18.1平行四边形 同步练习（含答案）
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文档简介
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人教版八年级下 18.1平行四边形同步练习
一．选择题
1．（2021秋 龙凤区期末）下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
2．（2021秋 龙口市期末）如图， ABCD中，两对角线交于点O，AB⊥AC，AD＝5cm，OC＝2cm，则对角线BD的长为（ ）
A．cm B．8cm C．3cm D．2cm
3．（2021 阳东区模拟）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的一侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝16m，则线段AB的长度是（ ）
A．12m B．10m C．9m D．8m
4．（2021秋 海阳市期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝16，若△BCO的周长为14，则AD的长为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
5．（2021秋 海阳市期末）如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．OA＝OC，AB∥DC B．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC
C．∠ABD＝∠ADB，∠BAO＝∠DCO D．AB＝DC，AD＝BC
6．（2021秋 任城区期末）如图，点O是 ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①OE＝OF；②AE＝BF；③∠DOC＝∠OCD；④∠CFE＝∠DEF，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021秋 海阳市期末）如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
8．（2021春 碑林区校级月考）已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离是（ ）
A．3cm B．7cm C．3cm或7cm D．以上都不对
9．（2021 鞍山二模）在平行四边形ABCD中，∠ADC的角平分线与AB边所在直线交于点E．若AB＝5，BE＝1，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．22 B．16 C．22或18 D．24 或16
10．（2021秋 任城区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
11．（2021秋 让胡路区校级期末）在平行四边形ABCD中，若∠A＝130°，则∠B＝ ，∠C＝ ，∠D＝ ．
12．（2021春 宜兴市月考）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为9cm，则平行四边形ABCD的周长为 ．
13．（2021秋 让胡路区校级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为 ．
14．（2021春 东至县期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为 平方单位．
15．（2020春 江岸区校级月考）在面积为6的平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，作AF⊥CD于F，若AB＝3，BC＝2，则CE+CF的值为 ．
16．（2021秋 任城区校级期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
三．解答题
17．（2021秋 厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，DF．证明：BE＝DF．
18．（2021 于洪区二模）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在CA和AC的延长线上，且AE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．
19．（2021秋 肇源县期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．
20．（2021秋 任城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．
21．（2021秋 南岗区校级月考）如图， ABCD中，点E、F分别为边BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图2，连接BD交AE于点H，交CF于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中新得到的四对全等三角形．
22．（2021秋 南岗区校级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形．
23．（2020秋 农安县期末）【教材呈现】
如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．
【结论应用】
（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F．
（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为 ．
答案与解析
一．选择题
1．（2021秋 龙凤区期末）下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
【解析】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项C符合题意；
D、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
2．（2021秋 龙口市期末）如图， ABCD中，两对角线交于点O，AB⊥AC，AD＝5cm，OC＝2cm，则对角线BD的长为（ ）
A．cm B．8cm C．3cm D．2cm
【解析】解：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝OC＝2cm，BC＝AD＝5cm，
∵AB⊥AC，
∴∠BAO＝90°，
∴AB＝＝＝3（cm），
在Rt△ABO中，由勾股定理得：BO＝＝＝（cm），
∴BD＝2BO＝2（cm），
故选：D．
3．（2021 阳东区模拟）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的一侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝16m，则线段AB的长度是（ ）
A．12m B．10m C．9m D．8m
【解析】解：∵点A、点B分别是CD、DE的中点，
∴AB是△CDE的中位线，
∴AB＝DE＝8（m），
故选：D．
4．（2021秋 海阳市期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝16，若△BCO的周长为14，则AD的长为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵AC+BD＝16，
∴BO+CO＝8，
∵△BCO的周长为14，
∴BC＝6＝AD，
故选：D．
