2021-2022学年人教版八年级下册数学 17.1勾股定理 同步习题（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版八年级下册数学 17.1勾股定理 同步习题（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 256.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-10 14:24:34 | ||
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文档简介
17.1勾股定理 同步习题
一．选择题
1．直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（ ）
A．13 B． C．13或 D．13或12
2．已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3：4，则较短直角边的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．5
3．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB，则CD等于（ ）
A．4.8 B．14 C．10 D．2.4
4．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，面积分别为225、400、S，则S为（ ）
A．175 B．600 C．25 D．625
5．如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A．1 B．1.4 C． D．
6．如图，平面直角坐标系中，△OAB的边OB落在x轴上，顶点A落在第一象限．若OA＝AB＝5，OB＝8，则点A的坐标是（ ）
A．（8，5） B．（4，5） C．（4，3） D．（3，4）
7．在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（ ）
A．AC2+BC2＝AB2 B．AB2+BC2＝AC2
C．AC2﹣BC2＝AB2 D．AC2+AB2＝BC2
8．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（ ）
A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4
C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，M是BC边上的动点，过M作MN∥AB交AC于点N，P是MN的中点，当PA平分∠BAC时，BM＝（ ）
A． B． C． D．
10．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2021 C．2020 D．2019
二．填空题
11．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则这个三角形斜边上的高为 ．
12．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E为斜边AB上一点，连接CE，若CE＝，则线段AE的长为 ．
13．在Rt△ABC中，斜边AB＝3，则AB2+BC2+CA2＝ ．
14．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE，AF分别是∠ABC，∠ACB平分线，BE，AF交于点O，OM⊥AB，AB＝10，AC＝8，则OM＝ ．
三．解答题
16．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB上一点，且CD＝12，BD＝5．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求AC的长．
17．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t（t＞0）秒
（1）若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值；
（2）若△CBP为等腰三角形，求t的值；
18．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
参考答案
一．选择题
1．解：当12是直角边时，斜边长＝＝13．
故它的斜边长为13或12．
故选：D．
2．解：设两直角边分别为3x，4x．
由勾股定理得（3x）2+（4x）2＝100．
解得x＝2．则3x＝3×2＝6，4x＝4×2＝8．
∴直角三角形的两直角边的长分别为6，8．
较短直角边的长为6．
故选：B．
3．解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴AC BC＝AB CD，即6×8＝10×CD，
解得，CD＝4.8，
故选：A．
4．解：由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，
则S＝25+400＝625，
故选：D．
5．解：由勾股定理得，OB＝＝，
则OA＝OB＝，
∴点A表示的数是，
故选：C．
6．解：如图，过点A作AD⊥OB于点D，
∵OA＝AB＝5，OB＝8，
∴OD＝OB＝4．
在直角△OAD中，由勾股定理得：AD＝＝＝3．
故点A的坐标是（4，3）．
故选：C．
7．解：∵在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，故选项A正确，选项B、C、D错误，
故选：A．
8．解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，
∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，
∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，
∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，
∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，
∵c2＝a2+b2，
∴S1+S3＝S2+S4，
故选：C．
9．解：作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，MF⊥AB于F，
由勾股定理得，AB＝＝5，
∵PA平分∠BAC，PD⊥AC，PE⊥AB，
∴PD＝PE，
∵PE⊥AB，MF⊥AB，MN∥AB，
∴四边形PMFE为矩形，
∴PE＝MF，
设PD＝PE＝MF＝3x，
∵∠B＝∠B，∠BFM＝∠BCA，
∴△BMF∽△BAC，
∴＝，即＝，
解得，BM＝5x，
∵PD∥BC，P是MN的中点，
∴BC＝6x+5x＝11x，
由题意得，11x＝4，
解得，x＝，
∴BM＝5x＝，
故选：A．
10．解：由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，
故选：B．
二．填空题
11．解：分为两种情况：
①斜边是4有一条直角边是3，
由勾股定理得：第三边长＝＝，
∴斜边上的高为＝；
