(共31张PPT)
整数
正整数：如：1，2，3，…
零：0
负整数：如-1，-2，-3，…
分数
正分数：如 , , 5.2, …
负分数如 ， ，-3.5, …
有理数
什么叫有理数？
除了有理数外还有没有其他的数呢？
知识回顾
它是有理数吗？
公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点，即“万物皆数”，一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来，当这一学派的希帕索斯发现边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，即√2不是有理数时，毕达哥拉斯学派感到惶恐不安。由此还引发了一次数学危机……
激趣引入
6.3 实 数
第六章 实 数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时 实 数
目标导航
1.了解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类；
2.熟练掌握实数大小的比较方法；（重点）
3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点 表示无理数.（难点）
问题1 我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？
它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式
目标导学一：实数的概念和分类
问题2 整数能写成小数的形式吗？3可以看成是3.0吗？
可以
思考 由此你可以得到什么结论？
有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
想一想：所有的数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式吗？
π=3.1415926535897932384626…
1.01001000100001…
（两个1之间依次多一个0）
不是.如：
任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
像0.585885888588885…，1.41421356…，2.2360679…0.101001000100001 …等这些数的小数位数都是无限的,而且是不循环的,是无限不循环小数.
（圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数，像上面提到的 等都是无理数)
无限不循环小数叫无理数。
随着人们认识的不断深入，毕达哥拉斯学派逐渐承认 不是有理数，并给出了证明。
下面解读下欧几里得《原本》中的证明方法。
毕达哥拉斯，古希腊数学家，毕达哥拉斯学派的主要代表人物。
为什么不是有理数？
合作探究
不是有理数是真命题
该命题的题设是？结论是？
题设是：有一个数是 ，
结论是：这个数不是有理数。
合作探究
那么，怎么证明真命题呢？
证明真命题一般用反证法。
反证法：通过断定与真命题相反的结论的虚假来确定原命题的真实性的论证方法。
与命题相反的结论是什么？
是有理数
合作探究
假设 为有理数,那么存在两个互质的正整数p,
q,使得:
于是： ，
两边平方得：
由 是偶数，可得 是偶数。而只有偶数的
平方才是偶数，所以p也是偶数。
因此可设 ,代入上式，得： ,
即， .
所以q也是偶数。这样，p, q都是偶数，不互质，
这与假设p, q互质矛盾。
合作探究
这个矛盾说明， 不能写成分数的形式，即 不是有理数。
实际上， 是无限不循环小数。
合作探究
１．圆周率 及一些含有 的数
２．开方开不尽数
３．有一定的规律，但
不循环的无限小数
☆无理数的特征:
注意:带根号的数不一定是无理数
例1：判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
有理数是：
无理数是：
, ,
, ,
典型例题
(1)有限小数是有理数; （ ）
(2)无限小数都是无理数; （ ）
(3)无理数都是无限小数; （ ）
(4)有理数是有限小数. （ ）
例2： 判断题
╳
√
√
╳
在前面的学习中,我们知道,许多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,它们不能化成分数.我们给无限不循环小数起个名字，叫“无理数”.有理数和无理数统称为实数.
知识归纳
实数的概念：
如何按照不同的方法对实数进行分类？
负无理数
负有理数
正无理数
数实
正实数
0
负实数
正有理数
（按概念分类）
（按大小分类）
例3： 把下列各数填入相应的集合内:
π， ，5.2, , 0.808 008 000 8…(相邻两个8之间的0的个数逐次加1）, , , , , , , .
整数集合 … ；
分数集合 … ；
正数集合
… ；
5.2
π
5.2
0.808 008 000 8…(相邻两个8之间的0的个数逐次加1）
典型例题
负数集合 … ；
有理数集合 … ；
无理数集合
… .
π， ，5.2, , 0.808 008 000 8…(相邻两个8之间的0的个数逐次加1）, , , , , , , .
5.2
π
0.808 008 000 8…(相邻两个8之间的0的个数逐次加1）
典型例题
试一试
把下列各数分别填入相应的集合内：
（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
有理数集合
无理数集合
几个的常用近似值：
任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
无限不循环小数叫无理数.
判定一个数是否无理数:
(1)看它是不是无限不循环小数.
（2）所有的有理数都能写成分数形式，但无理数不能；
具体从以下几方面来判断:
(1)开方开不尽的数是无理数;(2) 是无理数;(3)不循环的无限小数（4）无理数与有理数的和、差一定是无理数；(5）无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数；
课堂小结
判断：
1.实数不是有理数就是无理数。（ ）
2.无理数都是无限不循环小数。（ ）
3.无理数都是无限小数。（ ）
4.带根号的数都是无理数。（ ）
5.无理数一定都带根号。（ ）
6.两个无理数之积不一定是无理数。（ ）
7.两个无理数之和一定是无理数。（ ）
×
×
×
检测目标
以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A.面积为25的正方形；
B.面积为 的正方形；
C.面积为8的正方形；
D.面积为1.44的正方形.
