③正确;
对于④,将向右平移个单位长度,可得,所以不能得到的图象,所以④错误.
综上可知,正确的为①③.
故答案为: ①③.
【点睛】
本题考查了三角函数解析式的求法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题.
16．
【解析】
【详解】
由正弦函数的倍角公式和三角函数的基本关系式，
得，
又因为，则，即.
17．2
【解析】
【分析】
由已知条件先解不等式,求出的取值范围,然后化简函数,求出函数的最大值.
【详解】
由
得,则,
即,
.
又
令.
则,
,.
【点睛】
本题考查了对数函数不等式和求函数最值问题,在解答过程中需要运用对数函数的单调性和对数运算性质来进行化简,较为综合,在求最值时的方法可以转化为一元二次函数来求解.
18．（1）（2）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）先根据一元二次不等式解法得，，再根据是的充分不必要条件，得解集是解集真子集，得，解得（2）利用原命题与逆否命题等价得：是的充分不必要条件．即解集是解集的真子集，即解得
试题解析：，．
（1）∵是的充分不必要条件，∴是的真子集．
∴∴，∴实数的取值范围为．
（2）∵“非”是“非”的充分不必要条件，
∴是的充分不必要条件．
∴∴．
∴实数的取值范围为．
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p q”为真，则p是q的充分条件．
2．等价法：利用p q与非q 非p，q p与非p 非q，p q与非q 非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
19．（1）c=（2）{x|}
【解析】
【详解】
试题分析：（1）先判定c2的大小，从而断定代入哪一个解析式，建立等量关系，解之即可；
（2）根据分段函数的分类标准进行分类讨论，分别在每一段上求解不等式，注意解集与前提求交集，最后将两种情形求并集即可．
解：（1）依题意0＜c＜1，
∴c2＜c，∵f（c2）=，c=
（2）由（1）得f（x）=
由f（x）＞得
当0＜x＜时，∴
当时，，∴
综上所述：
∴f（x）＞的解集为{x|}
考点：函数与方程的综合运用；不等式．
20．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，，得到成立求解；
（2）由集合，根据是的必要不充分条件，由BA，分，，讨论求解.
(1)
解：当时，由，
得
因为，
所以，
从而
因为，，
所以，故实数的取值范围为.
(2)
设集合，
因为是的必要不充分条件，
所以BA.
当时，满足BA.；
当时，，所以，解得；
当时，，所以，解得.
综上，实数的取值范围为
21．（1） （2）见解析（3）在上单调递增，在上单调递减
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由偶函数可得，将所求区间转化到已知区间，即得解析式（2）画图形时注意渐近线y=-1;根据增减性确定递增区间（3）结合图像确定函数最值，进而得到值域
试题解析：（1）∵是偶函数，∴，
当时， ，∴
∴
（2）图像如图所示，
单调递增区间为.
（3）由（2）知， 在上单调递增，在上单调递减.
点睛：求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.
22．（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）化简可得f（x），可求最小正周期，最大值；
（2）依题意得，即，从而可求，．
【详解】
解：（1）∵f（x）＝sin2x+1﹣cos2x
∴最小正周期，最大值
（2）依题意，
即
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．
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