2021-2022学年人教版数学八年级下册17.1 勾股定理教案（2课时）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版数学八年级下册17.1 勾股定理教案（2课时） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 367.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-10 14:42:43 | ||
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文档简介
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
一、教学目标
1.经历探索及证明勾股定理的过程，掌握证明勾股定理的方法，体会数形结合的思想.
2.掌握勾股定理的概念，并运用它解决简单的计算题.
二、教学重难点
重点
掌握勾股定理的概念，体会数形结合的思想.
难点
掌握勾股定理的证明方法，并运用它解决问题.
重难点解读
1.勾股定理揭示的是直角三角形的三边的平方关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理.
2.运用勾股定理时，要分清直角边与斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c.若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2.
3.勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积的数量关系，将“形”的问题转化为“数”的问题.
三、教学过程
活动1 旧知回顾
1.回顾直角三角形的相关概念.
2.在直角三角形中， 所对的直角边等于斜边的一半.
3.写出三角形和正方形的面积公式.
活动2 探究新知
1.教材第22页 内容.
提出问题：
（1）观察图17.1-1，你能从中发现什么数量关系？
（2）图17.1-2中三个正方形的面积有什么关系？
（3）什么样的三角形是等腰直角三角形？等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
2.教材第23～24页 内容.
提出问题：
（1）等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，其他的直角三角形也具有这个性质吗？
（2）你能计算图17.1-3中各个正方形的面积吗？
（3）探究SA+SB与SC，的关系，看看能得出什么结论？
（4）你能用不同的方式证明命题1吗？由此你能得出什么定理？
活动3 知识归纳
1.等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的 平方和 .
2.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2+b2=c2 .直角三角形的这种关系称为勾股定理.
活动4 典例赏析及练习
例1 在下列直角三角形中，各边的长如图所示，求出未知边的长度.
【答案】解：根据勾股定理，得
图①：AB===；
图②：AB===.
例2 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DBC=90°，AD=3，AB=4，BC=12，求CD的长.
【答案】解：∵∠BAD=90°，
∴△ADB是直角三角形，
∴BD===5，
∵∠DBC=90 ，
∴△DBC是直角三角形，
∴DC===13.
练习：
1.教材第24页 练习第1题.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a+b=2，c=3，则△ABC的面积是 .
活动5 课堂小结
1.勾股定理的概念和证明方法.
2.利用勾股定理解决问题.
四、作业布置与教学反思
第2课时 勾股定理的应用
一、教学目标
1.熟练运用勾股定理解决实际问题.
2.在运用勾股定理解决实际问题的过程中，体会数学的“转化”思想，把实际问题转化为数学问题.
3.掌握在数轴上表示无理数的方法.
二、教学重难点
重点
1.勾股定理的应用.
2.掌握在数轴上表示无理数的方法.
难点
将实际问题转化成数学问题，并解答.
重难点解读
1.利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明，其主要应用如下：
（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；
（2）已知直角三角形的任意一边，确定另外两边的关系；
（3）证明包含平方关系的几何问题；
（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度.
2.利用勾股定理解题的关键是寻找直角三角形，若不存在直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形.
3.一般地，在数轴上表示无理数，通常是利用勾股定理作图.
三、教学过程
活动1 旧知回顾
1.回顾勾股定理的概念.
2.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边为a，b，c，∠C=90°.
（1）已知a=3，b=4，则c= ；
（2）已知c=25，b=15，则a= ；
（3）已知c=19，a=13，则b= ；（结果保留根号）
（4）已知a∶b=3∶4，c=15，则b= .
活动2 探究新知
1.教材第25页 例1.
提出问题：
（1）木板能横着通过门框吗？竖着呢？为什么？
（2）如果木板斜着拿，能否通过门框？
（3）要使木板能通过门框，需要比较哪些数据的大小？你是怎么想的？
2.教材第26～27页 内容.
