2.3 平行线的性质 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
第二章 平行线与相交线
2.3 平行线的性质
2021-2022学年七年级数学下册（北师大版）
如图，装修工人正在向墙上钉木条.如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a与木条b平行？
根据右图，填空：
①如果∠1＝∠C，
　那么＿＿∥＿＿（ 　　　　　 　 ）
② 如果∠1＝∠B
那么＿＿∥＿＿（ 　　 　　 　 ）
③ 如果∠2＋∠B＝180°，
　那么＿＿∥＿＿（ 　　 ）
E
A
C
D
B
1
2
3
4
AB
CD
EC
BD
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
EC
BD
同旁内角互补,两直线平行
复习引入
判定方法 1 同位角相等，两直线平行.
判定方法 2 内错角相等，两直线平行.
判定方法 3 同旁内角互补，两直线平行.
结 论
平行线的判定
复习引入
两
直
线
平
行
条 件
结 论
？
两条平行线
被第三条直
线所截
同位角？
内错角？
同旁内角？
条 件
结 论
一、两直线平行，同位角相等
两条平行线被第三条直线截得的同位角具有怎样的数量关系？
如图，已知直线 a∥b ，c 是截线.
b
a
c
1
2
3
4
5
6
7
8
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度数
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
100°
80°
100°
80°
100°
80°
100°
80°
∠1，∠2，···，∠8 中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？
由此猜想：
两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系？
相等
b
a
c
1
2
3
4
5
6
7
8
再任意画一条截线 d，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？
b
a
c
1
2
3
4
5
6
7
8
d
成立
性质 1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
例1 如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，∠1＝
70°，则∠2的大小是(　　)
A．20°　
B．50°
　C．70°　
D．110°
导引：观察图形可以把求∠2转化为求∠2的对顶角
来解，因为∠2的对顶角与∠1是同位角，而
直线a∥b，所以∠2＝∠1＝70°.
C
例2 如图，若AB∥CD，且∠1＝∠2，试判断AM
与CN的位置关系，并说明
理由．
导引：AM与CN的位置关系很显然
是平行，要说明AM∥CN，
可考虑说明∠EAM＝∠ECN. 因为∠1＝∠2，
所以只需说明∠BAE＝∠ACD即可，由于“两
直线平行，同位角相等”，所以根据 AB∥CD
即可得出∠BAE＝∠ACD.
解：AM∥CN.
理由：∵AB∥CD(已知)，
∴∠BAE＝∠ACD(两直线平行，同位角相等)．
又∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠EAM＝∠ECN(等式性质)．
∴AM∥CN(同位角相等，两直线平行)．
上一节，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”. 类似地，你能由性质 1 ，推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？
二、两直线平行，内错角相等
根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠2 = ∠3 .
而∠3 与∠1 互为对顶角，所以∠3 =∠1.
所以∠1 = ∠2.
如图，直线 a∥b ，c 是截线，那么 1 与 2 相等吗？为什么？
b
a
c
3
2
1
性质 2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
如图，已知a∥b，小华把三角板
的直角顶点放在直线b上．若∠1＝40°，则∠2
的度数为(　　)
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
D
例3
已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角尺ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为(　　)
A．20°
B．30°
C．45°
D．50°
D
例4
如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C＝25°，则∠A的度数是(　　)
A．25°
B．35°
C．45°
D．50°
D
例5
“同旁内角”的性质：
性质3 两条平行线被第三条直线 所截，同旁内角互补.
三、两直线平行，同旁内角互补
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
表达方式：如图，
因为a∥b(已知)，
所以∠1＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
例6 如图，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝
65°，那么你能说出∠2，∠3，∠4的度数吗？
为什么？
导引：由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1＋∠2＝
180°；由DF∥AB，可得∠3＝∠2，从而得
∠2，∠3，∠4的度数．
解：∵DE∥BC(已知)，
∴∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)，
∠2＋∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∴∠2＝180°－∠1＝180°－65°＝115°.
又∵DF∥AB(已知)，
∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
∴∠3＝115°(等量代换)．
对比平行线的性质和判定方法，你能说出它们的区别吗？
条件 结论
判定 同位角相等 两直线平行
内错角相等 同旁内角互补 性质 两直线平行 同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
例7：如图，三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°.
（1）DE和BC平行吗？为什么？
（2）∠C是多少度？为什么？
解:（1） DE∥BC.理由如下：
∵ ∠ADE=60°，∠B = 60°
∴ ∠ADE=∠B
∴ DE∥BC
(同位角相等，两直线平行 ).
四、平行线的性质和判定及其综合应用
C
A
B
D
E
如图，三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°.
（2）∠C是多少度？为什么？
C
A
B
D
E
解：∠C =40°.理由如下：
由（1）得DE∥BC,
∴ ∠C=∠AED
(两直线平行，同位角相等）
又∵∠AED=40°
∴ ∠C=∠AED =40°.
已知：AB∥CD，∠1 = ∠2.试说明:BE∥CF.
证明：
∵AB ∥ CD
∴∠ABC=∠BCD
（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2
∴∠ABC -∠1=∠BCD- ∠2
即∠3=∠4
∴ BE∥CF
（内错角相等，两直线平行）
练一练
例8：如图，AB∥CD，猜想∠A、∠P 、∠PCD的数量关系，并说明理由.
A
B
C
D
P
E
解：作∠PCE =∠APC,交AB于E.
∴ AP∥CE ∴ ∠AEC=∠A，∠P=∠PCE.
∴ ∠A+∠P=∠PCE+∠AEC,
∵AB∥CD ∴ ∠ECD=∠AEC,
∴∠A+∠P =∠PCE+∠ECD=∠PCD.
还可以怎样作辅助线？
例8：如图，AB∥CD，猜想∠BAP、∠APC 、∠PCD的数量关系，并说明理由.
A
B
C
D
P
E
解法2：作∠APE =∠BAP.
∴ EP∥AB，∵AB∥CD
∴ EP∥CD，∴∠EPC=∠PCD
∴ ∠APE+∠APC= ∠PCD
即∠BAP+∠APC =∠PCD.
例9：如图，若AB//CD，你能确定∠B、∠D与∠BED 的大小关系吗？说说你的看法．
B
D
C
E
A
解：过点E 作EF//AB．
∴∠B=∠BEF．
∵AB//CD．
∴EF//CD．
∴∠D =∠DEF．
∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF
＝∠DEB．
即∠B＋∠D＝∠DEB．
F
如图，AB//CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系 .
变式：
解：过点E 作EF//AB．
∴∠B+∠BEF＝180°．
∵AB//CD．
∴EF//CD．
∴∠D +∠DEF＝180°．
∴∠B＋∠D+∠DEB
＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF
＝360°．
即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．
F
1
如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为(　　)
A．120°
B．100°
C．80°
D．60°
D
练一练
2
如图，已知a∥b，直角三角尺的直角顶点在直线b上，若∠1＝60°，则下列结论错误的是(　　)
A．∠2＝60°
B．∠3＝60°
C．∠4＝120°
D．∠5＝40°
D
图形 已知 结果 理由
a∥b ∠1=∠3
∠2=∠4
a∥b 两直线平行，同旁内角互补
两直线平行，同位角相等
a∥b
两直线平行，内错角相等
∠2+∠3=180°
b
a
c
1
2
3
4
课堂小结
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