吉林省长春市实验中学2012-2013学年高二上学期期中考试数学（文）试题

长春市实验中学2012-2013学年高二上学期期中考试
数学（文）试题
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若双曲线－＝1(a＞0)的离心率为2，则a等于 (　　)
A．2 B. C. D．1
2. 某市一次数学竞赛中，某校参加8位参赛学生，其得分茎叶图如图所示，则这八位学生得分的中位数与平均分分别为 （ ）
A.91.5和91.5 B.91.5和92 C..91和91.5 D.92和92
8
9 7
9
6 4 3 2 1 0
3. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是 (　　)
A．y2＝－8x　　　　　　　　　 B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝4x
4. 如图所示的程序框图输出的结果为 （ ）

A.5 B.7 C.9 D.11
5．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为 (　　)
A．2 B．2 C. D．1
6．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7. 命题：“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 （ ）
A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数
C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数
8． 一动点C在曲线x2＋y2＝1上移动时，它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4　　　　　 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(x＋)2＋y2＝1 D．(2x－3)2＋4y2＝1
9. 甲乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，根据两人每次射击的环数制成下列条形图，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于点，若|AB|＝7，则的中点到抛物线准线的距离为 ( )

11. 在椭圆＋＝1内，通过点M(2,1)，且被这点平分的弦所在直线方程的斜率为（ ）

12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝ (　　)
A．4 B．8 C．8 D．16
二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 一个总体为100个个体，随机编号为0，1，2，……99，依编号顺序平均分成10个小组，组号为1，2，3，……10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若在第1组中抽取的号码为6，则在第7组中抽取的号码为___________.
14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1， F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
15. 给出下列四个说法
①将一组数据中的每个数据都加上一个相同的常数后，方差不变;
②线性相关的两个变量x,y的线性回归方程为，则x,y负相关;
③两个变量x,y的相关系数越大，相关性越强，越小相关性越弱;
④线性回归方程对应的直线必过点;
则正确说法的序号为_________________.
16. 已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，
其纵坐标等于短半轴长的，则椭圆的离心率为 。
三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知p：不等式mx2＋1>0的解集是R；q：f(x)＝logmx是减函数．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．
18. （本小题满分12分）
某重点中学开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交的时间为10月1日至30日.评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图）.已知从左到右各长方形的高之比为
2：3：4：6：4：1，第三组的频数
为12，请解答下列问题：
(1)本次活动中共有多少件作品参加评比？
(2)求第四组上交作品数;
(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、
2件获奖，求这两组的获奖率.
19. （本小题满分12分）
如图, 正方形OABC的边长为2.
(1)在其四边或内部取点P(x, y), 且x, y∈Z, 求事件“|OP|>1”的概率；
(2)在其内部取点P(x, y), 且x, y∈R, 求事件“△POA, △PAB, △PBC, △PCO的面积均大于”的概率是.
20.（本小题满分12分）
已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，|AB|＝2，求抛物线方程．
21.（本小题满分12分）
过双曲线－＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求|AB|；
(2)求△AOB的面积；
(3)求证：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆C：＋＝1 (a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点．
(1)当椭圆的半焦距c＝1，且a2，b2，c2成等差数列时，求椭圆的方程；
(2)在(1)的条件下，求弦AB的长度；
(3)当椭圆的离心率e满足≤e≤，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，求椭圆长轴长的取值范围．
高二上期中文科数学答案
三．解答题
17.解：因为不等式mx2＋1>0的解集是R，
所以或m＝0，
解得m≥0，即p：m≥0. 3分
又f(x)＝logmx是减函数，
所以0又p∨q为真，p∧q为假，所以p和q一真一假．
即p为真，q为假；或p为假，q为真．
∴或，得m≥1.
∴m的取值范围是m≥1. 10分
18.解：由题知从左到右每组频率之比也为2：3：4：6：4：1设
设第6组的频率为x,则2x+3x+4x+6x+4x+x=1,∴x=
（1）由于第三组的频率为，设本次参赛作品数为y，，∴y=60,即本次参赛作品有60件……………………………………………………………………… 4分
(2)由于第四组频率为,所以第四组参赛作品数为件……… 8分
（3）由于第六组参赛作品数为件，∴第四组获奖率为，第六组获奖率为 …………………………………………………………………………………12分
19. 解析: (1)在正方形的四边和内部取点P(x, y), 且x, y∈Z, 所有可能的事件是(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), 其中满足|OP|>1的事件是(0,2), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), 所以满足|OP|>1的概率为. 6分
(2)在正方形内部取点, 其总的事件包含的区域面积为4, 由于各边长为2, 所以要使△POA, △PAB, △PBC, △PCO的面积均大于, 应该三角形的高大于, 所以这个区域为每个边长从两端各去掉后剩余的正方形, 其面积为×＝,
所以满足条件的概率为＝. 12分
20. 解：由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上．
故可设抛物线方程为：y2＝ax(a≠0)． 2分
设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，
所以点A与B关于x轴对称，
∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2， 6分
∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4得x2＋3＝4，
∴x＝±1， 8分
∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程，得：
()2＝±a，∴a＝±3. 10分
∴所求抛物线方程是：y2＝3x或y2＝－3x. 12分
注：少一种情况扣4分.也可分类讨论。
21 (1)解　由双曲线的方程得a＝，b＝，∴c＝＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．
直线AB的方程为y＝(x－3)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得5x2＋6x－27＝0.∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·＝·＝.………………………4分
(2)解　直线AB的方程变形为x－3y－3＝0.
∴原点O到直线AB的距离为d＝＝.
∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝. ……………………………… 8分
(3)证明　如图，由双曲线的定义得
|AF2|－|AF1|＝2，|BF1|－|BF2|＝2，
∴|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1| …………………………………………………12分