提出问题：
（1）你能利用勾股定理证明斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？
（2）我们知道实数都可以在数轴上表示出来，你能在数轴上表示的点吗？
（3）你还能在数轴上表示其他无理数吗？依据是什么？
活动3 知识归纳
1.应用勾股定理的前提是在 直角 三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先 构建直角三角形 ，再利用勾股定理求未知边的长.
注意：①在直角三角形中，已知两边长，利用勾股定理求第三边时，要弄清楚直角边和斜边，没有明确规定时，要 分类讨论 ，以免漏解；
②求几何体表面上两点间的最短距离的方法：把立体图形的表面展开成平面图形，根据“两点之间， 直线 最短”确定路径，然后利用勾股定理进行计算；
③用勾股定理解决折叠问题时，能够重合的线段、角和面积 相等 .
2.实数与数轴上的点是一一对应的，要在数轴上直接标出无理数对应的点比较难，我们可以借助 勾股定理 作出长为（n为大于1的正整数）的线段，进而在数轴上找到表示无理数的点.
活动4 典例赏析及练习
例1 教材第25页 例2.
例2 如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ C ）
A. B. C. D.
例3 如图，长方体的长BE=15 cm，宽AB=10 cm，高AD=20 cm，点M在CH上，且CM=5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？
【答案】解：分三种情况讨论最短距离：
（1）如图①，AM=(cm)；
(2)如图②，AM==25(cm)；
(3)如图③，AM=(cm).
∵＞＞25，
∴需要爬行的最短距离为25cm.
练习：
1.教材第26页 练习第2题.
2.教材第27页 练习第1题.
3.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B′处，点A的对应点为A′，且B′C=3，求AM的长.
【答案】解：如图，连接BM，MB′，设AM=x.
在Rt△ABM中，.
在Rt△MDB′中，.
∵MB＝MB′，
∴，
即92＋x2=(9－x)2＋(9－3)2.
解得x=2.
∴AM=2.
活动5 课堂小结
1.勾股定理的应用.
2.在数轴上表示无理数.
四、作业布置与教学反思
第1课时 勾股定理
一、教学目标
1.经历探索及证明勾股定理的过程，掌握证明勾股定理的方法，体会数形结合的思想.
2.掌握勾股定理的概念，并运用它解决简单的计算题.
二、教学重难点
重点
掌握勾股定理的概念，体会数形结合的思想.
难点
掌握勾股定理的证明方法，并运用它解决问题.
重难点解读
1.勾股定理揭示的是直角三角形的三边的平方关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理.
2.运用勾股定理时，要分清直角边与斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c.若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2.
3.勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积的数量关系，将“形”的问题转化为“数”的问题.
三、教学过程
活动1 旧知回顾
1.回顾直角三角形的相关概念.
2.在直角三角形中， 所对的直角边等于斜边的一半.
3.写出三角形和正方形的面积公式.
活动2 探究新知
1.教材第22页 内容.
提出问题：
（1）观察图17.1-1，你能从中发现什么数量关系？
（2）图17.1-2中三个正方形的面积有什么关系？
（3）什么样的三角形是等腰直角三角形？等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
2.教材第23～24页 内容.
提出问题：
（1）等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，其他的直角三角形也具有这个性质吗？
（2）你能计算图17.1-3中各个正方形的面积吗？
（3）探究SA+SB与SC，的关系，看看能得出什么结论？
（4）你能用不同的方式证明命题1吗？由此你能得出什么定理？
活动3 知识归纳
1.等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的 平方和 .
2.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2+b2=c2 .直角三角形的这种关系称为勾股定理.
活动4 典例赏析及练习
例1 在下列直角三角形中，各边的长如图所示，求出未知边的长度.
【答案】解：根据勾股定理，得
图①：AB===；
图②：AB===.
例2 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DBC=90°，AD=3，AB=4，BC=12，求CD的长.