②3和4都是直角边，
由勾股定理得：第三边长＝＝5，
∴斜边上的高为＝；
故答案为：或．
12．解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
过C作CD⊥AB于D，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，CD＝＝＝，
∴AD＝＝，
∵CE＝，
∴DE＝＝1，
∴AE＝AD﹣DE＝或AE＝AD+DE＝，
故答案为：或．
13．解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，
∴AC2+BC2＝AB2，又AB＝3，
∴AC2+BC2＝AB2＝9，
则AB2+BC2+CA2＝AB2+（BC2+CA2）＝9+9＝18．
故答案为：18
14．解：由勾股定理得：AC＝，
∵S△ABC＝3×3﹣，
∴，
∴，
∴BD＝，
故答案为：．
15．解：过O作OG⊥AC于G，OH⊥BC于H，连接OC，
∵AF平分∠CAB，BE平分∠ABC，
∴OG＝OH＝OM，
∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝6
∴S△ABC＝AC BC＝×AB OM+AC OG+BC OH，
∴×8×6＝+×8×OG+，
∴OM＝2，
故答案为：2．
三．解答题
16．证明：（1）∵BC＝13，CD＝12，BD＝5，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴△BDC为直角三角形；
（2）设AB＝x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝x，
∵AC2＝AD2+CD2，
即x2＝（x﹣5）2+122，
解得：x＝16.9，
∴AC＝16.9．
17．解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝8（cm），
当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP＝（14﹣2t）cm，PE＝PC＝（2t﹣8）cm，BE＝10﹣8＝2（cm），
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
即：（2t﹣8）2+22＝（14﹣2t）2，
解得：t＝，
当t＝12秒时，点P与A重合，也符合条件，
∴当t＝或12时，点P恰好在∠BAC的平分线上；
（2）根据题意得：AP＝2tcm，
当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，
∴PC＝BC，即8﹣2t＝6，
∴t＝1，
当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，
①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，
如图2，过P作PE⊥BC于E，
∴BE＝BC＝3cm，
∴PB＝AB，即2t﹣6﹣8＝5，解得：t＝，
②PB＝BC，即2t﹣6﹣8＝6，
解得：t＝10，
③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，
∴BF＝BP，
∵∠ACB＝90°，
依题意有CF＝8×6÷10＝（cm），
在Rt△BFC中，BF＝＝（cm），
∴PB＝2BF＝（cm），
∴t＝（8+6+）÷2＝，
∴当t＝1或或10或时，△BCP为等腰三角形．
18．解：（1）梯形ABCD的面积为，
也可以表示为，∴，
即a2+b2＝c2；
（2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；
在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，
解得；
（3）如图，
由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．
一．选择题
1．直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（ ）
A．13 B． C．13或 D．13或12
2．已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3：4，则较短直角边的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．5
3．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB，则CD等于（ ）
A．4.8 B．14 C．10 D．2.4
4．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，面积分别为225、400、S，则S为（ ）
A．175 B．600 C．25 D．625
5．如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A．1 B．1.4 C． D．
6．如图，平面直角坐标系中，△OAB的边OB落在x轴上，顶点A落在第一象限．若OA＝AB＝5，OB＝8，则点A的坐标是（ ）
A．（8，5） B．（4，5） C．（4，3） D．（3，4）
7．在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（ ）
A．AC2+BC2＝AB2 B．AB2+BC2＝AC2
C．AC2﹣BC2＝AB2 D．AC2+AB2＝BC2
8．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（ ）
A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4
C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，M是BC边上的动点，过M作MN∥AB交AC于点N，P是MN的中点，当PA平分∠BAC时，BM＝（ ）
A． B． C． D．
10．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2021 C．2020 D．2019
二．填空题
11．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则这个三角形斜边上的高为 ．
12．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E为斜边AB上一点，连接CE，若CE＝，则线段AE的长为 ．
13．在Rt△ABC中，斜边AB＝3，则AB2+BC2+CA2＝ ．
14．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE，AF分别是∠ABC，∠ACB平分线，BE，AF交于点O，OM⊥AB，AB＝10，AC＝8，则OM＝ ．
三．解答题
16．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB上一点，且CD＝12，BD＝5．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求AC的长．
