四川省绵阳高一下学期开学考试数学（文）试题（word版含解析）

四川省绵阳高一下学期开学考试数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知为等差数列，是其前项和，且，下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．在等比数列中，若，则（ ）
A．3 B． C． D．
3．已知数列…，则是这个数列的（ ）
A．第六项 B．第七项 C．第八项 D．第九项
4．已知实数满足条件，则的最大值为（ ）
A．4 B．2
C．9 D．12
5．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积是（ ）
A． B．
C．2 D．1
6．已知枝玫瑰与枝康乃馨的价格之和大于元，而枝玫瑰与枝康乃馨的价格之和小于元，那么枝玫瑰和枝康乃馨的价格的比较结果是．
A．枝玫瑰的价格高 B．枝康乃馨的价格高
C．价格相同 D．不确定
7．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响.按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则的近似值是（精确到）.（参考数据）
A．3.14 B．3.11 C．3.10 D．3.05
8．已知中，满足，则这样的三角形有
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
9．已知向量，满足，，若不等式对任意实数恒成立，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则的值是（ ）
A． B．－
C．－3 D．3
11．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于（ ）
A． B．
C． D．
12．设△的内角所对的边为，，，，则
A． B．或 C． D．或
二、填空题
13．已知a， b， c分别为△ABC内角A，B， C的对边，若， 2b=c，则的值为___________.
14．已知是和的等差中项，是和的等比中项，则___________.
15．三角形中，，，，则三角形的面积为______.
16．已知等比数列的各项均为正数，且______．
三、解答题
17．已知二次函数满足以下要求：①函数的图象关于直线对称；②函数x的值域为.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，求时函数的值域.
18．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）．
（1）把利润表示为年产量的函数．
（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？
（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？
19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且.
（1）若为锐角三角形，求的取值范围；
（2）若，且，求面积的最小值.
20．已知等差数列前3项为a，4，3a，前项和为
（1）求a及k的值；
（2）求
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参考答案：
1．B
【解析】
由可计算出，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项.
【详解】
由等差数列的求和公式可得，，
由等差数列的基本性质可得.
故选：B.
2．D
【解析】
【分析】
利用等比数列的性质可知，再结合条件即求.
【详解】
因为数列是等比数列，
所以，
又因为，
所以.
故选：D.
3．B
【解析】
【详解】
由数列前几项归纳可知通项公式为,
时,,为数列第七项，故选B.
考点：数列通项公式
4．D
【解析】
【分析】
作出可行域，根据目标函数中与截距的关系，数形结合，即可求出的最大值．
【详解】
解：作出可行域如图，
由可得，，
当平移直线过点A时，在轴上截距最大，取最大值．
联立，解得，即，
所以，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组表示的可行域；二是弄清楚目标函数中z的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率型、还是距离型，然后再结合图形求出最优解后可得所求．
5．D
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的平面区域，由三角形的面积公式计算可得选项.
【详解】
解：画出平面区域如下图所示的阴影部分，所以，
故选：D.
6．A
【解析】
【详解】
试题分析：设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为元，则，因此，因此2枝玫瑰的价格高，选A.
考点：不等式比较大小
7．B
【解析】
圆内接正二十四边形的中心即为圆心，连接圆心与正二十四边形的各个顶点，构成24个全等的等腰三角形，并且等腰三角形的腰长为单位圆的半径，顶角为，根据圆面积，利用三角形面积公式，计算正二十四边形的面积，求解即可.
【详解】
由题意可知，单位圆面积，正二十四边形的面积.
则.
即.
故选：B
【点睛】
本题考查三角形面积公式，属于较易题.
8．C
【解析】
【分析】
利用正弦定理和三角形的边角关系，即可判断这样的三角形的个数，得到答案.
【详解】
由题意，在中，满足，.
.
所以这样的三角形有2个，故选C.
【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理判定三角形的个数问题，其中解答中合理利用正弦定理和三角形的边角关系是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
9．C
【解析】
【分析】
根据题意，设与的夹角为，分析可得恒成立，变形可得恒成立，结合二次函数的性质分析可得，即，结合的范围分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，设与的夹角为，
若不等式对任意实数恒成立，即恒成立，即恒成立，
又，, 则有恒成立，
必有，
故有，即，
又由，则；
故选：C．
10．A
【解析】
【分析】
根据弦化切，由题中条件，得到，再由得到，再由弦化切，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，即，
解得：，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查同角三角函数基本关系，根据弦化切即可求解，属于常考题型.