5．（2021秋 海阳市期末）如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．OA＝OC，AB∥DC B．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC
C．∠ABD＝∠ADB，∠BAO＝∠DCO D．AB＝DC，AD＝BC
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选项A不合题意；
∵∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝∠BCD，
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选项B不合题意；
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选项D不合题意；
故选：C．
6．（2021秋 任城区期末）如图，点O是 ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①OE＝OF；②AE＝BF；③∠DOC＝∠OCD；④∠CFE＝∠DEF，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】解：∵ ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，
又∵∠DOC＝∠BOA，
∴选项①成立，选项②，③，④不一定成立，
故选：A．
7．（2021秋 海阳市期末）如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【解析】解：在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BE＝BA，AN＝NE，
同理，CD＝CA，AM＝MD，
∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝，
∴DE＝2MN＝3，
∵BE+CD﹣BC＝DE，
∴AB+AC＝BC+DE＝10，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+7＝17，
故选：A．
8．（2021春 碑林区校级月考）已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离是（ ）
A．3cm B．7cm C．3cm或7cm D．以上都不对
【解析】解：如图，①直线c在a、b外时，
∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为5+2＝7（cm），
②直线c在直线a、b之间时，
∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为5﹣2＝3（cm），
综上所述，a与c的距离为3cm或7cm．
故选：C．
9．（2021 鞍山二模）在平行四边形ABCD中，∠ADC的角平分线与AB边所在直线交于点E．若AB＝5，BE＝1，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．22 B．16 C．22或18 D．24 或16
【解析】解：①如图1，当点E在线段AB上，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，
∴∠CDE＝∠DEA，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠DEA，
∴AD＝AE＝BC，
∵AB＝5，BE＝1，
∴AE＝AD＝4，
∴平行四边形ABCD的周长为2×（AD+AB）＝2×（4+5）＝18．
②如图2，当点E在AB的延长线上时，
同理可得AD＝AE，
∵AB＝5，BE＝1，
∴AE＝AB+BE＝5+1＝6，
∴平行四边形ABCD的周长为2×（AD+AB）＝2×（6+5）＝22．
故选：C．
10．（2021秋 任城区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，32+42＝52，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE＝4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB＝EF＝AD＝3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正确；
过A作AG⊥DF于G，如图所示：
则∠AGD＝90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，
∴AG＝AD＝，
∴S AEFD＝DF AG＝4×＝6，故④错误；
∴错误的个数是1个，
故选：A．
二．填空题
11．（2021秋 让胡路区校级期末）在平行四边形ABCD中，若∠A＝130°，则∠B＝ 50° ，∠C＝ 130° ，∠D＝ 50° ．
【解析】证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝130°，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠A＝50°，∠D＝180°﹣∠A＝50°，
故答案为：50°，130°，50°．
12．（2021春 宜兴市月考）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为9cm，则平行四边形ABCD的周长为 18cm ．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE，
∵△CDE的周长9cm，
即CD+DE+EC＝9cm，
∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝2（BC+CD）＝2（BE+EC+CD）＝2（DE+EC+CD）＝2×9＝18cm．
故答案为：18cm．
13．（2021秋 让胡路区校级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为 10或14 ．
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，
∴CD＝AB＝6，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝6，
同理DE＝DC＝6，
如图1，∵EF＝2，
∴AE＝AF﹣EF＝6﹣2＝4，
∴AD＝BC＝AE+DE＝4+6＝10，
如图2，∵EF＝2，
∴AE＝AF+EF＝6+2＝8，
∴AD＝BC＝AE+DE＝6+8＝14，
综上所述，BC的长为10或14，
故答案为：10或14．
14．（2021春 东至县期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为 7 平方单位．
【解析】解：如图，延长DC和FE交于点G，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠B＝∠ECG，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝×8＝4，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（ASA），
∴BF＝CG，
∵∠B＝60°，
∴∠FEB＝30°，
∴BF＝BE＝2，
∴EF＝2，
∵CG＝BF＝2，CD＝AB＝5，
∴DG＝CD+CG＝5+2＝7，
∵EF⊥AB，AB∥CD，
∴DG⊥FG，
∴S△DEF＝EF DG＝2×7＝7，
故答案为：7．
15．（2020春 江岸区校级月考）在面积为6的平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，作AF⊥CD于F，若AB＝3，BC＝2，则CE+CF的值为 2+或10+5 ．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2，
