2021-2022学年人教版八年级下 18.2特殊的平行四边形 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版八年级下 18.2特殊的平行四边形 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-10 17:23:39 | ||
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文档简介
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人教版八年级下 18.2特殊的平行四边形同步练习
一．选择题
1．（2021秋 南海区期末）矩形、菱形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
2．（2021秋 南岸区期末）如图，矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝4．则这个矩形的面积为（ ）
A．24 B．48 C．12 D．24
3．（2021秋 长沙县期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CH，CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论不正确的是（ ）
A．AM＝BM B．∠AHC＝90° C．∠ACH＝∠B D．MC＝BC
4．（2021秋 新民市期末）正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对边相等 D．邻边相等
5．（2021秋 太原期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（ ）
A．9.6 B．4.8 C．10 D．5
6．（2021秋 青羊区期末）下列判断正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
7．（2021秋 沙坪坝区期末）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°
8．（2021秋 法库县期中）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（ ）
A．36° B．30° C．27° D．18°
9．（2021秋 海州区期末）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，若AB＝10，AE＝3，则ED的长度为（ ）
A．7 B．2 C． D．
10．（2021秋 呼和浩特期中）如图所示，O为正方形ABCD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到F，使FC＝EC，连结DF交B的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC，则下列结论：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③GH＝BC；④三角形BDF是直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
11．（2021秋 太原期末）添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是 ．
12．（2021秋 兴宁市期末）若矩形ABCD的周长为26cm，对角线的长是cm，则它的面积是 ．
13．（2021秋 朝阳区校级期末）菱形ABCD的周长为，对角线AC和BD相交于点O，AO：BO＝1：2，则菱形ABCD的面积为 ．
14．（2021秋 寿光市期末）如图，菱形ABCD的周长为40，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，若PE+PF＝8，则菱形ABCD的面积为 ．
15．（2021秋 东城区期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为 ；连接CP，线段CP的最小值为 ．
16．（2021春 泰兴市月考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝ ．
三．解答题
17．（2021秋 鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）若∠A＝60°，DE＝2，求BC的长．
18．（2021秋 揭西县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线EF分别与AD、BC交于点E、F，与BD交于点O，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BEDF的面积．
19．（2021秋 会宁县期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
20．（2021秋 寿光市期末）如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（I）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．
21．（2021春 海东市期末）已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PE⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）求证：AP＝CP；
（2）若∠DAP＝30°，PD＝，求CP的长．
22．（2020秋 灵山县期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF，AE与BF相交于点O．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求证：AE⊥BF；
（3）若BE＝2，∠BAE＝30°，求线段AO的长．
23．（2021秋 成都期末）如图，在四边形ABCD中AD∥CB，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与四边形ABCD的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证；四边形ANCM为平行四边形；
（2）当MN平分∠AMC时，
①求证；四边形ANCM为菱形；
②当四边形ABCD是矩形时，若AD＝8，AC＝4，求DM的长．
24．（2021秋 宿豫区期中）（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
25．（2021 滨江区校级开学）已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于点H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1．
①证明：∠DAH＝∠DCH；
②猜想线段CG与EF的关系并说明理由；
（2）取DF中点M，连结MG，若MG＝4，正方形边长为6，求BE的长．
26．（2021春 呈贡区期末）正方形ABCD中，M为射线CD上一点（不与D重合），以CM为边，在正方形ABCD的异侧作正方形CFGM，连接BM，DF，直线BM与DF交于点E．
（1）如图1，若M在CD的延长线上，求证：DF＝BM，DF⊥BM；
（2）如图2，若M移到边CD上．
①在（1）中结论是否仍成立？（直接回答不需证明）
②连接BD，若BD＝BF，且正方形CFGM的边长为1，试求正方形ABCD的周长．
答案与解析
一．选择题
1．（2021秋 南海区期末）矩形、菱形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
