2021-2022学年上海市浦东新区多校联考八年级（上）期末数学试卷（word版含解析）

2021-2022学年上海市浦东新区多校联考八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（　　）
A．3，3，3 B．4，8，4 C．6，8，10 D．5，5，5
3．已知正比例函数y＝kx（k≠0），y的值随x的值的增大而减小，那么它和反比例函数y＝﹣（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列命题中，逆命题不正确的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．对顶角相等
C．直角三角形的两个锐角互余
D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
5．如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC，若BC＝10cm，则△DEC的周长为（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
6．在反比例函数y＝的图象上有三点A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、A3（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中，正确的是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
7．已知函数f（x）＝，那么f（2）＝　 　．
8．计算：＝　 　．
9．函数：的定义域是　 　．
10．已知关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 　 　．
11．随着网络购物的兴起，增加了快递公司的业务量．一家今年刚成立的小型快递公司业务量逐月攀升，今年9月份和11月份完成投送的快递件数分别是20万件和24.2万件，若该公司每月投送的快递件数的平均增长率是x，由题意列出关于x的方程：　 　．
12．在实数范围内因式分解：2x2﹣4x﹣1＝　 　．
13．到点A的距离等于6cm的点的轨迹是 　 　．
14．已知：点A坐标为（3，4），点B坐标为（﹣1，1），那么点A和点B两点间的距离是 　 　．
15．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，线段AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，
如果∠EBC＝42°，那么∠A＝　 　．
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，三角形的两个外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠ABE＝　 　．
17．如图，P是正方形ABCD内的一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转到与△CBQ重合，若PB＝5cm，则PQ＝　 　cm．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y＝（k≠0）上，则k的值为　 　．
三、简答题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）
19．计算：．
20．解方程：2y（y﹣2）＝y2﹣2．
21．已知y＝y1+y2，并且y1与x成正比例，y2与x﹣2成反比例．当x＝3时，y＝7；当x＝1时，y＝1，求：y关于x的函数解析式．
22．某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：
“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱AB⊥BC，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长度为8尺，求：绳索AC的长度．
23．初二年级小王同学坚持环保理念，每天骑自行车上学，学校离家3000米．某天，小王上学途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，还是按时赶到了学校、如图描述的是他离家的距离和离家的时间t之间的函数图象，根据图象解决下列问题：
（1）修车时间为 　 　分钟；
（2）到达学校时共用时间 　 　分钟；
（3）小王从离家时到自行车发生故障时，离家的距离S和离家的时间t之间的函数关系式为 　 　，定义域为 　 　；
（4）自行车故障排除后他的平均速度是每分钟 　 　米．
四、解答题（本大题共4小题，第24、25、26每小题6分，第27题9分，共27分）
24．如图，已知△ABC，
（1）根据要求作图，在边BC上求作一点D，使得点D到点AB、AC的距离相等，在边AB上求作一点E，使得点E到A、D的距离相等；（不要求写作法，但需要保留作图痕迹和结论）
（2）在第（1）小题所作的图中，求证：DE∥AC．
25．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB，联结AE交CD与点F，点M是AE的中点，联结CM并延长与AB交于点H．
（1）点F是CD中点时，求证：AE⊥CD；
（2）求证：MH2+HD2＝AM2．
26．如图，在平面直角坐标系内，双曲线y＝（k≠0）上有A，B两点，且与直线y＝ax（a＞0）交于第一象限内的点A，点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，1），过点B作y轴的平行线，交x轴与点C，交直线y＝ax（a＞0）与点D，
