重庆九龙坡高一下学期开学学情诊断检测数学试题（word版含解析）

重庆九龙坡高一下学期开学学情诊断检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．“函数与均是定义域为的奇函数”是“函数是偶函数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
2．已知是定义在上的奇函数， 且， 若，则
A．3 B．0 C．3 D．2018
3．已知曲线，曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
C．把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
4．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知扇形OAB的圆心角为，其面积是4cm2，则该扇形的周长是（ ）cm.
A．10 B．4 C． D．
6．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能是
A． B． C． D．
7．已知,,,则
A． B． C． D．
8．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
9．设用二分法求方程在区间上近似解的过程中，计算得到，则方程的根落在区间（ ）
A． B． C． D．
10．若全集，集合，函数的定义域为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．将函数 的图象向左平移 个单位，再将图 上的每一个点的横坐标变为原来的 2 倍 纵坐标不变 ，得到函数 的图象，下列结论正确的是（ ）
A．函数 的最小值为
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在区间 上单调递增
D．若存在 使 ．则 的最小值为
12．已知、都是定义在上的函数，且为奇函数，的图像关于直线对称，则下列说法中正确的有（ ）
A．为偶函数 B．为奇函数
C．的图像关于直线对称 D．为偶函数
三、双空题
13．某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数，6时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14时温差的最大值是_______°C；图中曲线对应的函数解析式是________.
四、填空题
14．已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________．
15．设函数，则_________.
16．若不等式的解集为，则的值为__________
五、解答题
17．设，利用直角三角形三边关系，证明.
18．设函数
（1）解不等式；
（2）若时，是否存在实数k，使得对任意的，不等式恒成立，若存在，求出k的范围；若不存在，请说明理由．
19．设，，，当时，的值域为．
（1）求a的值；
（2）若存在实数，使对任意的恒成立，求实数的取值范围．
20．（1）计算：；
（2）已知集合，，且，求a的取值范围.
21．已知函数．
（1）画出函数图象．（直接画出图象不需过程）
（2）写出函数f（x）的单调区间和值域．（直接根据图象写出答案）
（3）当a取何值时，方程f（x）=a有两不等实根？只有一个实根？无实根？（直接根据图象写出答案）
22．已知函数．
（1）若函数的最小正周期为，则当时，求函数的最大值和最小值；
（2）若在区间内没有零点，求的取值范围．
试卷第页，共页
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参考答案：
1．A
【解析】
利用函数奇偶性的定义可判断充分性成立，利用特例法可判断必要性不成立，由此可得出结论.
【详解】
令.
充分性：若函数与均是定义域为的奇函数，则，，
函数的定义域为，
，
所以，函数是偶函数，充分性成立；
必要性：取，，则函数与均是定义域为的非奇非偶函数，
，函数的定义域为，
，函数为偶函数，
但，不是奇函数，必要性不成立.
因此，“函数与均是定义域为的奇函数”是“函数是偶函数”的充分非必要条件.
故选：A.
【点睛】
思路点睛：利用定义法判断函数的奇偶性，步骤如下：
（1）一是看定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；
（2）若函数的定义域关于原点对称，接下来就是判断与之间的关系；
（3）下结论.
2．C
【解析】
【分析】
先分析推理得到f(x)=f(x+4)即得函数的周期为4，再求得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，再求 的值.
【详解】
为的奇函数，且
又由
是周期为4的函数，又
，
，.
【点睛】
(1)本题主要考查函数的周期性，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是求得f(x)=f(x+4)即得函数的周期为4.
3．D
【解析】
根据三角函数的伸缩变换与平移变换原则，可直接得出结果.
【详解】
因为，
所以将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得的图象，
再将的图象向右平移个单位，即可得到的图象.
故选：D.
4．B
【解析】
解出集合中的不等式，然后可得答案.
【详解】
因为，
所以
故选：B
5．A
【解析】
【详解】
由题意得，设扇形的半径为，若扇形的圆心角为，则根据扇形的面积公式可得扇形的周长是，故选A.