【解析】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，
∴矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：B．
2．（2021秋 南岸区期末）如图，矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝4．则这个矩形的面积为（ ）
A．24 B．48 C．12 D．24
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝DO＝4，
∴BD＝8，
∴AD＝＝＝2，
∴矩形的面积＝AB×AD＝12，
故选：C．
3．（2021秋 长沙县期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CH，CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论不正确的是（ ）
A．AM＝BM B．∠AHC＝90° C．∠ACH＝∠B D．MC＝BC
【解析】解：∵∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，
∴AM＝BM＝CM＝AB，故A选项正确，不符合题意；
∠ACH+∠BCH＝90°，
∵CH分别是斜边AB上的高线，
∴CH⊥AB，
∴∠AHC＝∠BHC＝90°，故B选项正确，不符合题意；
∴∠B+∠BCH＝90°，
∴∠ACH＝∠B，故C选项正确，不符合题意；
只有当∠A＝30°时，BC＝AB＝MC，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
4．（2021秋 新民市期末）正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对边相等 D．邻边相等
【解析】解：正方形具有而菱形不一定有的性质是：对角线相等．
故选：B．
5．（2021秋 太原期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（ ）
A．9.6 B．4.8 C．10 D．5
【解析】解：在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，
∴BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，AC⊥BD，
∴BC＝＝＝10，
∵AE⊥BC，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝BC AE，
∴AE＝＝＝9.6，
故选：A．
6．（2021秋 青羊区期末）下列判断正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【解析】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法错误，不符合题意；
B、对角线相等的菱形是正方形，说法正确，符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，说法错误，不符合题意；
故选：B．
7．（2021秋 沙坪坝区期末）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°
【解析】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵AB＝BF＝DE，
∴∠BAF＝∠BFA＝∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∴AE＝AF，
∴∠EAF＝180°﹣2×67.5°＝45°．
故选：C．
8．（2021秋 法库县期中）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（ ）
A．36° B．30° C．27° D．18°
【解析】解：在矩形ABCD中，∠ADC＝90°．
∵∠ADE＝2∠EDC，
∴∠ADE＝60°，∠EDC＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝60°，
∴∠DOC＝180°﹣2×60°＝60°
∴∠BDE＝90°﹣∠DOC＝30°．
故选：B．
9．（2021秋 海州区期末）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，若AB＝10，AE＝3，则ED的长度为（ ）
A．7 B．2 C． D．
【解析】解：如图，连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，AB＝AD，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，
∵EF⊥AB于点F，AE＝3，
∴AF＝EF＝3，
∵AB＝10，
∴BF＝7，
∴BE＝＝，
∴ED＝．
故选：C．
10．（2021秋 呼和浩特期中）如图所示，O为正方形ABCD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到F，使FC＝EC，连结DF交B的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC，则下列结论：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③GH＝BC；④三角形BDF是直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝∠DBC＝45°，∠BCE＝∠DCF＝90°，BC＝DC，
∵EC＝FC，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠EBC＝∠FDC，∠BEC＝∠F，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBH＝∠FBH＝∠FDC＝22.5°，
∴∠BDF＝∠BDC+∠FDC＝45°+22.5°＝67.5°，∠F＝∠BEC＝90°﹣∠EBC＝90°﹣22.5°＝67.5°，故④错误，不符合题意；
∴∠BDF＝∠F，
∴BD＝BF，△BDF是等腰三角形，
∴DH＝HF，即点H是DF的中点，
∴CH＝HF，
∴∠HCF＝∠F＝67.5°，
∴∠CHF＝180°﹣∠HCF﹣∠F＝45°，故②正确，符合题意；
∵O为BD的中点，
∴OH是三角形BDF的中位线，
∴OH∥BF，故①正确，符合题意；
∴GH＝CF，
在正方形ABCD中，BD＝BC，
∴BC＝BD，
∵BF＝BD，CF＝BF﹣BC，
∴CF＝BD﹣BD＝BD，
∴GH＝BD＝×BC＝BC，故③错误，不符合题意；
∴正确的有①②两个，
故选：B．
二．填空题
11．（2021秋 太原期末）添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是 AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一） ．
【解析】解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
或∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
12．（2021秋 兴宁市期末）若矩形ABCD的周长为26cm，对角线的长是cm，则它的面积是 20cm ．
【解析】解：设AB＝xcm，BC＝ycm，
∵矩形周长为26cm，
∴2x+2y＝26，
∴x+y＝13，
∵对角线的长是cm，
∴x2+y2＝129，
∴（x+y）2﹣2xy＝129，
∴132﹣2xy＝129，
∴xy＝20（cm2），
∴矩形面积为20cm2．