（1）求：点D的坐标；
（2）求：△AOB的面积；
（3）在x轴正半轴上是否存在点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出P的坐标．
27．如图，△ABC中，AC＝2，BC＝4，AB＝6．点P是射线CB上的一点（不与点B重合），EF是线段PB的垂直平分线，交PB与点F，交射线AB与点E，联结PE、AP．
（1）求∠B的度数；
（2）当点P在线段CB上时，设EF＝x，△APE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果EF＝1，请直接写出△APE的面积．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】把各个选项化简，判断是否与是同类二次根式即可．
解：A、＝＝，故选项错误；
B、是最简二次根式，故选项错误；
C、＝，故正确；
D、＝，故选项错误．
故选：C．
2．下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（　　）
A．3，3，3 B．4，8，4 C．6，8，10 D．5，5，5
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
解：A．∵32+32＝18，（）2＝18，
∴32+32＝（）2，
∴以3，3，三个数为边长的三角形是直角三角形，
故A不符合题意；
B．∵42+（）2＝64，82＝64，
∴42+（）2＝82，
∴以4，8，三个数为边长的三角形是直角三角形，
故B不符合题意；
C．∵62+82＝100，102＝100，
∴62+82＝102，
∴以6，8，10三个数为边长的三角形是直角三角形，
故B不符合题意；
D．∵52+52＝50，（）2＝75，
∴52+52≠（）2，
∴以5，5，三个数为边长的三角形不是直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
3．已知正比例函数y＝kx（k≠0），y的值随x的值的增大而减小，那么它和反比例函数y＝﹣（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】首先由“y＝kx（k≠0）中y随x的增大而减小”判定k＜0，然后根据k的符号来判断函数y＝﹣所在的象限．
解：∵函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而减小，
∴k＜0，该函数图象经过第二，四象限；
∴函数y＝﹣的图象经过第一、三象限；
故选：C．
4．下列命题中，逆命题不正确的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．对顶角相等
C．直角三角形的两个锐角互余
D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．
解：A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，正确，故本选项错误；
B、逆命题是相等的角是对顶角，为假命题，故本选项正确；
C、逆命题是：若一个三角形两锐角互余，则为直角三角形，正确，故本选项错误；
D、逆命题是：若一个三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方则为直角三角形，正确，故本选项错误．
故选：B．
5．如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC，若BC＝10cm，则△DEC的周长为（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝AD，利用“HL”证明Rt△ABD和Rt△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝AE，然后求出△DEC的周长＝BC，再根据BC＝10cm，即可得出答案．
解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A＝90°，
∴DE＝AD，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴AB＝AE，
∴△DEC的周长＝DE+CD+CE
＝AD+CD+CE，
＝AC+CE，
＝AB+CE，
＝BE+CE，
＝BC，
∵BC＝10cm，
∴△DEC的周长是10cm．
故选：B．
6．在反比例函数y＝的图象上有三点A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、A3（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中，正确的是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】根据反比例函数解析式画出草图，再找出符合条件的点，可以直观的得到答案．
解：如图所示：
根据函数图象可得y2＜y1＜y3，
故选：C．
二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
7．已知函数f（x）＝，那么f（2）＝　﹣1　．
【分析】把x＝2代入函数关系式即可解答．
解：当x＝2时，
f（2）＝＝＝﹣1，
故答案为：﹣1．
8．计算：＝　3﹣　．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
解：＝3﹣．
故答案为：3﹣．
9．函数：的定义域是　x≥2　．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：x﹣2≥0，解得x的范围．