6．A
【解析】
【分析】
可从原函数的图像中得到函数在附近的单调性，从而得到其导函数在附近的符号，由后者可得函数图像的正确选项.
【详解】
根据函数的图像可知，
在的左侧附近，为减函数；
在的右侧附近，为增函数，
所以在的左侧附近，；在的右侧附近，，故选A.
【点睛】
一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．
7．A
【解析】
利用“分段法”判断出三个数的大小关系.
【详解】
，所以.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查指数式，对数式比较大小，属于基础题.
8．D
【解析】
利用诱导公式，可求出的值，结合同角三角函数的关系，即可得答案.
【详解】
因为，且
所以，
所以，
所以，
故选：D
【点睛】
本题考查同角三角函数的关系，诱导公式的应用，考查计算化简的能力，属基础题.
9．B
【解析】
【分析】
利用零点存在性定理求解.
【详解】
函数在单调递增，又因为，
所以由零点存在性定理知，在区间上有零点，
即在区间上的根落在区间上.
故选：B.
10．A
【解析】
【分析】
先分别求得集合A,B，再进行补集和交集运算
【详解】
∵，
即∴则，
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的运算，考查一元二次不等式解法及对数函数的定义域，是对基本知识的考查
11．ABD
【解析】
【分析】
可通过对函数先进行平移和伸缩变换，得到函数 的解析式，分别求解出该函数的值域、对称中心、单调递增区间以及最小正周期，即可完成对选项的判断，完成求解.
【详解】
由题意可知，函数先经过平移变换，得到的函数，在经过伸缩变换，得到，
选项A，因为，故函数的最小值为 ，所以该选项正确；
选项B，的对称中心是令，解得，当
，故函数 的图象关于点 对称，所以该选项正确；
选项C，的单调递增区间是令，解得
，当，故选项C错误；
选项D，函数 的值域为，要使得成立，那么需要同时取得函数的最大值或最小值，故正好是函数 的周期数，而 的最小值为函数 的最小正周期，是，故该选项正确.
故选：ABD.
12．ACD
【解析】
【分析】
本题可根据为奇函数得出，然后根据关于直线对称得出，最后以此为依据依次分析四个选项，即可得出结果.
【详解】
因为为奇函数，所以，
因为的图像关于直线对称，所以，
A项：，
则函数为偶函数，A正确；
B项：，不是奇函数，B错误；
C项：因为，所以，
则的图像关于直线对称，C正确；
D项：因为，所以，
则函数为偶函数，D正确，
故选：ACD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数奇偶性和对称性的判断，若函数为奇函数，则满足，若函数为偶函数，则满足，若函数关于直线对称，则，考查推理能力，是中档题.
13． 20 ，.
【解析】
由图象的最高点与最低点，易于求出这段时间的最大温差；A、b可由图象直接得出，ω由周期求得，然后通过特殊点求φ即可．
【详解】
由图可知，这段时间的最大温差是30°C-10°C=20°C；
图中从6~14时的图象是函数的半个周期的图象，得，，
因为，所以，从而得，将，代入，
得，即，由于，可得.
故所求解析式为，.
故答案为：20；，.
【点睛】
本题主要考查由函数的部分图象确定其解析式的基本方法，考查识图与应用的能力，属于中档题．
14．
【解析】
【分析】
将看成一个整体，对进行配凑，配成的形式，观察即可求得的表达式
【详解】
，
故答案为
【点睛】
本题考查了运用配凑法求解函数表达式，在已知条件中配凑出括号内的表达式即可，然后求得结果．
15．
【解析】
【分析】
根据分段函数的表达式直接代入即可.
【详解】
，
，
则.故答案为.
【点睛】
本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接代入即可.
16．-3
【解析】
【分析】
由不等式与对应一元二次方程的关系，利用根与系数的关系即可求出p的值；
【详解】
∵不等式x2+px+2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，∴1和2是一元二次方程x2+px+2=0的两个实数根，∴1+2=-p, ∴p=-3，故答案为-3.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用根与系数的关系即可求出参数，属于基础题．
17．详见解析.