故答案为：20cm2．
13．（2021秋 朝阳区校级期末）菱形ABCD的周长为，对角线AC和BD相交于点O，AO：BO＝1：2，则菱形ABCD的面积为 4 ．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，周长为，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD＝，AC＝2AO＝2CO，BD＝2BO＝2DO，
∵AO：BO＝1：2，
设AO＝x，则BO＝2x，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝（）2，
解得：x＝1（负数舍去），
即AO＝1，BO＝2，
∴AC＝2，BD＝4，
∴菱形ABCD的面积是S＝×AC×BD＝×2×4＝4，
故答案为：4．
14．（2021秋 寿光市期末）如图，菱形ABCD的周长为40，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，若PE+PF＝8，则菱形ABCD的面积为 80 ．
【解析】解：连接AP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵菱形ABCD的周长为40，
∴AB＝AD＝10，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴菱形ABCD的面积＝2S△ABD＝2×（S△ABP+S△ADP）＝2（×10PE+×10PF）＝10（PE+PF）＝10×8＝80，
故答案为：80．
15．（2021秋 东城区期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为 90° ；连接CP，线段CP的最小值为 ﹣1 ．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠DAE＝90°，
∴∠APD＝90°，
取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），
根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，
在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，
所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．
故答案为：90°，﹣1．
16．（2021春 泰兴市月考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝ 30°或60° ．
【解析】解：在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝ABC＝40°，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝100°，
∵△ABE是等腰三角形，
∴AE＝BE，或AB＝BE，
当AE＝BE时，
∴∠ABE＝∠BAE＝40°，
∴∠DAE＝100°﹣40°＝60°；
当AB＝BE时，∴∠BAE＝∠AEB＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠DAE＝100°﹣70°＝30°，
综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝30°或60°，
故答案为：30°或60°．
三．解答题
17．（2021秋 鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）若∠A＝60°，DE＝2，求BC的长．
【解析】（1）证明：连接EF，
∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
∴△BCD，△BCE为直角三角形，
∵F是BC的中点，
∴EF＝DF＝BF＝CF＝BC，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵EF＝DF＝BF＝CF＝BC，
∴∠BEF＝∠ABC，∠CDF＝∠ACB，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BFE+∠CFD＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°，
∴∠EFD＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴BC＝2DE＝4．
18．（2021秋 揭西县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线EF分别与AD、BC交于点E、F，与BD交于点O，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BEDF的面积．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
∵EF垂直平分BD，
∴EF⊥BD，BO＝DO，
在△BFO和△DEO中，
，
∴△BFO≌△DEO（AAS），
∴BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）解：由（1）可得，BF＝BE＝ED，∠A＝90°，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∴42+（8﹣BE）2＝BE2，
解得BE＝5，
∴S菱形BEDF＝BF AB＝5×4＝20．
19．（2021秋 会宁县期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵四边形BEDF为菱形，
∴BE＝DE，DB⊥EF，
又∵AB＝8，BC＝4，
设BE＝DE＝x，则AE＝8﹣x，
在Rt△ADE中，42+（8﹣x）2＝x2，
∴x＝5，
∴，
∴，
∴，
∴EF＝2OE＝．
20．（2021秋 寿光市期末）如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（I）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．
【解析】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，
即DF∥AC；
（2）证明：如图所示：
由（1）得：DF∥AC，
∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
在△DFG和△CEG中，
，
∴△DFG≌△CEG（AAS），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵2AB＝BF，
∴2CD＝BF，
又∵EF＝BE，
∴CD＝EF，
∴平行四边形CFDE是矩形．
21．（2021春 海东市期末）已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PE⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）求证：AP＝CP；
（2）若∠DAP＝30°，PD＝，求CP的长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，
又∵DP＝DP，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝CP；
（2）解：∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADP＝∠CDP＝45°，
∵PE⊥DC，
∴∠PED＝∠PEC＝90°，
∴∠DPE＝45°，