解：根据题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2．
10．已知关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 　m＞﹣且m≠0　．
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得Δ＝9+4m＞0且m≠0，求出m的取值范围即可．
解：∵关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m≠0，
∴9+4m＞0且m≠0，
∴m＞﹣且m≠0，
故答案为：m＞﹣且m≠0．
11．随着网络购物的兴起，增加了快递公司的业务量．一家今年刚成立的小型快递公司业务量逐月攀升，今年9月份和11月份完成投送的快递件数分别是20万件和24.2万件，若该公司每月投送的快递件数的平均增长率是x，由题意列出关于x的方程：　20（1+x）2＝24.2　．
【分析】利用11月份完成投送的快递件数＝9月份完成投送的快递件数×（1+平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得：20（1+x）2＝24.2．
故答案为：20（1+x）2＝24.2．
12．在实数范围内因式分解：2x2﹣4x﹣1＝　2（x﹣）（x﹣）　．
【分析】令原式为0求出x的值，即可确定出因式分解的结果．
解：令2x2﹣4x﹣1＝0，
这里a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵△＝16+8＝24，
∴x＝＝，
则原式＝2（x﹣）（x﹣），
故答案为：2（x﹣）（x﹣）
13．到点A的距离等于6cm的点的轨迹是 　以点A为圆心，6cm为半径的圆　．
【分析】根据圆的定义直接得出答案即可．
解：由题知，到点A的距离等于6cm的点的轨迹是以点A为圆心，6cm为半径的圆，
故答案为：以点A为圆心，6cm为半径的圆．
14．已知：点A坐标为（3，4），点B坐标为（﹣1，1），那么点A和点B两点间的距离是 　5　．
【分析】根据勾股定理、两点间的距离公式计算即可．
解：由勾股定理得：AB＝＝5，
则点A和点B两点间的距离是5，
故答案为：5．
15．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，线段AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，
如果∠EBC＝42°，那么∠A＝　32°　．
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，可得∠A＝∠EBA，且可得∠ABC＝∠C，在△ABC中利用三角形内角和可求得∠A．
解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠A＝∠EBA，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
又∵∠EBC＝42°，
∴∠C＝42°+∠EBA＝42°+∠A，
又∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，
∴∠A+2（42°+∠A）＝180°，
∴∠A＝32°．
故答案为：32°．
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，三角形的两个外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠ABE＝　26°　．
【分析】过点E作EM⊥AB于M、EN⊥BC于N、EO⊥AC于O，根据角平分线的性质即可得出EM＝EO＝EN，结合EM⊥AB于M、EN⊥BC于N，即可得出BE平分∠ABC，再根据角平分线的定义即可得出结论．
解：过点E作EM⊥AB于M、EN⊥BC于N、EO⊥AC于O，如图所示．
∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴EM＝EO，EN＝EO，
∴EM＝EN，
∵EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝26°．
故答案为：26°．
17．如图，P是正方形ABCD内的一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转到与△CBQ重合，若PB＝5cm，则PQ＝　5　cm．
【分析】依题意得，旋转中心为点B，旋转角∠PBQ＝∠ABC＝90°，对应点P、Q到旋转中心的距离相等，即PB＝BQ＝5，可证△BPQ为等腰直角三角形，由勾股定理求PQ．
解：根据旋转的性质可知，∠PBQ＝∠ABC＝90°，PB＝BQ＝5，
∴△BPQ为等腰直角三角形，
由勾股定理，得PQ＝＝5．
故答案为：5．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y＝（k≠0）上，则k的值为　﹣　．
【分析】先过点C作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，构造矩形CDOE，再根据折叠的性质求得AC＝2，∠ACD＝30°，根据直角三角形的性质以及勾股定理，求得AD与CD的长，得出点C的坐标，最后计算反比例函数解析式即可．
解：过点C作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，则CE＝DO，CD＝EO，
∵A（﹣2，0），
∴AO＝2，
由折叠得，AC＝AO＝2，∠CAO＝2∠BAO＝60°，
∴Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝1，CD＝＝，
∴DO＝AO﹣AD＝2﹣1＝1，OE＝，
又∵点C在第二象限，
