(共28张PPT)
为了给玲玲一个好的学习环境，爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做作业.爸爸问玲玲：“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子？”玲玲认为正方形桌子更大，可以多堆点书，又可以有足够的位置写字，所以她更喜欢正方形桌子.于是爸爸根据她的喜好为她购置了一张正方形桌子，玲玲量了量课桌的边长为10 dm，你能算出这张桌子的周长和面积吗？
周长：10×4=40（dm）
面积：10×10=100（dm2）
情境引入
如果玲玲直接告诉爸爸：“我想要一张面积约为125 dm2的正方形桌子.” 请问她爸爸能为她购置到满意的桌子吗？
计算正方形的面积必须要知道正方形的边长，根据边长求面积是乘方运算，而根据面积求边长又是什么运算呢？
6.1 平方根
第六章 实 数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时 算术平方根
目标导航
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根;（重点）
2.会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负性．（重点、难点）
讨论
学校要举行美术作品比赛，小欧想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
小欧要裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，由于正方形的面积为边长的平方，而边长不可能为负数，故此画布的边长应为5 dm.
目标导学一：算术平方根
正方形 面积/dm2 1 9 16 36
边长/dm
请完成下表：
1
3
4
6
有时已知一个数，要求这个数的平方，有时已知某数的平方，要求这个数.
规定：0的算术平方根是0.
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根， a的算术平方根记为 ，读作“根号a”,a叫做被开方数.
一、算术平方根的概念
a的算术平方根
互为
逆运算
平方根号
被开方数
读作：根号a
（a≥0)
怎么用符号来表示一个数的算术平方根？
(x≥0)
二、数学符号表示
文字语言：25的算式平方根是______；
符号语言：——— = ———。
5
5
试一试
1.一个正数的算术平方根有几个？
0的算术平方根有一个，是0.
2.0的算术平方有几个？
负数没有算术平方根.
3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根
一个正数的算术平方根有1个
合作与交流：
三、算术平方根的性质
因为 =____，所以____是____的算术平方根,
也可以说____的算术平方根是____.
(2)49的算术平方根是____,整理成算式可写成
________.
(3) 表示的意义是________________.
16
4
16
16
4
7
3的算术平方根
小试身手*1·填空题
请大家直接说出下列各数的算术平方根：
81, 100,
9,
10,
3
答案：
2·口答题
例：求下列各数的算术平方根：
(1)900； (2)1； (3) ；
(4)196； (5)0； (6)106.
解：（1）因为302=900，
所以900的算术平方根是30，
即：
典型例题
(1)900； (2)1； (3) ；
(4)196； (5)0； (6)106.
30
1
算术平方根分别为：
14
0
103
小结：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.这个结论对所有正数都成立.
典型例题
1）16的算术平方根是______;
4
2
一步运算
两步运算
2） 的算术平方根是______;
归纳：注意文字或算术的表述，读清题意，再进行计算，以防误解.
典型例题
1、被开方数a可以取任何数吗？
2、 是什么数？
被开方数a是非负数，即a≥0
一个正数x的平方等于a，正数x叫的a算术平方根，记作x= ，0 的算术平方根是 0
也就是说，
负数不存在算术平方根，
即当a≥0时 有意义；
当a<0 时， 无意义。
是非负数，即 ≥0
目标导学二：算术平方根的双重非负性
非负数有算术平方根，
并且它的算术平方根也是非负数。
算术平方根具有双重非负性
解: 因为|m-1| ≥0， ≥0，又|m-1| + =0,
所以 |m-1| =0， =0，所以m=1,n=-3,
所以m+n=1+(-3)=-2.
例： 若|m-1| + =0,求m+n的值.
归纳：几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根.