C
检测目标
正有理数：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
正无理数：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
正无理数：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
负有理数：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
实数：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
检测目标
请画出实数的分类图。
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点(共29张PPT)
实数分类？
无理数：
无限不循环小数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实 数
（1）按定义分
分数
整数
女孩子
男孩子
妈妈
含开方开不尽的数
有规律但不循环的小数
含有 的数
知识回顾
负实数
正实数
数实
正有理数
负有理数
（2）按性质分
0
正无理数
负无理数
知识回顾
我们知道有理数都可以用数轴上的点来表示,但是数轴上的点是否都表示有理数呢 无理数可以用数轴上的点来表示吗
提出问题
6.3 实 数
第2课时 实数与数轴
人教版七年级数学 下册
目标导航
1.了解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类；
2.熟练掌握实数大小的比较方法；（重点）
3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点 表示无理数.（难点）
思考1： 如图，直径为１个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A点，则数轴上表示点A的数是多少？
因为圆的周长为π,所以数轴上点A表示的数是无理数π.
0
-2
-1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
A
目标导学一：实数与数轴上的点
0
1
2
4
3
-1
-2
问题:边长为1的正方形,对角线长为多少
事实上:每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数.
你能把 在数轴上表示出来吗？请与同桌一起试一试。
合作探究
例1：如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为
和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有( )
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
解析：∵ ≈1.414，∴ 和5.1之间的整数有2，3，4，5， ∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．
C
【方法总结】数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分析，可轻松得出结论．
典型例题
请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来：
0
B
C
4
D
A
-2
E
即学即练
与有理数一样，实数也可以比较大小：
与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
原点
0
正实数
负实数
<
1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
2.两个正数，绝对值大的数较大；
3.两个负数，绝对值大的数反而小.
与有理数一样，在实数范围内：
目标导学二：实数的大小比较
例2 在数轴上表示下列各点，比较它们的大小，
并用“<”连接它们.
-2 -1 0 1 2 3
1
-2
-2< < 1< <
例3 估计 位于（ ）
A.0~1之间 B.1~2之间 C.2~3之间 D.3~4之间
B
熟记一些常见数的算术平方根；或用计算器估计.
归纳
典型例题
例4 比较下列各组数的大小：
解 ： （1）因为 12 < 42，
所以 < 4，
所以 －1< 3；
（2）因为 10 > 32 ，
所以
所以
为什么？
为什么？
例5 实数 a,b 的位置如图
化简 |a + b| – |a – b|
a
0
b
【解】由数轴可知，a+b<0，a－b<0，从而
原式=－(a＋b)－〔－（a－b）〕
= －a－b＋（a－b）
= －a－b＋（a－b）
= －a－b＋a－b
= －2b
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．
例如：
与 互为相反数
与 互为倒数
知识延伸
比较下列各组数里两个数的大小:
(1) ,1.4;(2) , ;(3)-2, .
分析:第(1)题,可以将 ,1.4的大小比较转化为 , 的大小比较;也可以先求出 的近似值,再通过比较它们近似值(取近似值时,注意精确度要相同)的大小,从而比较它们的大小.
＞
＞
＜
即学即练
●思考：当有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？
-π的相反数_____
0的相反数是_____
π
0
π
0
2的相反数是＿＿＿＿；
-2
的相反数是＿＿＿＿ ；
2
0
2.实数的绝对值：
1）一个正实数的绝对值是它本身；2）一个负实数的绝对值是这个负实数的相反数；3）0的绝对值是0本身。实数a的绝对值记作：
●在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样。
1.实数的相反数：
（像有理数的相反数一样在前面加个负号即可）
例6：（1）求 的相反数，
（2）已知 ＝ ，求a.
解：(1)因为 ，3的相反数是-3，所以
的相反数是-3.
(2)因为 ， ,所以a的值是 和 .
求下列各数的相反数和绝对值:
2.5, , , 0 , ,π-3.
解：2.5的相反数是-2.5，绝对值是2.5；
0的相反数是0，绝对值是0；
π-3的相反数是3-π ，绝对值是π-3 .