①如图1中：由平行四边形面积公式得：BC AE＝CD AF＝6，
∴AE＝3，AF＝2，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，
把AB＝3，AE＝3代入上式得：BE＝6＞2，
即E在BC延长线上，
同理可得DF＝4＜3，
即F在DC上（如图1），
∴CE＝6﹣2，CF＝3﹣4，
即CE+CF＝2+；
②如图2中：∵AB＝3，AE＝3，
在△ABE中，由勾股定理得：BE＝6，
同理DF＝4，
∴CE＝6+2，CF＝3+4，
∴CE+CF＝10+5，
∴综上可得：CE+CF＝2+或10+5．
故答案为：2+或10+5．
16．（2021秋 任城区校级期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 4s或s 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【解析】解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，解得t＝，
②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，解得t＝4，
综上所述，t＝4或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：4s或s．
三．解答题
17．（2021秋 厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，DF．证明：BE＝DF．
【解析】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵E，F是对角线AC的三等分点，
∴AE＝CF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF．
18．（2021 于洪区二模）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在CA和AC的延长线上，且AE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA+AE＝OC+CF，
即OE＝OF，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（SAS），
∴DE＝BF．
19．（2021秋 肇源县期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．
【解析】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，
∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12cm，
∴CD＝AC＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝＝＝10（cm），
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．
20．（2021秋 任城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，
由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF⊥BD，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，
∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，
∴100°+x+2x+2x＝180°，
解得：x＝16°，
即∠ABE＝16°．
21．（2021秋 南岗区校级月考）如图， ABCD中，点E、F分别为边BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图2，连接BD交AE于点H，交CF于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中新得到的四对全等三角形．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝DC，AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝∠ABC，∠BAD＝∠DCB，
∵点E、F分别为边BC、AD的中点，
∴AF＝AD，CE＝BC，
∴AF＝CE＝DF＝BE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SAS），
∴∠BAH＝∠DCG；
由（1）知，四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠BHE＝∠CGH＝∠DGF，
∵AD∥BC，
∴∠HBE＝∠GDF，
在△BHE和△DGF中，
，
∴△BHE≌△DGF（AAS），
∵AB∥DC，
∴∠ABH＝∠CDG，
在△ABH和△CDG中，
，
∴△ABH≌△CDG（SAS）．
22．（2021秋 南岗区校级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴∠BEA＝∠DFC，
在△BEA和△DFC中，
，
∴△BEA≌△DFC（AAS），
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）∵△BEA≌△DFC，
∴AE＝CF，
∵AE＝EF，
∴AE＝EF＝CF，
∴S△ADE＝S△DEF＝S△CDF＝S△ABE＝S△BEF＝S△BCF＝S△ABC，
∴S△ABF＝S△BCE＝S△ADF＝S△DCE＝S△ABC，
∵S△ABC＝S平行四边形ABCD，
∴S△ABF＝S△BCE＝S△ADF＝S△DCE＝S△ABC＝×S平行四边形ABCD，
∴S△ABF＝S△BCE＝S△ADF＝S△DCE＝S平行四边形ABCD，
∴图中所有面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形为△ADF，△DCE，△ABF，△BCE．
23．（2020秋 农安县期末）【教材呈现】
如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．
【结论应用】
（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F．
（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为 29° ．
【解析】【教材呈现】证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM＝BC，
同理，PN＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM，
【结论应用】（1）证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM∥BC，
∴∠PMN＝∠F，
同理，∠PNM＝∠AEN，
∵∠PMN＝∠PNM，
∴∠AEN＝∠F；
（2）解：∵PN∥AD，
∴∠PNB＝∠A，
∵∠DPN是△PNB的一个外角，
∴∠DPN＝∠PNB+∠ABD＝∠A+∠ABD，
∵PM∥BC，
∴∠MPD＝∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPN+∠MPD＝∠A+∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABC＝122°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝×（180°﹣122°）＝29°，
∴∠F＝∠PMN＝29°，