典型例题
1、下列各式是否有意义，为什么？
2、下列各式中，x为何值时有意义？
∵-x≥0
∴x≤0
∵x2+1≥0恒成立
∴x为任何数
×
√
√
√
练一练：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 = a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
0的算术平方根是0.
a的算术平方根记作
读作“根号a”
a叫做被开方数
算
术平方根
定义：
表示法：
非负数有算术平方根，并且它的算术平方根也是非负数。
性质：
规定：
课堂小结
A
1、400的算术平方根是（ ）
A 20 B 20
C 40 D 40
检测目标
2、2的算术平方根是（ ）
A 2 B -2
C D
C
检测目标
3、下列说法正确的是（ ）
A任何数都有算数平方根；
B算术平方根等于它本身的数只有零；
C 的算术平方根是 ;
D 正数的算术平方根是正数.
D
检测目标
4．若，则_____。
【详解】
解：∵，
∴x+1=4，即x=3．
故答案为：3
检测目标
5．已知a是最小正整数，b是的算术平方根，则a+b的值是_____。
【详解】
∵a是最小正整数，
∴a=1，
∵=9，b是的算术平方根，
∴b==3，
∴a+b=1+3=4.
故答案为：4
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点(共29张PPT)
（5）(－6
)
2
的算术平方根是＿＿
（4）
10
的算术平方根是＿＿
（3）0.01的算术平方根是＿＿
（2）
9
的算术平方根是＿＿
（1）9的算术平方根是＿＿
（6）算术平方根等于它本身的是＿＿
3
3
0.1
6
0或1
10
(7)
6
1.2
1.5
5
5
知识回顾
6.1 平方根
第六章 实 数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时 用计算器求算术平方根及其大小比较
目标导航
1.会用计算器求算术平方根;
2.掌握算术平方根的估算及大小比较。（重点）
认真阅读课本中6.1.2 用计算器求算术平方根的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
自主研学
羊村建新居喽！
喜羊羊家买了一张边长是1.3米的正方形新桌子，原有的边长是1米的两块台布都不够大了，丢掉又太可惜，于是，喜羊羊想把它们拼成一块正方形大台布。
聪明的你想到什么好主意了吗？
2
2
拼成的大正方形台布能覆盖新桌子吗？
2 有多大？
目标导学一：算术平方根的估算及大小比较
有多大
2
探究
1
4
1
2
2
2
2
看作面积为2的正方形边长，那么……
如果把
1.52=2.25
1.42=1.96
1.32=1.69
1.12=1.21
1.22=1.44
2
等于一点几呢
1.412=1.9881
2
等于一点四几呢
夹逼法
……
1.422=2.0164
夹逼法
无限不循环小数
你知道 有多大吗
是一个无限不循环的小数
小数位数无限,且小数部分不循环
事实上，继续重复上述的过程，可以得到
小数位数无限,且小数部分不循环的小数称为无限不循环小数.
无限不循环小数的概念
例1：估算 -2的值 ( )
A.在1和2之间 B.在2和3之间
C.在3和4之间 D.在4和5之间
解析：因为42<19<52,所以4< <5,所以2< -2<3.
故选B.
典例精析
B
估计一个有理数的算术平方根的近似值，必
须先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间
归纳
链接中考——夹逼法
如图,圆内的多边形周长为3,圆外的多边形周长为3.4,则下列各数与圆的周长最接近的是( )
C
某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2.5倍,它的面积为60 000平方米.
(1)试估算这块荒地的宽约为多少米 (精确到1米)
(2)若在公园中建一个圆形喷水池,其面积为80平方米，该水池的半径是多少 (精确到0.01米)
约为155米
约为5.05米
在估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数a的算术平方根(或其近似数).
a
=
按键顺序：
目标导学二：用计算器求算术平方根
… …
… …
规律：被开方数的小数点向右每移动 位,它的算术平方根的小数点就向右移动 位;被开方数的小数点向左每移动 位,它的算术平方根的小数点就向左移动 位.