【解析】
【分析】
在中，得到，且，然后由，利用基本不等式证明；
【详解】
如图所示：
在中，，且，
所以，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
所以.
18．（1）；（2）存在，
【解析】
【分析】
（1）讨论或，利用对数函数的单调性即可求解.
（2）根据对数函数的单调性，将不等式转化为，分离参数可得，求出的最小值，结合函数的定义域即可求解.
【详解】
（1），
当时，函数单调递减，
若，则，解得，
此时，，
当时，函数单调递增，
若，则，解得，
此时，，
综上所述，不等式的解集为.
（2）若时，函数单调递增，
对任意的，不等式恒成立，
即对任意的，恒成立，
即恒成立，
令，可得，
由于在上单调递增，
所以，可得，
又因为恒成立，只需，
所以，
综上所述，
19．（1）；（2）．
【解析】
（1）根据函数单调性确定最值点，利用最大值和最小值构造方程可求得结果；
（2）将恒成立的不等式变为，得到的范围的同时，将问题转化为存在，使得，可知，通过讨论对称轴的位置确定最小值点，进而构造不等式求得结果.
【详解】
（1）在上单调递减且值域为，
，，
，即，解得：，
.
（2）由（1）知：对任意的恒成立，
整理得：对任意的恒成立，
令，则，
又，
，
由得：，
令，
则问题转化为：存在，使得，
则当时，.
，的对称轴，
①当，即时，，解得：，
；
②当，即时，，解得：，；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数中的恒成立和能成立问题的求解，解题关键是能够通过恒成立将问题转化为最值的求解，同时能够将问题转化为与新变量有关的能成立问题的求解.
20．（1）；（2）
【解析】
（1）根据指数幂的运算及对数的性质计算可得.
（2）首先求出集合，再根据集合的包含关系得到不等式组解得.
【详解】
解：（1）原式.
（2），
①当集合时，只要，解得；
②当集合时，必须满足解得.
综上可知，的取值范围是.
【点睛】
本题考查指数幂的运算，集合的包含关系求参数的值，属于基础题.
21．（1）见解析；（2）增区间：（0，+∞），减区间：（-∞，0]，值域：[0，+∞）；（3）{a|0＜a＜1}；{a|a=0或a≥1]；{a|a＜0}.
【解析】
【分析】
（1）根据分段函数及定义域，画出函数图象即可．
（2）根据图象即可写出函数的单调区间和值域．
（3）根据图象即可直接判断出a的取值，有两个不等式实数根，一个根和没有根．
【详解】
（1）f（x）的图象如下：
（2）由图象可得函数f（x）的单调增区间：（0，+∞），单调减区间：（-∞，0]，值域：[0，+∞）；
（3）方程f（x）=a有两个不相等实数根：{a|0＜a＜1}
方程f（x）=a有一个实数根：{a|a=0或a≥1]
方程f（x）=a无实数根：{a|a＜0}．
【点睛】
本题考查了函数图象画法，函数单调性与值域的求解，属于基础题．
22．（1）最大值为1，最小值为；（2）.
【解析】
（1）先利用两角和与差的正弦公式和辅助角公式化简整理成，再结合周期公式求得得到解析式，根据得到，寻找正弦的最大值与最小值即可.
（2）由，得到，再利用该区间不包含正弦函数的零点列不等式计算取值范围即可.
【详解】
解： 依题意
.
（1）由于函数的最小正周期为，所以，∴．
因为，所以，
所以，且当，即时最小，为，当，即时最大，为，
即函数在区间上的最大值为1，最小值为；
（2）当时，，
由在区间内没有零点，区间不包含正弦函数的零点，而正弦函数的零点是，
故或，，
即或，，
故或，，
因为，所以，且时，区间端点均小于0，不符合题意；
时或，故满足题意；
时或，故满足题意；
且时，，故，即无解，，故，即无解.
综上，的取值范围是．
【点睛】
关键点点睛：
本题解题关键在于根据区间不包含正弦函数的零点，得到或，之后，根据k的取值情况找出满足的取值范围，才能突破难点.
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