故答案为：29°．
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人教版八年级下 18.1平行四边形同步练习
一．选择题
1．（2021秋 龙凤区期末）下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
2．（2021秋 龙口市期末）如图， ABCD中，两对角线交于点O，AB⊥AC，AD＝5cm，OC＝2cm，则对角线BD的长为（ ）
A．cm B．8cm C．3cm D．2cm
3．（2021 阳东区模拟）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的一侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝16m，则线段AB的长度是（ ）
A．12m B．10m C．9m D．8m
4．（2021秋 海阳市期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝16，若△BCO的周长为14，则AD的长为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
5．（2021秋 海阳市期末）如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．OA＝OC，AB∥DC B．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC
C．∠ABD＝∠ADB，∠BAO＝∠DCO D．AB＝DC，AD＝BC
6．（2021秋 任城区期末）如图，点O是 ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①OE＝OF；②AE＝BF；③∠DOC＝∠OCD；④∠CFE＝∠DEF，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021秋 海阳市期末）如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
8．（2021春 碑林区校级月考）已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离是（ ）
A．3cm B．7cm C．3cm或7cm D．以上都不对
9．（2021 鞍山二模）在平行四边形ABCD中，∠ADC的角平分线与AB边所在直线交于点E．若AB＝5，BE＝1，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．22 B．16 C．22或18 D．24 或16
10．（2021秋 任城区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
11．（2021秋 让胡路区校级期末）在平行四边形ABCD中，若∠A＝130°，则∠B＝ ，∠C＝ ，∠D＝ ．
12．（2021春 宜兴市月考）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为9cm，则平行四边形ABCD的周长为 ．
13．（2021秋 让胡路区校级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为 ．
14．（2021春 东至县期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为 平方单位．
15．（2020春 江岸区校级月考）在面积为6的平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，作AF⊥CD于F，若AB＝3，BC＝2，则CE+CF的值为 ．
16．（2021秋 任城区校级期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
三．解答题
17．（2021秋 厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，DF．证明：BE＝DF．
18．（2021 于洪区二模）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在CA和AC的延长线上，且AE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．
19．（2021秋 肇源县期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．
20．（2021秋 任城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．
21．（2021秋 南岗区校级月考）如图， ABCD中，点E、F分别为边BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图2，连接BD交AE于点H，交CF于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中新得到的四对全等三角形．
22．（2021秋 南岗区校级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形．
23．（2020秋 农安县期末）【教材呈现】
如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．
【结论应用】
（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F．
（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为 ．
答案与解析
一．选择题
1．（2021秋 龙凤区期末）下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
【解析】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项C符合题意；
D、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
2．（2021秋 龙口市期末）如图， ABCD中，两对角线交于点O，AB⊥AC，AD＝5cm，OC＝2cm，则对角线BD的长为（ ）
A．cm B．8cm C．3cm D．2cm
【解析】解：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝OC＝2cm，BC＝AD＝5cm，
∵AB⊥AC，
∴∠BAO＝90°，
∴AB＝＝＝3（cm），
在Rt△ABO中，由勾股定理得：BO＝＝＝（cm），
∴BD＝2BO＝2（cm），
故选：D．
3．（2021 阳东区模拟）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的一侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝16m，则线段AB的长度是（ ）
A．12m B．10m C．9m D．8m
【解析】解：∵点A、点B分别是CD、DE的中点，
∴AB是△CDE的中位线，
∴AB＝DE＝8（m），
故选：D．
4．（2021秋 海阳市期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝16，若△BCO的周长为14，则AD的长为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵AC+BD＝16，
∴BO+CO＝8，
∵△BCO的周长为14，
∴BC＝6＝AD，
故选：D．
5．（2021秋 海阳市期末）如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．OA＝OC，AB∥DC B．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC
