浙江省杭州市高一下学期开学考试数学试题（word版含解析）

浙江省杭州市高一下学期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数
A．8 B．6 C．3 D．1
2．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．已知函数，函数，若方程恰好有4个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向上平移个单位 B．向下平移个单位
C．向上平移个单位 D．向下平移个单位
6．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
7．给定两个向量，，若，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
8．如果幂函数的图象不过原点，则实数m的取值为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．无解
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．函数的最小值为2
C．若，则 D．函数有最小值2
10．下列函数周期为，又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．在区间上随机取一个数，则函数在上有两个零点的概率为_______________________．
12．设，，若、的几何平均值为（是自然对数的底数），则、的算术平均值的最小值为__________.
13．给出下列命题：①；②；③；④；⑤.其中正确的命题是________．(填序号)
14．（2014年苏州5）已知，则__________.
15． _______
16．函数的定义域是________．
17．若关于x的不等式ax2+4ax+3≤0的解集为空集，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
18．某药材种植基地准备种植某种药材，从历年市场行情可知，从2月1日起的300天内，该药材的市场售价P(元/千克)与上市时间t(天)的关系可以用如图①所示的一条折线表示，该药材的种植成本Q(元/千克)与上市时间t(天)的关系可以用如图②所示的抛物线表示.
(1)写出图①中表示的市场售价与上市时间的函数关系式P=f(t)，写出图②中表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t)；
(2)若市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市该药材的纯收益最大？
19．已知集合，，.
（1）若，求实数a的值；
（2）若，求实数m的取值范围.
20．已知，
（1）化简；
（2）若，且，求的值．
21．判断下列函数的奇偶性，并求函数的值域．
（1）
（2）．
试卷第页，共页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
先求，再求，即可解得，从而可得解.
【详解】
由函数,可得，
则，解得.
所以.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了分段函数的求值，解此题的关键是判断出自变量的范围，结合分段的解析式求值，属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】
利用并集的定义求解即可．
【详解】
∵集合，集合，∴，即.
故选：A
3．D
【解析】
【分析】
由全称量词命题的否定即可得出结论.
【详解】
由全称量词命题的否定可知，
命题“，”的否定是“，”
选项ABC错误，选项D正确.
故选：D.
4．D
【解析】
当时，，求导，由可得，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，然后在同一坐标系中画出函数与曲线的图象求解.
【详解】
当时，，
则，由，可得.
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减.
因此，在同一坐标系中画出函数与曲线的图象
如图所示.
若函数与恰好有4个公共点，
则，即，
解得.
故选：D
【点睛】
本题主要考查函数与方程问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
5．A
【解析】
【详解】
要得到函数的图象，这里，则只需将函数的图象向上平移2个单位．
考点：余弦函数图象的简单应用.
6．D
【解析】
【分析】
确定奇偶性，排除两个选项，然后再由函数值的变化趋势排除一个选项，得正确选项．
【详解】
由可知是偶函数，排除A，B；当时，，选项C错误．
故选：D
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
7．D
【解析】
【分析】
根据平面向量运算坐标表示公式求出的坐标，结合平面向量互相垂直的性质，根据平面向量数量积的坐标表示公式求解即可.
【详解】
因为，，所以；，
又因为，所以，于是有，解得．
故选：D
【点睛】
本题考查了平面向量运算的坐标表示公式，考查了两个平面互相垂直的性质，考查了数学运算能力.
8．C
【解析】
【分析】
由幂函数的定义得m=1或m=2，再检验得解.
【详解】
由幂函数的定义得m23m+3=1，解得m=1或m=2；
当m=1时，m2m2=2，函数为y=x-2，其图象不过原点，满足条件；
当m=2时，m2m2=0，函数为y=x0，其图象不过原点，满足条件.
综上所述，m=1或m=2.
故选：C.
9．AC
【解析】
【分析】
A选项，直接利用基本不等式，即可判断A正确；
B选项，将原式化为，利用基本不等式，即可判断B错；
C选项，根据题中条件，得到，展开后利用基本不等式，即可判断C正确；
D选项，根据基本不等式直接计算，结合等号成立的条件，即可判断D错.
【详解】
对于A，因为，所以，，所有由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，A正确；
对于B，易知，因为，在上单调递增，所以，所以函数的最小值为，B错误；
对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，C正确；
对于D，，当且仅当时取等号，而，故D错误.
故选：AC.
【点睛】
易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10．BD
【解析】
选项A. 求出函数的单调区间，再判断；选项B. 由在上单调递增，在上单调递减，求出的单调区间，再判断；选项C，由，求出单调区间再判断，选项D当时，在上单调递增,可判断.
【详解】
选项A. 由
则，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，故A不正确.
选项B . 由在上单调递增，在上单调递减.
