四川省成都高新区高一入学考试数学试题（word版含解析）

四川省成都高新区高一入学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知奇函数是上的单调函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
2．设集合则（ ）
A． B．(-1，2] C．(-1，2) D．(-1，+∞)
3．函数（　　）
A．是偶函数，在区间上单调递增
B．是奇函数，在区间上单调递增
C．是偶函数，在区间上单调递减
D．是奇函数，在区间上单调递减
4．已知函数,的部分图象如图所示,则
A．3 B． C．1 D．
5．已知函数的图象对称轴方程为直线，则下列关系式正确的是　　
A． B． C． D．
6．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
7．设函数，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是1，2，3，，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，，这四个数据的平均数为1，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．不存在
9．已知函数有两个零点，，则有（）
A． B．
C． D．
10．已知，若，则的值为
A． B． C． D．
11．函数的图象是
A． B．
C． D．
12．已知扇形AOB的周长为8，面积为4，则扇形AOB的半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．点分别是函数、图像上的点，若关于原点对称，则称是一对“关联点”.已知，，则函数、图像上的“关联点”有__________ 对．
14． =______.
15．当且时，函数的图像恒过点，若点在直线上，则的最小值为________．
16．求值：________.
三、解答题
17．已知函数.
（1）若函数在区间上的最大值与最小值之和为，求实数的值；
（2）若，求的值.
18．计算：（）．
（）．
19．已知常数a∈R+，函数f（x）＝x2﹣ax+1
（1）若a＝3，解方程log3f（x）＝1+log3（x﹣）；
（2）设函数g（x）＝[f（x）]．若g（x）在[0，]上单调递减，求a的取值范围；
（3）设集合A＝{x|f（x）＝x+a﹣3，x≥a﹣1}的元素个数为n，求n关于a的函数n（a）在R+的表达式．
20．已知函数，.
(1)若函数的图象与直线没有公共点，求a的取值范围；
(2)若函数，是否存在m，使最小值为.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
21．已知函数，.
（1）若，求函数的单调递减区间；
（2）若把向右平移个单位得到函数，求在区间上的最值.
22．已知函数．
（1）若为奇函数，求；
（2）判断的单调性，并用定义加以证明．
试卷第页，共页
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参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
由奇函数是上的单调函数，可知有两个解，即有两个解，构造函数，通过求导可判断它的单调性，即可判断取什么值时有两个解．
【详解】
由题意，有两个解，
因为是奇函数，所以，故有两个解，
因为是上的单调函数，所以有两个解，
则，构造函数，则，
故在上单调递增，在上单调递减，的最大值为，
当时，，
故时，有两个解，即函数恰有两个零点．
故答案为A.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的单调性，考查了函数的零点，考查了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
2．B
【解析】
由对数型复合函数的定义域、指数的单调性解不等式求集合A、B，应用集合的交补运算求即可.
【详解】
由题意知：，
∴，
故，
故选：B
3．C
【解析】
【分析】
利用奇偶性的定义和对数函数的单调性判断.
【详解】
因为，所以函数是偶函数，
又因为，且在上递增，
所以函数在区间上单调递减，
故选：C
4．A
【解析】
【分析】
由可求得，由可求得，再由可求得，从而可得的解析式，进而可求.
【详解】
，
，代入得，
，
又，，
，
，故选A.
【点睛】
本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.
5．C
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象的开口向上，对称轴为，所以在上递减根据单调性可得．
【详解】
根据二次函数的图象的开口向上，对称轴为，所以在上递减，
，
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质与图象，属基础题．
6．D
【解析】
【分析】
先求出集合A，进而通过交集的定义求得答案.
【详解】
对A，，则，所以.
故选：D.
7．A
【解析】
【分析】
先求出的定义域，再令满足的定义域范围求出的范围即可得的定义域.
【详解】
由即可得
所以的定义域为，
令，可得，所以函数的定义域为，
故选：A．
8．A
【解析】
【分析】
根据是1，2，3，，5，6，7这七个数据的中位数得；1，3，，这四个数据的平均数为1得，再求的最小值．
【详解】
是1，2，3，，5，6，7这七个数据的中位数，则；
1，3，，这四个数据的平均数为1，
，
；
；
，，；
是单调增函数，
的最小值是（3）．
故选：
【点睛】
本题考查了平均数与中位数的应用问题，也考查了函数的单调性与最值问题，是基础题．
9．B
【解析】
【分析】
将函数有两个零点，,转化为: 函数，则与的图象有两个交点,作出图象,根据图像可得: ,由此去绝对值,利用可得.
【详解】
解：因为函数有两个零点，故方程
有两个解，.
设函数，函数，则与的图象有两个交点，
如图所示:
由图象知，，所以,,
所以，，
因为且，所以，得，
，即，
整理得，.
故选B.
【点睛】
本题考查了函数的零点,数形结合思想,指数函数的单调性与对数的运算,属于中档题.
10．C
【解析】
根据同角三角函数的基本关系计算出，再由诱导公式计算可得.