∴PE＝DE，
∵且PE2+DE2＝PD2，
∴PE＝1，
∵△ADP≌△CDP，
∴∠DAP＝∠DCP＝30°，
∴CP＝2PE＝2．
22．（2020秋 灵山县期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF，AE与BF相交于点O．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求证：AE⊥BF；
（3）若BE＝2，∠BAE＝30°，求线段AO的长．
【解析】（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠ABC＝90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS）；
（2）证明：∵△ABE≌△BCF，
∴∠AEB＝∠BFC，
∵∠CBF+∠BFC＝90°，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴AE⊥BF；
（3）解：∵BE＝2，∠BAE＝30°，
∴AE＝2BE＝4，
由（1）知，∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE＝30°，
∴∠CBF＝30°，
∴，
∴AO＝AE﹣EO＝3．
23．（2021秋 成都期末）如图，在四边形ABCD中AD∥CB，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与四边形ABCD的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证；四边形ANCM为平行四边形；
（2）当MN平分∠AMC时，
①求证；四边形ANCM为菱形；
②当四边形ABCD是矩形时，若AD＝8，AC＝4，求DM的长．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，O为对角线AC的中点，
∴AO＝CO，∠OAM＝∠OCN，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形；
（2）解：①∵MN平分∠AMC，
∴∠AMN＝∠CMN，
∵AD∥BC，
∴∠AMN＝∠CNM，
∴∠CMN＝∠CNM，
∴CM＝CN，
∴平行四边形ANCM为菱形；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABN＝90°，BC＝AD＝8，
∴AB＝＝＝4，AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，
在Rt△ABN中，根据勾股定理，得
AN2＝AB2+BN2，
∴（8﹣DM）2＝42+DM2，
解得DM＝3．
故DM的长为3．
24．（2021秋 宿豫区期中）（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【解析】解：（1）如图1，
EF＝BE+DF，理由如下：
延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABM＝90°，
又∵BM＝DF，
∴△ADF≌△ABM（SAS），
∴AF＝AM，∠1＝∠2，
∵∠EAF＝45°，
∴∠1+∠3＝45°，
∴∠2+∠3＝∠MAE＝45°＝∠EAF，
又∵AE＝AE，
∴△EAM≌△EAF（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM，
又∵BM＝DF，
∴EF＝EB+DF，
（2）如图2，
EF＝BE+DF，仍然成立，理由如下：
延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠4＝180°，
∴∠D＝∠4，
又∵AB＝AD，BM＝DF，
∴△ADF≌△ABM（SAS），
∴AF＝AM，∠1＝∠2，
∵，
∴∠1+∠3＝∠EAF，
∴∠MAE＝∠2+∠3＝∠EAF，
又∵AE＝AE，
∴△EAM≌△EAF（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM，
又∵BM＝DF，
∴EF＝EB+DF．
25．（2021 滨江区校级开学）已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于点H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1．
①证明：∠DAH＝∠DCH；
②猜想线段CG与EF的关系并说明理由；
（2）取DF中点M，连结MG，若MG＝4，正方形边长为6，求BE的长．
【解析】证明：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝DC，
在△ADH和△CDH中，
，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠DAH＝∠DCH；
②结论：EF＝2CG，理由如下：
∵△DAH≌△DCH，
∴∠DAF＝∠DCH，
∵CG⊥HC，
∴∠FCG+∠DCH＝90°，
∴∠FCG+∠DAF＝90°，
∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴GF＝GC，
∵∠GCE+∠GCF＝90°，∠CFG+∠E＝90°，
∴∠GCE＝∠GCF，
∴CG＝GE，
∴EF＝2CG；
（2）①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．
∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，
∴∠GCE＝∠GEC，
∴EG＝GC＝FG，
∵FG＝GE，FM＝MD，
∴DE＝2MG＝8，
在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，
∴BE＝BC+CE＝6+2；
②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．
同法可知GM是△DEC的中位线，
∴DE＝2GM＝6，
在Rt△DCE中，CE＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝6﹣2
综上所述，BE的长为 6+2或6﹣2．
26．（2021春 呈贡区期末）正方形ABCD中，M为射线CD上一点（不与D重合），以CM为边，在正方形ABCD的异侧作正方形CFGM，连接BM，DF，直线BM与DF交于点E．
（1）如图1，若M在CD的延长线上，求证：DF＝BM，DF⊥BM；
（2）如图2，若M移到边CD上．
①在（1）中结论是否仍成立？（直接回答不需证明）
②连接BD，若BD＝BF，且正方形CFGM的边长为1，试求正方形ABCD的周长．
【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD与四边形CFGM都是正方形，
∴∠BCM＝∠FCD＝90°，BC＝CD，CM＝CF．
在△BCM和△DCF中，
，
∴△BCM≌△DCF（SAS）．
∴DF＝BM，∠CFD＝∠CMB．
∵∠BMC+∠CBM＝90°，
∴∠CBM+∠CFD＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴DF⊥BM；
（2）①成立．
∵四边形ABCD与四边形CFGM都是正方形，
∴∠BCM＝∠FCD＝90°，BC＝CD，CM＝CF．
在△BCM和△DCF中，
，
∴△BCM≌△DCF（SAS）．
∴DF＝BM，∠CFD＝∠CMB．
∵∠BMC+∠CBM＝90°，
∴∠CBM+∠CFD＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴DF⊥BM；
②设正方形ABCD的边长为x，则BC＝CD＝x，