即学即练
练一练：
π-3.14的相反数是_________
3.14-π
4
每一个有理数都可以用数轴上的点表示；每一个无理数都可以用数轴上的点表示；
数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。
即实数和数轴上的点是一一对应的。
在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。
实数与数轴上点一一对应
课堂小结
1.下列说法正确的是（ ）
A.a一定是正实数
B. 是有理数
C. 是有理数
D.数轴上任一点都对应一个有理数
B
检测目标
2.已知实数a、b、c在数轴上的位置如图，
化简 的结果是（ ）
A．a+c B．－a－2b+c
C．a+2b－c D． －a－c
A
检测目标
3．若数轴上的A，B，C三点表示的实数分别为a，1，－1，则|a＋1|表示( )
A．A，B两点间的距离
B．A，C两点间的距离
C．A，B两点到原点的距离之和
D．A，C两点到原点的距离之和
B
检测目标
4.有一个数值转换器，原理如下，当输x=81时，输出的y是 （ ）
输入x
取算术平方根
是无理数
输出y
是有理数
A.9 B.3 C. D.±3
C
检测目标
5.若|a-3|=3-a, 则a的取值范围是( )
A a≤3 B a<3
C a≥3 D a>3
A
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点(共23张PPT)
请同学们总结有理数的运算律和运算法则
1.交换律 ： 加法 a+b=b+a
乘法a×b=b×a
2.结合律： 加法（a+b)+c=a+(b+c)
乘法（a×b）c=a（b×c）
3.分配律： a× (b+c)= ab+ ac
由有理数扩展到实数后，这些运算律和法则还适用吗？
知识回顾
6.3 实 数
第3课时 实数的运算
人教版七年级数学 下册
目标导航
1.理解在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义；（重点）
2.掌握实数的运算法则，熟练地利用计算器去解决有关实数的运算问题.（重点）
实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。如果遇到括号， 则先进行括号里的运算
目标导学：实数的运算
填空：设a，b，c是任意实数，则
（1）a+b = （加法交换律）；
（2）(a+b)+c = （加法结合律）；
（3）a+0 = 0+a = ；
（4）a+(-a) = (-a)+a = ；
（5）ab = （乘法交换律）；
（6）(ab)c = （乘法结合律）；
b+a
a+(b+c)
a
0
ba
a(bc)
（7） 1 · a = a · 1 = ；
a
实数的运算
（8）a(b+c) = （乘法对于加法的分配律），
(b+c)a = （乘法对于加法的分配律）；
（9）实数的减法运算规定为a-b = a+ ；
（10）对于每一个非零实数a，存在一个实数b，
满足a·b = b·a =1，我们把b叫作a的＿＿＿＿＿；
（11）实数的除法运算（除数b≠0），规定为
a÷b = a· ；
（12）实数有一条重要性质：如果a ≠ 0，b ≠ 0，
那么ab＿＿＿0.
ab+ac
ba+ca
(-b)
倒数
≠
每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数.0的平方根是0.
在实数范围内，负实数没有平方根.
在实数范围内，每个实数有且只有一个立方根，而且与它本身的符号相同.
实数的平方根与立方根的性质：
此外，前面所学的有关数、式、方程的性质、法则和解法，对于实数仍然成立.
总结归纳
例1 计算（结果保留小数点后两位）：
【方法总结】在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.
例2 计算:
(1)求5的算术平方根与它的立方根之和(结果保留3位有效数字);
(2) (精确到0.01)
解:(1)
(2)
计算下列各式的值:
2
3
2
2
)
1
(
-
(2)｜ ｜
解:
(2)｜ ｜
2
3
2
2
)
1
(
-
即学即练
例3：计算
解：原式=
=18.94427191≈18.94
=
=
=
在实数运算中,当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时,可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数,再进行计算.
总结
做一做
利用计算器计算：
你又发现了什么规律？
0.926
0.926
5
5
＞
≥
5
5
≥
≥
5
5
＞
≥
计算
合作探究
计算:
(1) (2)
(3)
平方差
完全平方
解:(1)
(2)
(3)
在实数范围内,乘法公式仍然适用.
即学即练
(2)混合运算中注意两点:一是运算顺序;二是灵活运用运算律简化计算.
(1)实数的加、减、乘、除、乘方和开方运算:特别注意两个转化:
①减法变加法:减去一个数等于加上这个数的相
反数,即:a-b=a+(-b);
②除法变乘法:除以一个不等于0的数等于乘以这
个数的倒数,即a÷b=a×
课堂小结
1.a,b是实数,下列命题正确的是( )
A.a≠b,则a2≠b2
B.若a2>b2,则a>b
C.若|a|>|b|,则a>b
D.若|a|>|b|,则a2>b2
D
检测目标
2.计算
（1）
（2）
（3）
4
检测目标
3.练一练:计算下列各式的值:
(1) ； (2) .
解：(1)
(2)
检测目标
4:计算
解:
检测目标
说说这节课你学到了什么
有什么体会
有什么感想
收获园地
作 业 ：
1.完成同步练习题
2.背诵知识点