【详解】
解：
，
故选：
【点睛】
本题考查同角三角函的基本关系及诱导公式的应用，属于基础题.
11．C
【解析】
【详解】
函数的定义域为且，
故选C．
12．B
【解析】
【分析】
设扇形的圆心角为，半径为，根据扇形AOB的周长为8，面积为4，列出方程组，即可解得答案.
【详解】
解：设扇形的圆心角为，半径为，
因为扇形AOB的周长为8，面积为4，
则有，解得，
所以扇形AOB的半径是2.
故选：B.
13．2
【解析】
【详解】
令 表示圆心为 ，半径为2 的半圆，，作出这个半圆及其关于原点对称的半圆，在作出函数，由图像可知，满足条件的“关联点”有2 对.
即答案为2.
【点睛】本题主要考查新定义题目，其中正确题意，再利用数形结合的思想是解决本题的关键.
14．
【解析】
【分析】
根据角的周期性，把转化成，再根据是奇函数，将，得到答案.
【详解】
.
【点睛】
本题考查角的周期性，正切函数的奇偶性，特殊角的三角函数值，属于简单题.
15．
【解析】
【详解】
试题分析：由题意知函数过点
所以
所以 的最小值为．
考点：对数函数的图像及其性质；基本不等式 .
16．
【解析】
【分析】
利用诱导公式以及两角差的正切公式直接求解.
【详解】
,
故答案为：.
17．（1）1；（2）.
【解析】
（1）在上为增函数，可得， 即可求出实数的值；
（2）由，可得，利用对数的运算性质即可求解.
【详解】
（1）因为在上为增函数，
所以，即，
解得： (舍去)，或，所以
（2）因为，所以，
所以，即，
所以.
18．（）；（）．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据指数运算法则 ，化简求值（2）根据对数运算法则，化简求值
试题解析：（） ．
（）原式 ．
19．（1）{5}；（2）[]；（3）n（a）＝.
【解析】
（1）由a＝3，将方程转化为：log3（x2﹣3x+1）＝log3（3x﹣4）求解.
（2）根据函数g（x）＝[f（x）]，且g（x）在[0，]上单调递减，转化为f（x）0，且f（x）在x∈[0，]单调递减求解.
（3）因为x＝﹣1不是方程x2﹣ax+1＝x+a﹣3的解,将方程变形为a+3＝x+1+，令t＝x+1∈[a，+∞），则a+3＝t+，再利用对勾函数的性质求解.
【详解】
（1）a＝3时，f（x）＝x2﹣3x+1，
所以方程为：log3（x2﹣3x+1）＝log3[3（x﹣）]＝log3（3x﹣4），
所以，
解得：x＝5或x＝1（舍），
所以方程的解集为{5}．
（2）因为函数g（x）＝[f（x）]．若g（x）在[0，]上单调递减，
所以f（x）0，且f（x）在x∈[0，]单调递减，
所以，解得，即
所以a的取值范围为：[]；
（3）x＝﹣1显然不是方程x2﹣ax+1＝x+a﹣3的解．
当x≠﹣1时，原方程可变为a+3＝x+1+，
令t＝x+1∈[a，+∞），则a+3＝t+，
所以当0＜a＜2﹣3时，方程无解；
当a＝时，方程只有一解；
当＜a＜时，方程有两解；
当a时，方程只有一解．
故n（a）＝．
【点睛】
方法点睛：复合函数的单调性
对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．
20．(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
(1)由题知方程无解，故研究函数的值域即可得答案；
（2）由题知，，再令得，，最后分类讨论求函数最值即可得答案.
(1)
解：原题意等价于方程无解，
即方程无解.
令，
因为，
显然，
所以，即函数的值域是.
因此当时满足题意.
所以a的取值范围是.
(2)
解:由题意，.
令，则.
则，.
①当时，，，解得；
②当时，，，解得（舍去）；
③当时，，，解得（舍去）.
综上，存在，使得最小值为.
21．（1）；（2）最小值为，最大值为1.
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式、辅助角公式进行化简函数的解析式，然后根据正弦型函数的单调性进行求解即可；
（2）根据函数平移的性质求出函数的解析式，然后根据正弦型函数的单调性求出在区间上的最值.
【详解】
（1），
令，，
得，，
又，
可得函数的单调减区间为.
（2）若把函数的图象向右平移个单位，
得到函数的图象，
，
，
.
故在区间上的最小值为，最大值为1.
【点睛】
本题考查了正弦型函数的单调性，考查了辅助角公式、二倍角的余弦公式，考查了数学运算能力.
22．（1）；（2）在上单调递减，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数可构造方程求得；（2）设，将化为，结合的性质可得，从而得到单调性.
【详解】
（1）由题意知：定义域为，
为奇函数
即，解得：
（2）在上单调递减，证明如下：
设
则
在上单调递增
又， ，即
在上单调递减
【点睛】
本题考查根据函数奇偶性求解参数值、定义法判断函数的单调性的知识；定义法判断单调性的关键是能够将函数值的差化为可判断正负的因式乘积或分式的形式，属于基础题型.
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