∴BD＝＝x，
∵正方形CFGM的边长为1，
∴BF＝BC+CF＝x+1．
∵BD＝BF，
∴x＝x+1，
∴x＝+1．
∴4x＝4+4．
∴正方形ABCD的周长为4+4．
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人教版八年级下 18.2特殊的平行四边形同步练习
一．选择题
1．（2021秋 南海区期末）矩形、菱形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
2．（2021秋 南岸区期末）如图，矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝4．则这个矩形的面积为（ ）
A．24 B．48 C．12 D．24
3．（2021秋 长沙县期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CH，CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论不正确的是（ ）
A．AM＝BM B．∠AHC＝90° C．∠ACH＝∠B D．MC＝BC
4．（2021秋 新民市期末）正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对边相等 D．邻边相等
5．（2021秋 太原期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（ ）
A．9.6 B．4.8 C．10 D．5
6．（2021秋 青羊区期末）下列判断正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
7．（2021秋 沙坪坝区期末）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°
8．（2021秋 法库县期中）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（ ）
A．36° B．30° C．27° D．18°
9．（2021秋 海州区期末）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，若AB＝10，AE＝3，则ED的长度为（ ）
A．7 B．2 C． D．
10．（2021秋 呼和浩特期中）如图所示，O为正方形ABCD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到F，使FC＝EC，连结DF交B的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC，则下列结论：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③GH＝BC；④三角形BDF是直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
11．（2021秋 太原期末）添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是 ．
12．（2021秋 兴宁市期末）若矩形ABCD的周长为26cm，对角线的长是cm，则它的面积是 ．
13．（2021秋 朝阳区校级期末）菱形ABCD的周长为，对角线AC和BD相交于点O，AO：BO＝1：2，则菱形ABCD的面积为 ．
14．（2021秋 寿光市期末）如图，菱形ABCD的周长为40，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，若PE+PF＝8，则菱形ABCD的面积为 ．
15．（2021秋 东城区期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为 ；连接CP，线段CP的最小值为 ．
16．（2021春 泰兴市月考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝ ．
三．解答题
17．（2021秋 鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）若∠A＝60°，DE＝2，求BC的长．
18．（2021秋 揭西县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线EF分别与AD、BC交于点E、F，与BD交于点O，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BEDF的面积．
19．（2021秋 会宁县期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
20．（2021秋 寿光市期末）如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（I）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．
21．（2021春 海东市期末）已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PE⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）求证：AP＝CP；
（2）若∠DAP＝30°，PD＝，求CP的长．
22．（2020秋 灵山县期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF，AE与BF相交于点O．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求证：AE⊥BF；
（3）若BE＝2，∠BAE＝30°，求线段AO的长．
23．（2021秋 成都期末）如图，在四边形ABCD中AD∥CB，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与四边形ABCD的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证；四边形ANCM为平行四边形；
（2）当MN平分∠AMC时，
①求证；四边形ANCM为菱形；
②当四边形ABCD是矩形时，若AD＝8，AC＝4，求DM的长．
24．（2021秋 宿豫区期中）（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
25．（2021 滨江区校级开学）已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于点H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1．
①证明：∠DAH＝∠DCH；
②猜想线段CG与EF的关系并说明理由；
（2）取DF中点M，连结MG，若MG＝4，正方形边长为6，求BE的长．
26．（2021春 呈贡区期末）正方形ABCD中，M为射线CD上一点（不与D重合），以CM为边，在正方形ABCD的异侧作正方形CFGM，连接BM，DF，直线BM与DF交于点E．
（1）如图1，若M在CD的延长线上，求证：DF＝BM，DF⊥BM；
（2）如图2，若M移到边CD上．
①在（1）中结论是否仍成立？（直接回答不需证明）
②连接BD，若BD＝BF，且正方形CFGM的边长为1，试求正方形ABCD的周长．
答案与解析
一．选择题
1．（2021秋 南海区期末）矩形、菱形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
【解析】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，
∴矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：B．
