(共26张PPT)
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示
学习目标
学习目标
重点
课标定位
2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示
理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则
目录
温故知新
01
例题讲解
02
当堂检测
03
课堂小结
04
温故知新
PART 01
复习回顾
问题1：什么是平面向量基本定理？
如果是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的_______向量，_______________实数λ1，λ2，使＝_____________.
有且只有一对
λ1 ＋λ2
不共线
任一
若我们把叫做表示这一平面内 的一个基底
不共线
所有向量
a
e1
e1
e2
e2
a
（一）探索的正交分解
思考：从这个问题中，你认为选取哪组基底对向量进行分解比较简单？
(2)
(1)
分别用给定的一组基底表示同一向量
F1
F2
O
G
把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做向量正交分解.
（二）在平面直角坐标系中向量的坐标表示
思考：如何选择基底，对向量进行分解，来表示向量比较简便呢？
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
4
5
3
{ i, j }
(1)取基底:
设与x轴,y轴正方向相同的两个单位向量
分别为 ，取 作为基底.
i, j
(2)得到实数对：任作一个向量，由平面向量基本定理，有且只有一对实数x、y，使得.我们把(x,y)叫做向量的坐标，记作
思考：类似上一局选取基底，向量向量有什么关系？
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
4
5
3
思考：两个向量,
相等的条件是什么？
思考：两个向量, 相等，终点起点一定相同吗？
相等
不一定
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
4
5
3
思考：点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？？
区别 表示形式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号
意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)
联 系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
例1.用基底,分别表示向量,并求出它们的坐标.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
4
5
3
A
B
请同学们研究此例四个向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点坐标、终点坐标的关系.
一个向量坐标等于该向量终点坐标减去起点坐标
变式：如图，取与轴、轴同向的两个单位向量作为基底，分别用表示，并求出它们的坐标
答:
思考：已知你能得出坐标吗？
（三）向量加减运算的坐标表示
重要结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
答：已知
数学公式 文字语言表述
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
思考：已知A(x1, y1)，B(x2, y2)，你能得出 的坐标吗？
＝ －
＝（x2，y2）－（x1，y1）
＝（x2－x1，y2－y1）
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的
终点的坐标减去起点的坐标
例题讲解
PART 02
例2：已知， 的坐标
解：-1，5）； 5，-3）
变式：若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，
求的坐标.
解：∵
；
∴
例3：如图，已知□ABCD的三个顶点A, B, C的坐标分别是(-2, 1)，(-1, 3)，(3, 4)，求顶点D的坐标．
解法1：设顶点D的坐标为(x，y)．
∵ ＝(-1-(-2),3-1)＝(1,2)，
＝(3-x,4-y)，
又 ＝ ，
∴(1,2)＝(3-x,4-y)．
即 解得
∴顶点D的坐标为(2,2)．
解法2：如图，由向量加法的平行四边形
法则可知
＝ ＋
＝(-2-(-1),1-3)
＋(3-(-1),4-3)＝(3,-1)，
而 ＝ ＋ ＝(-1,3)＋(3,-1) ＝(2,2)，
所以顶点D的坐标为(2，2)．
你能比较一下两种解法在思想方法上的异同点吗？
例3： 如图，已知□ABCD的三个顶点A, B, C的坐标分别是(-2, 1)，(-1, 3)，(3, 4)，求顶点D的坐标．
当堂检测
PART 03
1、设是平面直角坐标系内分别与轴、正方向相同的两个单位向量， 为坐标原点，若 3 ,则的坐标是（ ）
A．(8,11) B．(9,14) C．(7,6) D．(-5,-2)
√
解：由已知条件；
因此
2、已知=(-5，6)，=(-3，2),=(x，y)，若-3 +2 =0，则 等于（ ）
A．(-2，6) B．(-4，0)
C．(7，6) D．(-2，0)
√
解：∵ -3 +2 =0 ，
∴(-5，6)-(-9，6)+(2x，2y)=(0，0)，
即 =(-2，0).
故选：D.
3、已知=(2，1)， =(1，3)若2），则实数对（ ）为（ ）
A．B． C． D．无数对
√
解：∵ =(2，1)， =(1，3) ，
∴ -1，2），
即
故选：B.