由，得
所以在在上单调递增，故B正确.
选项C . ，由
则
所以在上单调递减，所以在单调递减，故C不正确.
选项D . 当时， 在上单调递增,故D正确.
故选：BD
11．
【解析】
【分析】
先利用正弦函数的性质确定的取值范围，再利用几何概率模型求概率.
【详解】
因为，所以．
令得，，.
要使得关于方程有两个不同实根，则，
又因为，所以，故所求概率．
故答案为：.
12．
【解析】
【分析】
利用指数的运算性质可得出，再利用基本不等式可求得结果.
【详解】
由已知条件可得，所以，，
因为，，由基本不等式可得，
即，所以，，
当且仅当时，等号成立.
因此，、的算术平均值的最小值为.
故答案为：.
13．②③
【解析】
【详解】
②③显然正确；因为与共线，而与共线，故④错误；可能是负数，故⑤错误；对于①等于0，不等于零向量，故①也是错误的．
点睛：(1) 平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即不一定等于).
(2)在平面向量数量积的运算中，不能从推出或成立.
(3)在向量数量积的运算中，若，则不一定有.
14．
【解析】
【详解】
由题意可得：.
15．
【解析】
【分析】
根据指数的运算性质即可求出结果.
【详解】
【点睛】
本题考查指数式的运算，注意检查计算结果，属基础题.
16．[－4，－）（0，）
【解析】
【分析】
根据偶次开方的被开方数为非负且对数函数的真数大于0可以得到：16﹣x2≥0，sinx＞0，进而求出x的取值范围得到答案．
【详解】
∵16﹣x2≥0，sinx＞0，
∴﹣4≤x≤4，2kπ＜x＜π+2kπ，∴﹣4≤x＜﹣π，或0＜x＜π，
故答案为[﹣4，﹣π）∪（0，π）．
【点睛】
本题主要考查求函数定义域的问题，这里要注意①偶次开方的被开方数为非负，②对数函数的真数大于0．
17．[0，）．
【解析】
【详解】
当a=0，﹣3≤0不成立，符合要求；
当a≠0时，因为关于x的不等式ax2+4ax++3≤0的解集为 ，
即所对应图象均在x轴上方，故需解得0＜a＜，
综上满足要求的实数a的取值范围是[0，）
故答案为[0，）．
18．(1)f(t)=，g(t)=，0≤t≤300；
(2)从2月1日开始的第50天上市，该药材的纯收益最大，最大纯收益为100元/千克.
【解析】
【分析】
(1)根据给定的函数类型及对应图象即可写出函数f(t)、g(t)的解析式.
(2)利用(1)的结论求出纯收益关于t的分段函数，再在各段上求出最大值比较即可作答.
(1)
由图①知，当时，令P=at+b，则有，解得，即有，，
当时，同理得：，
所以市场售价与上市时间的函数关系式为P=f(t)=，
由图②知，令，而当t=50时，Q=150，代入解得，则，
所以种植成本与上市时间的函数关系式为Q=g(t)=.
(2)
设从2月1日起的第t天的纯收益为h(t)(元/千克)，由题意得，h(t)=f(t)-g(t)，
即h(t)=，
当0≤t≤200时，h(t)=，则当t=50时，h(t)在区间[0，200]上取得最大值100，
当20087.5，
综上得，当t=50时，h(t)取得最大值，最大值为100，
所以从2月1日开始的第50天上市，该药材的纯收益最大，最大纯收益为100元/千克.
19．（1）或；（2）.
【解析】
（1）先求解出方程的根，则集合可知，再求解出的根，则可确定出集合，根据得到，从而可求解出的可取值，则的值可求；
（2）根据得到，分别考虑当为空集、单元素集、双元素集的情况，由此确定出的取值.
【详解】
（1）由得或，所以，
由得或，所以，
因为，所以，
所以或，所以或；
（2）因为，所以，
当的时，，解得，
当时，，无解，
当时，，解得，
当时，，无解，
综上，实数m的取值范围是.
【点睛】
结论点睛：根据集合的交、并集运算结果判断集合间的关系：
（1）若，则有；
（2）若，则有.
20．（1） ，（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据“奇变偶不变，符号看象限”进行化简 即可;
（2）利用，又，所以，
即可得到答案.
【详解】
（1）
（ ）
（2），即，
，
因为，所以，
.
21．（1）非奇非偶函数，值域为（2）偶函数，值域为
【解析】
【分析】
结合函数奇偶性的定义及基本初等函数的值域可分别求解．
【详解】
（1）∵的定义域为，定义域不关于原点对称，
∴为非奇非偶函数，
∵，∴的值域为；
（2）∵的定义域为，且，
∴是偶函数，∵，∴，
∴的值域为．
【点睛】
解决函数的奇偶性时，一定要注意定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，属于基础题．
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