(1)利用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律 你能说出其中的道理吗
算术平方根的规律
(2)用计算器计算 (精确到0.001),并利用你在(1)中发现的规律说出 的近似值,你能根据 的值说出 是多少吗
例2 用计算器求下列各式的值：
(1) ； (2) （精确到 ）．
解：(1) 依次按键 3136
显示：56．
∴ ．
(2) 依次按键 2
显示：1.414213562．
∴ ．
利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？你能说出其中的道理吗？
… …
… …
被开方数每扩大100倍，
其算术平方根就扩大10倍
0.25
2.5
25
250
典例精析
例3 通过估算比较下列各组数的大小：
(1) 与1.9； (2) 与1.5.
解：(1)因为5>4，所以 >2，所以 >1.9.
(2)因为6>4，所以 > 2，所以 > =1.5.
比较数的大小，先估计其算术平方根的近似值
归纳
解：设剪出的长方形的两边长分别为3x cm和2x cm，
则有3x 2x=300 ，
6x2=300 ，
x2=50，
因为 50＞49，得 ＞7 ，所以 ＞3×7＝21，
比原正方形的边长更长，这是不可能的．所以，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
故长方形纸片的长为 ，宽为 ．
例4：小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
将两张边长为5 cm的正方形纸片重新剪开并拼接成一个较大的正方形,其边长约为多少 (精确到0.01 cm)
解：较大的正方形的边长为：
即学即练
并不是所有的正数的算术平方根都是有理数,这时我们既可以用“ ”的形式表示,也可以用一个与 的值接近的有理数替代.
是一个无限不循环小数.
课堂小结
1.在计算器上按键 ，下列计算结果正确的是 （ ）
A. 3 B. －3 C. －1 D. 1
B
检测目标
2. 估计 在 ( )
A. 2～3之间 B. 3～4之间
C. 4～5之间 D. 5～6之间
C
检测目标
3.用计算器求出下列各式的值.
， ， ，
解：
检测目标
4.比较大小：
解：∵ 5＞4，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
检测目标
5.将两张边长为5 cm的正方形纸片重新剪开并拼接成一个较大的正方形,其边长约为多少 (精确到0.01 cm)
解：较大的正方形的边长为：
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点(共30张PPT)
（1）32= ，（－3）2= ；
（2） ， ；
（3）0.82= ，（－0.8）2= .
9
0.64
0.64
填空
9
思考：反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这
个数？
温故知新
6.1 平方根
第六章 实 数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第3课时 平方根
（1）了解平方根的概念；掌握平方根的特征．
（2）能利用开平方与平方互为逆运算的关系，
求某些非负数的平方根．
学习重点：平方根的概念．
学习目标
认真阅读课本中6.1.3 平方根的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
自主研学
问题 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
想一想：3和-3有什么特征？
由于 ，
所以这个数是3或-3.
3和-3互为相反数，会不会是巧合呢
目标导学：平方根的定义及性质
根据上面的研究过程填表：
如果我们把 分别叫做
的平方根，你能类比算术
平方根的概念，给出平方根的概念吗？
合作探究
1．归纳平方根的概念
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．这就是说，如果 ，那么x 叫做a的平方根．
-3是 9的平方根
3是9的算术平方根
3也是 9的平方根
3和-3是 9的平方根，
简记 ±3 是9的平方根．
式子读作“9的平方根等于±3”
或“正、负根号9等于±3”
判断题:对的画“√”, 错的画“×”.
(1) 0的平方根是0 ( )
(2) -25的平方根是-5； ( )
(3) -5的平方是25； ( )
(4) 5是25的一个平方根； ( )
(5) 25的平方根是5； ( )
(6) 25的算术平方根是5； ( )
(7) 52的平方根是±5； ( )
(8) (-5)2的算术平方根是-5. ( )
√
×
√
×
√
√
×
√
试一试
填空：
求平方
求平方根
开平方与平方是互为逆运算
思考：开平方与平方是什么关系？
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
2．认识开平方运算
例1：求下列各数的平方根：
（1）100； （2） ； （3）0.25
解:（1）∵(±10)2＝100，
∴100的平方根是±10 ；
（2）∵ ，
∴ 的平方根是 ；
（3）∵(±0.5)2＝0.25，
∴0.25的平方根是±0.5 ．
你能写出一个数，让你的同伴求出它的平方根吗？
1. 144的平方根是什么？
2. 0的平方根是什么？
3.