C．∠ABD＝∠ADB，∠BAO＝∠DCO D．AB＝DC，AD＝BC
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选项A不合题意；
∵∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝∠BCD，
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选项B不合题意；
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选项D不合题意；
故选：C．
6．（2021秋 任城区期末）如图，点O是 ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①OE＝OF；②AE＝BF；③∠DOC＝∠OCD；④∠CFE＝∠DEF，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】解：∵ ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，
又∵∠DOC＝∠BOA，
∴选项①成立，选项②，③，④不一定成立，
故选：A．
7．（2021秋 海阳市期末）如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【解析】解：在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BE＝BA，AN＝NE，
同理，CD＝CA，AM＝MD，
∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝，
∴DE＝2MN＝3，
∵BE+CD﹣BC＝DE，
∴AB+AC＝BC+DE＝10，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+7＝17，
故选：A．
8．（2021春 碑林区校级月考）已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离是（ ）
A．3cm B．7cm C．3cm或7cm D．以上都不对
【解析】解：如图，①直线c在a、b外时，
∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为5+2＝7（cm），
②直线c在直线a、b之间时，
∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为5﹣2＝3（cm），
综上所述，a与c的距离为3cm或7cm．
故选：C．
9．（2021 鞍山二模）在平行四边形ABCD中，∠ADC的角平分线与AB边所在直线交于点E．若AB＝5，BE＝1，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．22 B．16 C．22或18 D．24 或16
【解析】解：①如图1，当点E在线段AB上，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，
∴∠CDE＝∠DEA，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠DEA，
∴AD＝AE＝BC，
∵AB＝5，BE＝1，
∴AE＝AD＝4，
∴平行四边形ABCD的周长为2×（AD+AB）＝2×（4+5）＝18．
②如图2，当点E在AB的延长线上时，
同理可得AD＝AE，
∵AB＝5，BE＝1，
∴AE＝AB+BE＝5+1＝6，
∴平行四边形ABCD的周长为2×（AD+AB）＝2×（6+5）＝22．
故选：C．
10．（2021秋 任城区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，32+42＝52，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE＝4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB＝EF＝AD＝3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正确；
过A作AG⊥DF于G，如图所示：
则∠AGD＝90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，
∴AG＝AD＝，
∴S AEFD＝DF AG＝4×＝6，故④错误；
∴错误的个数是1个，
故选：A．
二．填空题
11．（2021秋 让胡路区校级期末）在平行四边形ABCD中，若∠A＝130°，则∠B＝ 50° ，∠C＝ 130° ，∠D＝ 50° ．
【解析】证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝130°，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠A＝50°，∠D＝180°﹣∠A＝50°，
故答案为：50°，130°，50°．
12．（2021春 宜兴市月考）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为9cm，则平行四边形ABCD的周长为 18cm ．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE，
∵△CDE的周长9cm，
即CD+DE+EC＝9cm，
∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝2（BC+CD）＝2（BE+EC+CD）＝2（DE+EC+CD）＝2×9＝18cm．
故答案为：18cm．
13．（2021秋 让胡路区校级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为 10或14 ．
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，
∴CD＝AB＝6，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝6，
同理DE＝DC＝6，
如图1，∵EF＝2，
∴AE＝AF﹣EF＝6﹣2＝4，
∴AD＝BC＝AE+DE＝4+6＝10，
如图2，∵EF＝2，
∴AE＝AF+EF＝6+2＝8，
∴AD＝BC＝AE+DE＝6+8＝14，
综上所述，BC的长为10或14，
故答案为：10或14．
14．（2021春 东至县期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为 7 平方单位．
【解析】解：如图，延长DC和FE交于点G，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠B＝∠ECG，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝×8＝4，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（ASA），
∴BF＝CG，
∵∠B＝60°，
∴∠FEB＝30°，
∴BF＝BE＝2，
∴EF＝2，
∵CG＝BF＝2，CD＝AB＝5，
∴DG＝CD+CG＝5+2＝7，
∵EF⊥AB，AB∥CD，
∴DG⊥FG，
∴S△DEF＝EF DG＝2×7＝7，
故答案为：7．
15．（2020春 江岸区校级月考）在面积为6的平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，作AF⊥CD于F，若AB＝3，BC＝2，则CE+CF的值为 2+或10+5 ．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2，