【答案】解：∵∠BAD=90°，
∴△ADB是直角三角形，
∴BD===5，
∵∠DBC=90 ，
∴△DBC是直角三角形，
∴DC===13.
练习：
1.教材第24页 练习第1题.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a+b=2，c=3，则△ABC的面积是 .
活动5 课堂小结
1.勾股定理的概念和证明方法.
2.利用勾股定理解决问题.
四、作业布置与教学反思
第2课时 勾股定理的应用
一、教学目标
1.熟练运用勾股定理解决实际问题.
2.在运用勾股定理解决实际问题的过程中，体会数学的“转化”思想，把实际问题转化为数学问题.
3.掌握在数轴上表示无理数的方法.
二、教学重难点
重点
1.勾股定理的应用.
2.掌握在数轴上表示无理数的方法.
难点
将实际问题转化成数学问题，并解答.
重难点解读
1.利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明，其主要应用如下：
（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；
（2）已知直角三角形的任意一边，确定另外两边的关系；
（3）证明包含平方关系的几何问题；
（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度.
2.利用勾股定理解题的关键是寻找直角三角形，若不存在直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形.
3.一般地，在数轴上表示无理数，通常是利用勾股定理作图.
三、教学过程
活动1 旧知回顾
1.回顾勾股定理的概念.
2.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边为a，b，c，∠C=90°.
（1）已知a=3，b=4，则c= ；
（2）已知c=25，b=15，则a= ；
（3）已知c=19，a=13，则b= ；（结果保留根号）
（4）已知a∶b=3∶4，c=15，则b= .
活动2 探究新知
1.教材第25页 例1.
提出问题：
（1）木板能横着通过门框吗？竖着呢？为什么？
（2）如果木板斜着拿，能否通过门框？
（3）要使木板能通过门框，需要比较哪些数据的大小？你是怎么想的？
2.教材第26～27页 内容.
提出问题：
（1）你能利用勾股定理证明斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？
（2）我们知道实数都可以在数轴上表示出来，你能在数轴上表示的点吗？
（3）你还能在数轴上表示其他无理数吗？依据是什么？
活动3 知识归纳
1.应用勾股定理的前提是在 直角 三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先 构建直角三角形 ，再利用勾股定理求未知边的长.
注意：①在直角三角形中，已知两边长，利用勾股定理求第三边时，要弄清楚直角边和斜边，没有明确规定时，要 分类讨论 ，以免漏解；
②求几何体表面上两点间的最短距离的方法：把立体图形的表面展开成平面图形，根据“两点之间， 直线 最短”确定路径，然后利用勾股定理进行计算；
③用勾股定理解决折叠问题时，能够重合的线段、角和面积 相等 .
2.实数与数轴上的点是一一对应的，要在数轴上直接标出无理数对应的点比较难，我们可以借助 勾股定理 作出长为（n为大于1的正整数）的线段，进而在数轴上找到表示无理数的点.
活动4 典例赏析及练习
例1 教材第25页 例2.
例2 如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ C ）
A. B. C. D.
例3 如图，长方体的长BE=15 cm，宽AB=10 cm，高AD=20 cm，点M在CH上，且CM=5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？
【答案】解：分三种情况讨论最短距离：
（1）如图①，AM=(cm)；
(2)如图②，AM==25(cm)；
(3)如图③，AM=(cm).
∵＞＞25，
∴需要爬行的最短距离为25cm.
练习：
1.教材第26页 练习第2题.
2.教材第27页 练习第1题.
3.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B′处，点A的对应点为A′，且B′C=3，求AM的长.
【答案】解：如图，连接BM，MB′，设AM=x.
在Rt△ABM中，.
在Rt△MDB′中，.
∵MB＝MB′，
∴，
即92＋x2=(9－x)2＋(9－3)2.
解得x=2.
∴AM=2.
活动5 课堂小结
1.勾股定理的应用.
2.在数轴上表示无理数.
四、作业布置与教学反思