17．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t（t＞0）秒
（1）若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值；
（2）若△CBP为等腰三角形，求t的值；
18．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
参考答案
一．选择题
1．解：当12是直角边时，斜边长＝＝13．
故它的斜边长为13或12．
故选：D．
2．解：设两直角边分别为3x，4x．
由勾股定理得（3x）2+（4x）2＝100．
解得x＝2．则3x＝3×2＝6，4x＝4×2＝8．
∴直角三角形的两直角边的长分别为6，8．
较短直角边的长为6．
故选：B．
3．解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴AC BC＝AB CD，即6×8＝10×CD，
解得，CD＝4.8，
故选：A．
4．解：由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，
则S＝25+400＝625，
故选：D．
5．解：由勾股定理得，OB＝＝，
则OA＝OB＝，
∴点A表示的数是，
故选：C．
6．解：如图，过点A作AD⊥OB于点D，
∵OA＝AB＝5，OB＝8，
∴OD＝OB＝4．
在直角△OAD中，由勾股定理得：AD＝＝＝3．
故点A的坐标是（4，3）．
故选：C．
7．解：∵在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，故选项A正确，选项B、C、D错误，
故选：A．
8．解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，
∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，
∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，
∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，
∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，
∵c2＝a2+b2，
∴S1+S3＝S2+S4，
故选：C．
9．解：作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，MF⊥AB于F，
由勾股定理得，AB＝＝5，
∵PA平分∠BAC，PD⊥AC，PE⊥AB，
∴PD＝PE，
∵PE⊥AB，MF⊥AB，MN∥AB，
∴四边形PMFE为矩形，
∴PE＝MF，
设PD＝PE＝MF＝3x，
∵∠B＝∠B，∠BFM＝∠BCA，
∴△BMF∽△BAC，
∴＝，即＝，
解得，BM＝5x，
∵PD∥BC，P是MN的中点，
∴BC＝6x+5x＝11x，
由题意得，11x＝4，
解得，x＝，
∴BM＝5x＝，
故选：A．
10．解：由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，
故选：B．
二．填空题
11．解：分为两种情况：
①斜边是4有一条直角边是3，
由勾股定理得：第三边长＝＝，
∴斜边上的高为＝；
②3和4都是直角边，
由勾股定理得：第三边长＝＝5，
∴斜边上的高为＝；
故答案为：或．
12．解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
过C作CD⊥AB于D，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，CD＝＝＝，
∴AD＝＝，
∵CE＝，
∴DE＝＝1，
∴AE＝AD﹣DE＝或AE＝AD+DE＝，
故答案为：或．
13．解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，
∴AC2+BC2＝AB2，又AB＝3，
∴AC2+BC2＝AB2＝9，
则AB2+BC2+CA2＝AB2+（BC2+CA2）＝9+9＝18．
故答案为：18
14．解：由勾股定理得：AC＝，
∵S△ABC＝3×3﹣，
∴，
∴，
∴BD＝，
故答案为：．
15．解：过O作OG⊥AC于G，OH⊥BC于H，连接OC，
∵AF平分∠CAB，BE平分∠ABC，
∴OG＝OH＝OM，
∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝6
∴S△ABC＝AC BC＝×AB OM+AC OG+BC OH，
∴×8×6＝+×8×OG+，
∴OM＝2，
故答案为：2．
三．解答题
16．证明：（1）∵BC＝13，CD＝12，BD＝5，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴△BDC为直角三角形；
（2）设AB＝x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝x，
∵AC2＝AD2+CD2，
即x2＝（x﹣5）2+122，
解得：x＝16.9，
∴AC＝16.9．
17．解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝8（cm），
当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP＝（14﹣2t）cm，PE＝PC＝（2t﹣8）cm，BE＝10﹣8＝2（cm），
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
即：（2t﹣8）2+22＝（14﹣2t）2，
解得：t＝，
当t＝12秒时，点P与A重合，也符合条件，
∴当t＝或12时，点P恰好在∠BAC的平分线上；
（2）根据题意得：AP＝2tcm，
当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，
∴PC＝BC，即8﹣2t＝6，
∴t＝1，
当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，
①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，
如图2，过P作PE⊥BC于E，
∴BE＝BC＝3cm，
∴PB＝AB，即2t﹣6﹣8＝5，解得：t＝，
②PB＝BC，即2t﹣6﹣8＝6，
解得：t＝10，
③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，
∴BF＝BP，
∵∠ACB＝90°，
依题意有CF＝8×6÷10＝（cm），
在Rt△BFC中，BF＝＝（cm），
∴PB＝2BF＝（cm），
∴t＝（8+6+）÷2＝，
∴当t＝1或或10或时，△BCP为等腰三角形．
18．解：（1）梯形ABCD的面积为，
也可以表示为，∴，
即a2+b2＝c2；
（2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；
在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，
解得；
（3）如图，
由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．