①如图1中：由平行四边形面积公式得：BC AE＝CD AF＝6，
∴AE＝3，AF＝2，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，
把AB＝3，AE＝3代入上式得：BE＝6＞2，
即E在BC延长线上，
同理可得DF＝4＜3，
即F在DC上（如图1），
∴CE＝6﹣2，CF＝3﹣4，
即CE+CF＝2+；
②如图2中：∵AB＝3，AE＝3，
在△ABE中，由勾股定理得：BE＝6，
同理DF＝4，
∴CE＝6+2，CF＝3+4，
∴CE+CF＝10+5，
∴综上可得：CE+CF＝2+或10+5．
故答案为：2+或10+5．
16．（2021秋 任城区校级期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 4s或s 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【解析】解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，解得t＝，
②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，解得t＝4，
综上所述，t＝4或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：4s或s．
三．解答题
17．（2021秋 厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，DF．证明：BE＝DF．
【解析】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵E，F是对角线AC的三等分点，
∴AE＝CF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF．
18．（2021 于洪区二模）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在CA和AC的延长线上，且AE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA+AE＝OC+CF，
即OE＝OF，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（SAS），
∴DE＝BF．
19．（2021秋 肇源县期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．
【解析】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，
∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12cm，
∴CD＝AC＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝＝＝10（cm），
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．
20．（2021秋 任城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，
由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF⊥BD，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，
∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，
∴100°+x+2x+2x＝180°，
解得：x＝16°，
即∠ABE＝16°．
21．（2021秋 南岗区校级月考）如图， ABCD中，点E、F分别为边BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图2，连接BD交AE于点H，交CF于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中新得到的四对全等三角形．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝DC，AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝∠ABC，∠BAD＝∠DCB，
∵点E、F分别为边BC、AD的中点，
∴AF＝AD，CE＝BC，
∴AF＝CE＝DF＝BE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SAS），
∴∠BAH＝∠DCG；
由（1）知，四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠BHE＝∠CGH＝∠DGF，
∵AD∥BC，
∴∠HBE＝∠GDF，
在△BHE和△DGF中，
，
∴△BHE≌△DGF（AAS），
∵AB∥DC，
∴∠ABH＝∠CDG，
在△ABH和△CDG中，
，
∴△ABH≌△CDG（SAS）．
22．（2021秋 南岗区校级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴∠BEA＝∠DFC，
在△BEA和△DFC中，
，
∴△BEA≌△DFC（AAS），
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）∵△BEA≌△DFC，
∴AE＝CF，
∵AE＝EF，
∴AE＝EF＝CF，
∴S△ADE＝S△DEF＝S△CDF＝S△ABE＝S△BEF＝S△BCF＝S△ABC，
∴S△ABF＝S△BCE＝S△ADF＝S△DCE＝S△ABC，
∵S△ABC＝S平行四边形ABCD，
∴S△ABF＝S△BCE＝S△ADF＝S△DCE＝S△ABC＝×S平行四边形ABCD，
∴S△ABF＝S△BCE＝S△ADF＝S△DCE＝S平行四边形ABCD，
∴图中所有面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形为△ADF，△DCE，△ABF，△BCE．
23．（2020秋 农安县期末）【教材呈现】
如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．
【结论应用】
（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F．
（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为 29° ．
【解析】【教材呈现】证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM＝BC，
同理，PN＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM，
【结论应用】（1）证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM∥BC，
∴∠PMN＝∠F，
同理，∠PNM＝∠AEN，
∵∠PMN＝∠PNM，
∴∠AEN＝∠F；
（2）解：∵PN∥AD，
∴∠PNB＝∠A，
∵∠DPN是△PNB的一个外角，
∴∠DPN＝∠PNB+∠ABD＝∠A+∠ABD，
∵PM∥BC，
∴∠MPD＝∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPN+∠MPD＝∠A+∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABC＝122°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝×（180°﹣122°）＝29°，
∴∠F＝∠PMN＝29°，
故答案为：29°．
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