待定系数法
4、如图，是圆上的三个不同点，且 ， ，则 （ ）．
A． B．
C． D．
√
分析：建立直角坐标系，设圆的半径为1，则可求出的坐标，即可得到向量的坐标，由于不共线，所以利用平面向量基本定理进行求解即可
5、（选做）在扇形中， 为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
√
解：以O为原点,OB所在直线为轴建立平面直角坐标系，
令
∵ ，则B（1，0）
又，则,则
则,又
∴为减函数，故值域为[1,4]
课堂小结
PART 04
课堂小结
谢谢(共30张PPT)
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
学习目标
学习目标
重点
课标定位
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，会根据平面向量的坐标判断向量是否共线.
1. 掌握实数与向量的积的坐标运算法则
进行有关的运算
通过本节课的学习，要求能掌握平面向量的数乘运算，并能解决与共线相关的线性运算及判断.
目录
温故知新
01
例题讲解
02
当堂检测
03
课堂小结
04
温故知新
PART 01
复习回顾
问题1：什么是正交分解？
问题2：向量的加法如何用坐标表示？
运算 坐标表示
和（差） 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2），
a–b=（x1–x2，y1–y2）．
任一向量的坐标 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则 =（x2–x1，y2–y1）．
问题3：两向量共线要满足什么条件？
答：？
（一）探索数乘用坐标表示
猜想： 则
实数与向量积的坐标：
实数与原来相应坐标相乘
答
例题讲解
【例1】已知＝(2，1)， ＝(-3，4)，求3 ＋4 的坐标
解：
例题讲解
【变式】已知向量, 满足- =(1,-5), +2 =(-2,1),则=（ ）
A.(1,2) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(-1,-2)
解：由题意得所以
√
变式：已知= ,B(1,0), =(3,4), =(-1,1)且=3 -2 ,则点A的坐标为( ).
A.(12,10) B.(12,-10) C.(-10,10) D.(-10,-10)
解： =3 -2 =3(3,4)-2(-1,1)=(11,10),即=(11,10),由(1,0)可得出=+=(1,0)+(-11,-10)=(-10,-10)(为坐标原点).
√
例题讲解
思考：我们知道两向量平行的充要条件是存在实数使，
设则向量的充要条件如何用坐标表示呢？
（二）如何用坐标表示两向量平行的情况？
如果用坐标表示，可写为
即
消去，得
这就是说，向量 平行的条件是
思考：两向量平行能否写成？
答：如果两向量平行的条件可以写成
两向量平行的条件为：
思考：设则向量平行的充要条件是
怎样才能保证向量共线呢？
（二）如何用坐标表示两向量共线的情况？
两向量共线的条件为：
且有公共点
例题讲解
PART 02
例2：已知＝(4，2)， ＝(6，y)，且// ，求y.
解：∵ ∴ 解得： =3
例题讲解
变式：已知A,B,C三点共线,且A(-3,6),B(-5,2),若C点的纵坐标为6,则C点的横坐标为 ( )
A.-3 B.9 C.-9 D.3
解：∵选A.设C(x,6),
因为A,B,C三点共线,所以∥ ,
又=(-2,-4), =(x+3,0),
所以-2×0+4(x+3)=0.所以x=-3.
例题讲解
√
已知向量共线求参问题中，参数一般设置在两个位置：
一是在向量坐标中；
二是相关向量用已知两向量的含参关系式表示．
解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示形式，
建立方程（组）求解；
规律总结
例3：已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），
判断A，B，C三点之间的位置关系．
【解析】因为
又
所以
又直线AB，直线AC有公共点A，所以 A，B，C三点共线．
（或者）所以
例题讲解
利用向量解决三点共线问题的思路：
先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ使得两个向量共线，由于两向量过同一点，所以两向量所在的直线必重合，即三点共线．
规律总结
【解析】解法1：（1）当点P是线段P1P2的中点时，设P(x，y)
所以，点P的坐标为
因为
所以
所以
所以
变式： 设P是线段P1P2上的一点，P1，P2的坐标分别是(x1，y1), (x2，y2)．
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
变式： 设P是线段P1P2上的一点，P1，P2的坐标分别是(x1，y1), (x2，y2)．
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
【解析】（1）当点P是线段P1P2的中点时，
所以，点P的坐标为
又
所以
你能比较一下三种解法在思想方法上的异同点吗？
所以，点P的坐标为
【解析】解法3：（1）当点P是线段P1P2的中点时，
变式： 设P是线段P1P2上的一点，P1，P2的坐标分别是(x1，y1), (x2，y2)．
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
变式： 设P是线段P1P2上的一点，P1，P2的坐标分别是(x1，y1), (x2，y2)．
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
当 时，
【解析】（2）点P是线段P1P2的中点时，分两种情况： 或 .
