2012年下半年期中考试高二年级数学试卷及答案 (理)

2012年下半年期中考试高二年级数学试卷（理科）
命 题 李 平
一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案）
1.设集合M={直线}，集合P={圆}，则集合M∩P中的元素个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或1或2
2.过点（1，2）总可以作两条直线与圆相切，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
3．已知集合。用表示集
合M中的元素个数，若，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
4．若点P是两条异面直线L，M外的任意一点，则 （ ）
过点P有且仅有一条直线与L，M都平行。
过点P有且仅有一条直线与L，M都垂直。
C．过点P有且仅有一条直线与L，M都相交。
D．过点P有且仅有一条直线与L，M都异面。
5．某几何体的一条棱长为，在该几何体的正(主)视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧（左）视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为 （ ）
A． B． C．4 D．
6.点是等腰三角形所在平面外一点， 中，底边的距离为 （ ）
A. B. C. D.
7．直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
8．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为 ( )
A． B． C． D．
9.如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是 （ ）

10.已知三棱锥P—ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足
，，则三棱锥P—ABC的侧面积的最大值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
二填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知空间中线段AB的两个端点坐标分别是A(3，5，—7)，B（—2，4，3），则线段AB在坐标平面YOZ上的射影的长度为。
12.一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，直观图的底角为，两腰和上底边长均为1，则这个平面图形的面积为 。
13．如下图是一个几何体的三视图(单位：m)，则几何体的体积为________。
14.若直线与圆相交于两点，且（其中 为原点），则的值为
15.已知圆M:(x+cosθ)2+(y-sinθ)2=1,直线l:y=kx,下面四个命题:
①对任意实数k与θ,直线l和圆M相切;
②对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点;
③对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l和圆M相切;
④对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l和圆M相切.
其中是真命题的编号为____ 。
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16（本题满分12分）已知两直线,求分别满足下列条件的、的值. (1) 直线过点，并且直线与直线垂直；
(2) 直线与直线平行，并且坐标原点到、的距离相等.
17（本题满分12分）已知点P到两个定点M(－1,0)，N(1,0)的距离的比为。
（1）求证：点P在一定圆上，并求此圆圆心和半径；
（2）若点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程。
18（本题满分12分）.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，
并求出N点到AB和AP的距离．
19（本题满分12分）.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视
图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.
（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为
6的正方体ABCD—A1B1C1D1? 如何组拼？试证明你的结论；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD—A1B1C1D1
的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成二面
角的余弦值.

20、（本题满分13分）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直， 是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°
（1）求证：EF⊥平面BCE；
（2）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，
使得PM//平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明
你的结论；若不存在，请说明理由。
21、（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和
圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
（1）若点M∈⊙ C1, 点N∈⊙C2, 求|MN|的取值范围；
(2)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2 ，求直线l的方程；
(3)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无数多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。
2012年下半年期中考试高二年级数学答题卷（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11、 12、 13、
14、 15、
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明,证明过程及演算步骤）16.
17.
18.
19．
20．
21．
2012年下半年期中考试高二年级数学参考答案（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
B
C
A
A
A
B
A
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11、 12、 13、 12 m3
14、 或； 15、 ②④
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明,证明过程及演算步骤）16. （12分）解：（1） 即 ①
又点在上， ② 由①②解得：
(2)∥且的斜率为. ∴的斜率也存在，即，.
故和的方程可分别表示为：

∵原点到和的距离相等.
∴，解得：或.因此或.
17.（12分） 解：（1）设P点坐标为(x，y)，根据已知条件可得|PM|∶|PN|＝.即＝，整理得x2＋y2－6x＋1＝0.① 圆心坐标为（３，０），半径
（2）设PM的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.
由N到PM的距离为1得＝1，解得k＝±.
∴y＝(x＋1)，② 或y＝－(x＋1)．③
解①②联立方程组可得或
解①③联立方程组可得　或
∴P点坐标为(2＋，＋1)、(2－，－1)、(2＋，－－1)、
(2－，1－)．因此所求直线PN的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
18.（12分） 解：（1）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，
∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.
在△AOE中，AO=1，OE=
∴即AC与PB所成角的余弦值为
（2）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.
连PF，则在Rt△ADF中
设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，
∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC.
∴N点到AB的距离，N点到AP的距离
19．(12分)解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条
侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD是边长为6的
正方形，高为CC1=6，故所求体积是

（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，
故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，
其拼法如图2所示.
证明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的
正方形，于是
故所拼图形成立.
（Ⅲ）设B1E，BC的延长线交于点G，
连结GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，
连结HB1，则B1H⊥AG，故∠B1HB为平面AB1E与
平面ABC所成二面角或其补角的平面角.
在Rt△ABG中，，则
，，
，故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.
．
21、（14分）
解：（1）
(2)由于直线x＝4与圆C1没有交点，则直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，圆心C1到直线的距离为d＝＝.由已知条件：d2＝1，即＝1.整理得48k2＋14k＝0，解得k＝0，或k＝－.
所求直线方程为y＝0，或7x＋24y－28＝0.
(3)设点P(a，b)满足条件，设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，即kx－y＋b－ak＝0，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－(x－a)，即x＋ky－a－kb＝0.根据已知条件得＝，去绝对值整理得(a＋b－2)k＋(a－b－3)＝0或(a－b＋8)k－(a＋b－5)＝0，
则或.解得或.
所以满足条件的点P的坐标是或.