2．（2021秋 南岸区期末）如图，矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝4．则这个矩形的面积为（ ）
A．24 B．48 C．12 D．24
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝DO＝4，
∴BD＝8，
∴AD＝＝＝2，
∴矩形的面积＝AB×AD＝12，
故选：C．
3．（2021秋 长沙县期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CH，CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论不正确的是（ ）
A．AM＝BM B．∠AHC＝90° C．∠ACH＝∠B D．MC＝BC
【解析】解：∵∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，
∴AM＝BM＝CM＝AB，故A选项正确，不符合题意；
∠ACH+∠BCH＝90°，
∵CH分别是斜边AB上的高线，
∴CH⊥AB，
∴∠AHC＝∠BHC＝90°，故B选项正确，不符合题意；
∴∠B+∠BCH＝90°，
∴∠ACH＝∠B，故C选项正确，不符合题意；
只有当∠A＝30°时，BC＝AB＝MC，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
4．（2021秋 新民市期末）正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对边相等 D．邻边相等
【解析】解：正方形具有而菱形不一定有的性质是：对角线相等．
故选：B．
5．（2021秋 太原期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（ ）
A．9.6 B．4.8 C．10 D．5
【解析】解：在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，
∴BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，AC⊥BD，
∴BC＝＝＝10，
∵AE⊥BC，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝BC AE，
∴AE＝＝＝9.6，
故选：A．
6．（2021秋 青羊区期末）下列判断正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【解析】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法错误，不符合题意；
B、对角线相等的菱形是正方形，说法正确，符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，说法错误，不符合题意；
故选：B．
7．（2021秋 沙坪坝区期末）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°
【解析】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵AB＝BF＝DE，
∴∠BAF＝∠BFA＝∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∴AE＝AF，
∴∠EAF＝180°﹣2×67.5°＝45°．
故选：C．
8．（2021秋 法库县期中）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（ ）
A．36° B．30° C．27° D．18°
【解析】解：在矩形ABCD中，∠ADC＝90°．
∵∠ADE＝2∠EDC，
∴∠ADE＝60°，∠EDC＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝60°，
∴∠DOC＝180°﹣2×60°＝60°
∴∠BDE＝90°﹣∠DOC＝30°．
故选：B．
9．（2021秋 海州区期末）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，若AB＝10，AE＝3，则ED的长度为（ ）
A．7 B．2 C． D．
【解析】解：如图，连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，AB＝AD，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，
∵EF⊥AB于点F，AE＝3，
∴AF＝EF＝3，
∵AB＝10，
∴BF＝7，
∴BE＝＝，
∴ED＝．
故选：C．
10．（2021秋 呼和浩特期中）如图所示，O为正方形ABCD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到F，使FC＝EC，连结DF交B的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC，则下列结论：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③GH＝BC；④三角形BDF是直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝∠DBC＝45°，∠BCE＝∠DCF＝90°，BC＝DC，
∵EC＝FC，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠EBC＝∠FDC，∠BEC＝∠F，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBH＝∠FBH＝∠FDC＝22.5°，
∴∠BDF＝∠BDC+∠FDC＝45°+22.5°＝67.5°，∠F＝∠BEC＝90°﹣∠EBC＝90°﹣22.5°＝67.5°，故④错误，不符合题意；
∴∠BDF＝∠F，
∴BD＝BF，△BDF是等腰三角形，
∴DH＝HF，即点H是DF的中点，
∴CH＝HF，
∴∠HCF＝∠F＝67.5°，
∴∠CHF＝180°﹣∠HCF﹣∠F＝45°，故②正确，符合题意；
∵O为BD的中点，
∴OH是三角形BDF的中位线，
∴OH∥BF，故①正确，符合题意；
∴GH＝CF，
在正方形ABCD中，BD＝BC，
∴BC＝BD，
∵BF＝BD，CF＝BF﹣BC，
∴CF＝BD﹣BD＝BD，
∴GH＝BD＝×BC＝BC，故③错误，不符合题意；
∴正确的有①②两个，
故选：B．
二．填空题
11．（2021秋 太原期末）添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是 AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一） ．
【解析】解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
或∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
12．（2021秋 兴宁市期末）若矩形ABCD的周长为26cm，对角线的长是cm，则它的面积是 20cm ．
【解析】解：设AB＝xcm，BC＝ycm，
∵矩形周长为26cm，
∴2x+2y＝26，
∴x+y＝13，
∵对角线的长是cm，
∴x2+y2＝129，
∴（x+y）2﹣2xy＝129，
∴132﹣2xy＝129，
∴xy＝20（cm2），
∴矩形面积为20cm2．
故答案为：20cm2．
13．（2021秋 朝阳区校级期末）菱形ABCD的周长为，对角线AC和BD相交于点O，AO：BO＝1：2，则菱形ABCD的面积为 4 ．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，周长为，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD＝，AC＝2AO＝2CO，BD＝2BO＝2DO，