11．D
【解析】
【分析】
在中，由正弦定理，求得，再在中，即可求解得长，得到答案.
【详解】
在中，，
由正弦定理得，解得，
在中，.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练应用解三角形的正弦定理，列出方程求解是解答的关键，着重考查运算能力，属于基础题.
12．B
【解析】
【详解】
试题分析：因为，，，由正弦定理，因为是三角形的内角，且，所以，故选B．
考点：正弦定理
13．
【解析】
【分析】
先利用正弦定理和三角函数恒等变换公式对化简可得，再利用余弦定理结合2b=c，可得的关系 再利用正弦定理可得结果
【详解】
因为所以由正弦定理可得,
所以，
因为，
所以，则，
因为所以，
即，所以.
故答案为：
14．
【解析】
【分析】
利用等差中项求得，利用等比中项求得，代入即可得解.
【详解】
由是和的等差中项，得，解得：
由是和的等比中项，得，解得：
故答案为：5
15．
【解析】
【分析】
解法一：用余弦公式求出，再利用三角形面积计算公式即可得出.
解法二：用正弦定理求出，即可得出是直角三角形，根据勾股定理求出，再利用三角形的面积计算公式即可得出.
【详解】
解法1：在中，，，.
由余弦定理得，
即，解得.
三角形的面积为.
解法2：在中，，，.
由正弦定理得，∴，
∴，由勾股定理，得
.
所以，三角形的面积为.
【点睛】
本题考查了余弦定理、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力.
16．400
【解析】
【分析】
根据同底数对数的加法运算，再根据等比数列的性质若则，即可将上式化为，再根据即可得出答案.
【详解】
解：
.
故答案为：400.
17．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意得到，再解不等式组即可.
（2）首先得到，设，利用换元法得到，再根据二次函数的单调性求解即可.
【详解】
（1）由条件①②得，解得.
故函数的解析式为.
（2）
令，则
又函数在上单减，在上单增，
∴当时，，
当时，，
故函数的值域为.
18．（1）；（2）475台；（3）年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．
【解析】
【分析】
（1）根据利润函数＝销售收入函数 成本函数，由此即可求出结果；
（2）由利润函数是二次函数，可以利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量的值；
（3）要使企业不亏本，则利润，根据分段函数，分类解不等式，即可求出结果．
【详解】
（1）设利润为y万元，
得
即
（2）显然当时，企业会获得最大利润，
此时，，
，即年产量为475台时，企业所得利润最大．
（3）要使企业不亏本，则．
即或
得或，即．
即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．
【点睛】
本题主要考查了分段函数的应用，属于基础题.
19．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化简已知条件，求得.根据三角形是锐角三角形求得的取值范围，利用正弦定理化简，通过的取值范围求得的取值范围.
（2）利用正弦定理表示出，由此求得三角形面积的表达式，结合的取值范围求得的取值范围，对分成和两者情况，结合同角三角函数的基本关系式、函数的单调性进行分类讨论，由此求得三角形面积的最小值.
【详解】
（1）在中，由正弦定理可得
，，
，
，
又为的内角，，即，
，又为锐角三角形，
，，
又，
.
（2）在中，由正弦定理可得
，
又，
，
（）
，.
当时，（），
当时，（），
，
又，在上单调递增，
当时，的面积最小，最小值为.
综上所述，三角形面积的最小值为.
【点睛】
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查运算求解能力，属于中档题.
20．（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列定义求得首项及公差，由等差数列的前n项和公式即可求得的值．
（2）先求得等差数列的前n项和公式，并求得倒数．结合裂项法即可求得的值，进而根据极限定义求得极限值即可．
【详解】
（1）因为等差数列前3项为
所以，解得
所以等差数列的首项为，公差为
则前项和为
解方程求得（舍）
故
（2）因为等差数列的首项为，公差为
所以
则
所以
所以由极限定义可得
即
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，裂项法求和的应用，数列求极限，属于中档题．
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