即点P的坐标是 ．
变式： 设P是线段P1P2上的一点，P1，P2的坐标分别是(x1，y1), (x2，y2)．
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
即点P的坐标是 ．
当 时，
【解析】（2）点P是线段P1P2的中点时，分两种情况： 或 .
当堂检测
PART 03
1、以下与向量（1，2）不平行的向量是（ ）
A．（-2，-4） B．（3，6） C．（k+1,2k+2） D．(2,1)
√
解：本题考察向量平行的条件：
2、已知向量＝(3，－4)， ＝(6，－3)， ＝(2m，m＋1)，若∥ ，则实数m的值为（ ）
A． B． C．3 D．－3
√
解： 由题意得：
因为∥ ，所以
所以,所以m=-3。
3、若三点共线,则的值为（ ）
A.1 B. C. D.
√
解： 由题意得：
所以,所以
所以
所以。
4、(选做）设k为实数，若向量， ， ，当k为何值时，A，B，C三点共线？
解：由题设， ＝ － ＝(k－4,7)， ＝ － ＝(6,k－5)，
令 ，得(k－4)(k－5)－6×7＝0，即k2－9k－22＝0， k＝11或－2.
故当k＝11或－2时，A， B， C三点共线.
课堂小结
PART 04
课堂小结
谢谢(共24张PPT)
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
学习目标
学习目标
学习目标
课标定位
2.会运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题；
1.掌握平面向量数量积的坐标表示；
3、通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。
目录
温故知新
01
例题讲解
02
当堂检测
03
课堂小结
04
温故知新
PART 01
复习回顾
问题1：两个平面向量相加、减运算的坐标表示？
问题3：两个平面向量相乘运算法则？
问题2：平面向量与实数相乘的坐标表示？
若
加法
数乘
乘法
（一）两向量数量积的坐标表示
问题1：过对平面向量的数量积以及向量线性坐标运算的学习，你能否已根据两个非零向量＝()， ＝()，用和的坐标表示·
答：因为＝()， ＝()
所以
因为所以==1，
重要结论：
两向量积的坐标表示：
例1：设＝(4，－3)， ＝(5，12)，求·
解：
变式：求， 的夹角θ的余弦值．
解：∵
∴
（二）平面向量坐标表示的几个公式
问题2：设因为＝()， ＝()
小组合作请大家利用平面向量的数量积的坐标表示推导出向量模的坐标表示
问题3：请大家利用平面向量的数量积的坐标表示推导出两向量垂直的坐标表示以及两向量夹角的余弦公式？
答（1）
（2）
所以
（3）
两点间的距离公式
例1：设＝(4，－3)， ＝(5，12)，求·
解：
变式：求， 的夹角θ的余弦值．
解：∵
∴=13
所以
例题讲解
PART 02
例2：已知向量， 若 ,则m =
解：所以；
变式：已知向量 ， ，则与 的夹角=________
解：∵
∴ ，
例3：已知向量，若与的夹角是锐角，则求实数的取值范围；
解：∵与的夹角是锐角
∴，
即， ，
∴
易错
继续分析：若，则解得：
∴，
综上的范围是
你能总结一下这种题型的解题方法吗？
变式：设平面向量， ，若与的夹角为钝角，则求的取值范围.
解：因为与的夹角为钝角， 且不反向， ， 即 解得
当两向量反向时，存在 使即，
解得
所以的取值范围
例4：已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则ABC是什么形状？证明你的猜想.；
解法1：因为
所以
，
所以
所以△ABC是直角三角形
勾股定理逆定理是判断两条直线是否垂直的重要方法之一
例4：已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则ABC是什么形状？证明你的猜想.；
解法2：因为
所以，
于是
所以△ABC是直角三角形
向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一
你能比较一下这两种解题方法的异同吗？
当堂检测
PART 03
1、已知， ，求 （ ）
A．6 B．-6 C．18 D．-18
√
解：
∴
则
2、若向量， ，则向量与的夹角的余弦值为_________
解：
∴
则
∴.
3、已知向量且则（ ）
A． B．0 C．1 D．-1
√
4、若向量，则与的夹角余弦为（ ）
A． B． C． D．
√
5、（选做）在矩形中， 分别在 轴 轴的正半轴上（含原点）滑动,且矩形则的最大值
解：如图所示，设
则，
由于故
其中
故
当即时，等号成立.