∵AO：BO＝1：2，
设AO＝x，则BO＝2x，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝（）2，
解得：x＝1（负数舍去），
即AO＝1，BO＝2，
∴AC＝2，BD＝4，
∴菱形ABCD的面积是S＝×AC×BD＝×2×4＝4，
故答案为：4．
14．（2021秋 寿光市期末）如图，菱形ABCD的周长为40，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，若PE+PF＝8，则菱形ABCD的面积为 80 ．
【解析】解：连接AP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵菱形ABCD的周长为40，
∴AB＝AD＝10，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴菱形ABCD的面积＝2S△ABD＝2×（S△ABP+S△ADP）＝2（×10PE+×10PF）＝10（PE+PF）＝10×8＝80，
故答案为：80．
15．（2021秋 东城区期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为 90° ；连接CP，线段CP的最小值为 ﹣1 ．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠DAE＝90°，
∴∠APD＝90°，
取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），
根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，
在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，
所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．
故答案为：90°，﹣1．
16．（2021春 泰兴市月考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝ 30°或60° ．
【解析】解：在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝ABC＝40°，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝100°，
∵△ABE是等腰三角形，
∴AE＝BE，或AB＝BE，
当AE＝BE时，
∴∠ABE＝∠BAE＝40°，
∴∠DAE＝100°﹣40°＝60°；
当AB＝BE时，∴∠BAE＝∠AEB＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠DAE＝100°﹣70°＝30°，
综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝30°或60°，
故答案为：30°或60°．
三．解答题
17．（2021秋 鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）若∠A＝60°，DE＝2，求BC的长．
【解析】（1）证明：连接EF，
∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
∴△BCD，△BCE为直角三角形，
∵F是BC的中点，
∴EF＝DF＝BF＝CF＝BC，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵EF＝DF＝BF＝CF＝BC，
∴∠BEF＝∠ABC，∠CDF＝∠ACB，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BFE+∠CFD＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°，
∴∠EFD＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴BC＝2DE＝4．
18．（2021秋 揭西县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线EF分别与AD、BC交于点E、F，与BD交于点O，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BEDF的面积．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
∵EF垂直平分BD，
∴EF⊥BD，BO＝DO，
在△BFO和△DEO中，
，
∴△BFO≌△DEO（AAS），
∴BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）解：由（1）可得，BF＝BE＝ED，∠A＝90°，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∴42+（8﹣BE）2＝BE2，
解得BE＝5，
∴S菱形BEDF＝BF AB＝5×4＝20．
19．（2021秋 会宁县期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵四边形BEDF为菱形，
∴BE＝DE，DB⊥EF，
又∵AB＝8，BC＝4，
设BE＝DE＝x，则AE＝8﹣x，
在Rt△ADE中，42+（8﹣x）2＝x2，
∴x＝5，
∴，
∴，
∴，
∴EF＝2OE＝．
20．（2021秋 寿光市期末）如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（I）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．
【解析】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，
即DF∥AC；
（2）证明：如图所示：
由（1）得：DF∥AC，
∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
在△DFG和△CEG中，
，
∴△DFG≌△CEG（AAS），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵2AB＝BF，
∴2CD＝BF，
又∵EF＝BE，
∴CD＝EF，
∴平行四边形CFDE是矩形．
21．（2021春 海东市期末）已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PE⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）求证：AP＝CP；
（2）若∠DAP＝30°，PD＝，求CP的长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，
又∵DP＝DP，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝CP；
（2）解：∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADP＝∠CDP＝45°，
∵PE⊥DC，
∴∠PED＝∠PEC＝90°，
∴∠DPE＝45°，
∴PE＝DE，
∵且PE2+DE2＝PD2，
∴PE＝1，
∵△ADP≌△CDP，
∴∠DAP＝∠DCP＝30°，
∴CP＝2PE＝2．
22．（2020秋 灵山县期末）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF，AE与BF相交于点O．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求证：AE⊥BF；