的平方根是什么？
4. -4有没有平方根？为什么？
0
没有，因为一个数的平方不可能是负数
即学即练
你发现了什么规律？
表示a的正的平方根
表示a的负的平方根
记作
a﹙a≥0﹚的平方根表示为
一个非负数的平方根的表示方法：
(算术平方根)
平方根的数学符号表示
2
根指数
被开方数
请熟悉：
读作：
二次根号m
简写为：
读作：
根号m
（m≥0)
根号
说一说
各表示什么意义？
表示7的正的平方根（即算术平方根）
表示7的负的平方根
表示7的平方根
练习
下列各数有平方根吗？说明理由。
（1）－2；
（2）(－2)2；
（3）－22；
（4）0；
（5）(－2)3；
（6）2
没有
有
没有
没有
有
有
注意：判断一个数有无平方根，要注意这个数的符号。（1）当这个数为正数时，它有两个平方根；
（2）当这个数为0时，它有一个平方根0；
（3）当这个数为负数时，它没有平方根。
思考:
（1）正数的平方根有什么特点？
（2） 0的平方根是多少？
（3）负数有平方根吗？
归纳:（1）正数有两个平方根,它们互为相反数;
（2） 0的平方根是0；
（3）负数没有平方根.
正数的平方根如何表示呢？
正数a的平方根记为
读作: 正、负根号a
表示正数a的算术平方根
表示正数a的负的平方根
与 互为相反数
合作探究
正数的平方根有两个，它们互为相反数；
正数的平方根有什么特点？
0的平方根是多少？
负数有平方根吗？
4．归纳数的平方根的特征
0的平方根就是0 ；
负数没有平方根．
为什么？
我们共学了几种运算呢 这几种运算之间有怎样的关系呢
我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算,乘与除互为逆运算,乘方与开方互为逆运算.
归纳总结
1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
平方根与算术平方根的联系与区别：
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：
1.个数不同：一个正数有两个平方根，
但只有一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为 ，
而算术平方根表示为 .
联系：
归纳总结
例2 读出下列各式，并求它们的值：
例题解析
知道一个数的算术平方根就可以立即写出它的负的平方根
应用提高
求下列各式中的 x：
（1）x2＝25； （2）x2－81=0.
解: (1)∵(±5)2＝25
∴x＝±5
(2) x2＝81
∵(±9)2＝81
∴x＝±9
平方根
平方根的概念
开平方及相关运算
平方根的性质
课堂小结
1.判断下列说法的正误：
（1） 16的平方根是 ±4; ( )
√
（2） ±7是49的平方根 ; ( )
√
（3） 121的平方根是11; ( )
×
（4） －9是81的平方根; ( )
√
（5） 52的平方根是±25; ( )
×
（6） 0的平方根是0. ( )
√
检测目标
2. 下列说法正确的是：（ ）
A. 5是25的一个平方根；
B. 25的平方根是 5；
C. －1的平方根是－1；
D.（－1）2的平方根是－1.
A
检测目标
3.填空.
(1)25的平方根是 ；
(2) = ；
(3) = .
±5
5
5
检测目标
4.求下列各式的值：
解：（1） ；
（2） ；
（3） .
检测目标
5.若 成立, 则 =______
9
分析：∵在式子的 与 均有意义
∴2－x≥0且x－2≥0
∴ x＝2
∴0＋0 ＋y＝3
∴ y＝3
∴ yx＝32＝9
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点