故的最大值为6
课堂小结
PART 04
课堂小结
谢谢(共27张PPT)
6.3.1 平面向量的基本定理
01
02
03
课标定位
理解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示平面向量
理解基底的含义，并能判断两个向量能否构成基底
提升数学抽象、直观想象和数学运算素养
目录
自主预习
01
例题讲解
02
当堂检测
03
课堂小结
04
自主预习
01
自主
思考
自主预习
01
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力。如图所示，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力分解为多组大小、方向不同的分力。
由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢？
O
C
A
B
M
N
在平面内任取一点O，作
将 按 的方向分解，你有什么发现？
设 是同一平面内的两个不共线的向量， 是这一平面内与 都不共线的向量.
自主预习
O
C
A
B
M
N
设 是同一平面内的两个不共线的向量， 是这一平面内与 都不共线的向量.
自主预习
追问1：以上向量是否有其他分解方法？
追问2：对于确定的是否唯一？
平面向量基本定理
新知学习
01
如果是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的_______向量，_______________实数λ1，λ2，使＝_____________.
不共线
任一
有且只有一对
λ1 ＋λ2
追问1：对有什么要求？可以是零向量吗？
追问2：如何理解向量的任意性？
追问3：如何理解“有且只有一对实数λ1，λ2 ”？
追问4：如果向量与共线，如何表示？如果是零向量，如何表示？
基底
新知学习
01
若
表示这一平面内 的一个基底
不共线
所有向量
追问6：在平面中，你觉得最方便的基底应该是什么方向？
例题讲解
02
基底的概念
用基底表示向量
例题讲解
02
应用
PPT模板 http:///moban/
题型一：基底的概念
例题讲解
02
PPT模板 http:///moban/
例1：如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）
A.一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
B.一个平面内任意两个向量都可作为两个基底
C.基底向量可以是零向量
D.若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则λ1 =λ2，μ1=μ2.
E.若λe1＋μe2 =0，则λ =μ=0
F.使一确定向量,的实数对（无数多个
ABCDF
题型一：基底的概念
例题讲解
02
PPT模板 http:///moban/
变式1：设是平面内所有向量的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）
A.和
B. 4和
C. 和
D. 和
C
规律总结
2.1
两个向量能否作为一个基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底.
1
一个平面的基底一旦确定,平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来
1
一个平面的基底不是唯一的;同一个向量用不同的基底表示,表达式不一样.
1
题型二：用基底表示向量
例题讲解
02
PPT模板 http:///moban/
例2：已知平行四边形ABCD，点E，F分别是AB，BC的中点（如图所示），
设等于（ ）
A.
B.
C.
D.
A
题型一：用基底表示向量
例题讲解
02
PPT模板 http:///moban/
变式2：如图，在中， ，则 的值为（ ）
A. B.
C. D.
B
规律总结
2.2
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:
1
一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止.三角形法则或平行四边形法则
1
另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解
1
例3：在中， 是直角，CA=CB ，点 D是CB的中点，点E为AB上一点．
（1）设，，当时，请用，来表示
（2）设，当时，求的值.
【解析】（1） ，
（，
∵，∴ ，
，即
又∵ ， ，∴ ，故
题型三：综合运用
例题讲解
03
PPT模板 http:///moban/
题型三：综合运用
例题讲解
03
PPT模板 http:///moban/
变式3：如图，矩形的对角线相交于点O，点E在线段OB上且
若（ ， ），则 ）
A. B. C. D.
【解析】因为四边形为矩形， ，所以，
所以，
因为，所以， ，所以
A
当堂检测
03
1：如果{}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是( )
A.若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B.对空间任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C.λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内
D.对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
题型一：概念
当堂检测
PPT模板 http:///moban/
A
2：在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以
【解析】＝e1－e2
因为D，E，F依次是边AB的四等分点
所以(e1－e2)
所以＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2
题型二：用基底表示向量
当堂检测
PPT模板 http:///moban/
3：在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，BC边上的中点.若=+,求的值.
【解析】设
则
所以
所以＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2
因为不共线，所以 所以
题型三：综合应用
当堂检测
PPT模板 http:///moban/
4：如图，在△ABC 中，，，若＝λ＋μ ，则等于( )
A.
B. 3
C.
D.
题型三：综合应用
当堂检测
PPT模板 http:///moban/
D
课堂小结
04
01
02
03
课标小结
（2）平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的
(1)基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底
（3）平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决
谢谢认真倾听