（3）若BE＝2，∠BAE＝30°，求线段AO的长．
【解析】（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠ABC＝90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS）；
（2）证明：∵△ABE≌△BCF，
∴∠AEB＝∠BFC，
∵∠CBF+∠BFC＝90°，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴AE⊥BF；
（3）解：∵BE＝2，∠BAE＝30°，
∴AE＝2BE＝4，
由（1）知，∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE＝30°，
∴∠CBF＝30°，
∴，
∴AO＝AE﹣EO＝3．
23．（2021秋 成都期末）如图，在四边形ABCD中AD∥CB，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与四边形ABCD的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证；四边形ANCM为平行四边形；
（2）当MN平分∠AMC时，
①求证；四边形ANCM为菱形；
②当四边形ABCD是矩形时，若AD＝8，AC＝4，求DM的长．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，O为对角线AC的中点，
∴AO＝CO，∠OAM＝∠OCN，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形；
（2）解：①∵MN平分∠AMC，
∴∠AMN＝∠CMN，
∵AD∥BC，
∴∠AMN＝∠CNM，
∴∠CMN＝∠CNM，
∴CM＝CN，
∴平行四边形ANCM为菱形；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABN＝90°，BC＝AD＝8，
∴AB＝＝＝4，AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，
在Rt△ABN中，根据勾股定理，得
AN2＝AB2+BN2，
∴（8﹣DM）2＝42+DM2，
解得DM＝3．
故DM的长为3．
24．（2021秋 宿豫区期中）（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【解析】解：（1）如图1，
EF＝BE+DF，理由如下：
延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABM＝90°，
又∵BM＝DF，
∴△ADF≌△ABM（SAS），
∴AF＝AM，∠1＝∠2，
∵∠EAF＝45°，
∴∠1+∠3＝45°，
∴∠2+∠3＝∠MAE＝45°＝∠EAF，
又∵AE＝AE，
∴△EAM≌△EAF（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM，
又∵BM＝DF，
∴EF＝EB+DF，
（2）如图2，
EF＝BE+DF，仍然成立，理由如下：
延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠4＝180°，
∴∠D＝∠4，
又∵AB＝AD，BM＝DF，
∴△ADF≌△ABM（SAS），
∴AF＝AM，∠1＝∠2，
∵，
∴∠1+∠3＝∠EAF，
∴∠MAE＝∠2+∠3＝∠EAF，
又∵AE＝AE，
∴△EAM≌△EAF（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM，
又∵BM＝DF，
∴EF＝EB+DF．
25．（2021 滨江区校级开学）已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于点H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1．
①证明：∠DAH＝∠DCH；
②猜想线段CG与EF的关系并说明理由；
（2）取DF中点M，连结MG，若MG＝4，正方形边长为6，求BE的长．
【解析】证明：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝DC，
在△ADH和△CDH中，
，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠DAH＝∠DCH；
②结论：EF＝2CG，理由如下：
∵△DAH≌△DCH，
∴∠DAF＝∠DCH，
∵CG⊥HC，
∴∠FCG+∠DCH＝90°，
∴∠FCG+∠DAF＝90°，
∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴GF＝GC，
∵∠GCE+∠GCF＝90°，∠CFG+∠E＝90°，
∴∠GCE＝∠GCF，
∴CG＝GE，
∴EF＝2CG；
（2）①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．
∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，
∴∠GCE＝∠GEC，
∴EG＝GC＝FG，
∵FG＝GE，FM＝MD，
∴DE＝2MG＝8，
在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，
∴BE＝BC+CE＝6+2；
②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．
同法可知GM是△DEC的中位线，
∴DE＝2GM＝6，
在Rt△DCE中，CE＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝6﹣2
综上所述，BE的长为 6+2或6﹣2．
26．（2021春 呈贡区期末）正方形ABCD中，M为射线CD上一点（不与D重合），以CM为边，在正方形ABCD的异侧作正方形CFGM，连接BM，DF，直线BM与DF交于点E．
（1）如图1，若M在CD的延长线上，求证：DF＝BM，DF⊥BM；
（2）如图2，若M移到边CD上．
①在（1）中结论是否仍成立？（直接回答不需证明）
②连接BD，若BD＝BF，且正方形CFGM的边长为1，试求正方形ABCD的周长．
【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD与四边形CFGM都是正方形，
∴∠BCM＝∠FCD＝90°，BC＝CD，CM＝CF．
在△BCM和△DCF中，
，
∴△BCM≌△DCF（SAS）．
∴DF＝BM，∠CFD＝∠CMB．
∵∠BMC+∠CBM＝90°，
∴∠CBM+∠CFD＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴DF⊥BM；
（2）①成立．
∵四边形ABCD与四边形CFGM都是正方形，
∴∠BCM＝∠FCD＝90°，BC＝CD，CM＝CF．
在△BCM和△DCF中，
，
∴△BCM≌△DCF（SAS）．
∴DF＝BM，∠CFD＝∠CMB．
∵∠BMC+∠CBM＝90°，
∴∠CBM+∠CFD＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴DF⊥BM；
②设正方形ABCD的边长为x，则BC＝CD＝x，
∴BD＝＝x，
∵正方形CFGM的边长为1，
∴BF＝BC+CF＝x+1．
∵BD＝BF，
∴x＝x+1，
∴x＝+1．
∴4x＝4+4．
∴正方形ABCD的周长为4+4．
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