∴C（﹣1，），
∵点C在双曲线y＝（k≠0）上，
∴k＝﹣1×＝﹣，
故答案为：﹣
三、简答题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）
19．计算：．
【分析】化简二次根式，然后先算乘除，再算加减．
解：原式＝+9×﹣+
＝3+﹣（）+
＝3+﹣﹣+
＝2+．
20．解方程：2y（y﹣2）＝y2﹣2．
【分析】先整理为一般式，再利用公式法求解即可．
解：∵2y（y﹣2）＝y2﹣2，
∴y2﹣4y+2＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝2，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，
则y＝＝2±，
∴y1＝2+，y2＝2﹣．
21．已知y＝y1+y2，并且y1与x成正比例，y2与x﹣2成反比例．当x＝3时，y＝7；当x＝1时，y＝1，求：y关于x的函数解析式．
【分析】设所求的函数解析式为y＝k1x+（k1≠0，k2≠0），再将所给的点代入可求得，即可求函数解析式．
解：设所求的函数解析式为y＝k1x+（k1≠0，k2≠0），
当x＝3时，y＝7；当x＝1时，y＝1，代入y＝k1x+，
∴，
解得，
∴函数解析式是y＝2x+．
22．某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：
“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱AB⊥BC，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长度为8尺，求：绳索AC的长度．
【分析】设AC＝x尺，则AB＝（x﹣3）尺，由勾股定理得出方程（x﹣3）2+82＝x2，解方程即可．
解：设AC＝x尺，则AB＝（x﹣3）尺，
∵AB⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，
由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
即（x﹣3）2+82＝x2，
解得：x＝12（尺），
答：绳索AC的长度是12尺．
23．初二年级小王同学坚持环保理念，每天骑自行车上学，学校离家3000米．某天，小王上学途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，还是按时赶到了学校、如图描述的是他离家的距离和离家的时间t之间的函数图象，根据图象解决下列问题：
（1）修车时间为 　5　分钟；
（2）到达学校时共用时间 　20　分钟；
（3）小王从离家时到自行车发生故障时，离家的距离S和离家的时间t之间的函数关系式为 　S＝150t　，定义域为 　0≤t≤10　；
（4）自行车故障排除后他的平均速度是每分钟 　300　米．
【分析】（1）观察图象，线段AB对应的这段时间为修车时间；
（2）根据C点横坐标为20，得出到达学校时共用时间；
（3）利用待定系数法解答即可；
（4）根据线段BC表示修车后行使情况：5分钟行使了1500米，即可求出行驶速度．
解：（1）由图知，线段AB对应的这段时间为修车时间，
故修车时间为：15﹣10＝5（分钟）；
故答案为：5；
（2）利用C点横坐标为20，得出从家到学校用时20分钟，
故答案为：20；
（3）小王从离家时到自行车发生故障时，离家的距离S和离家的时间t之间的函数关系式为为S＝kt，则10t＝1500，
解得：k＝150，
∴S＝150t（0≤t≤10），
故答案为：S＝150t；0≤t≤10；
（4）线段BC表示修车后行使情况：5分钟行使了1500米，
故速度为1500÷5＝300（米/秒）；
故答案为：300．
四、解答题（本大题共4小题，第24、25、26每小题6分，第27题9分，共27分）
24．如图，已知△ABC，
（1）根据要求作图，在边BC上求作一点D，使得点D到点AB、AC的距离相等，在边AB上求作一点E，使得点E到A、D的距离相等；（不要求写作法，但需要保留作图痕迹和结论）
（2）在第（1）小题所作的图中，求证：DE∥AC．
【分析】（1）由题意可知，D是∠BAC的角平分线与BC的交点，点E是AD的中垂线与AB的交点；
（2）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得∠CAD＝∠ADE，再根据平行线的判定即可求解．
【解答】（1）解：如图所示：
（2）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵EF是AD的中垂线，
∴ED＝EA，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴DE∥AC．
25．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB，联结AE交CD与点F，点M是AE的中点，联结CM并延长与AB交于点H．
（1）点F是CD中点时，求证：AE⊥CD；
（2）求证：MH2+HD2＝AM2．
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出MD＝MC，再利用点F是CD中点，即可得出结论；
（2）根据直角三角形斜边上中线的性质可以得到C，M在线段AD的垂直平分线上，从而得到CH⊥AD，再利用勾股定理得出结论．
【解答】证明：（1）连接MD，
∵DE⊥AB，
∴∠EDA＝90°，
∵M是AE的中点，
∴MD＝AE，
同理可证：CM＝AE，
∴CM＝MD，
∵点F是CD中点，
AE⊥CD；
（2）∵DE⊥AB，
∴∠EDA＝90°，
∵点M是AE的中点，
∴MD＝MA＝AE，
∵CD＝CA，
∴点M，点C在线段AD的垂直平分线上，
∴CM是线段AD的垂直平分线，
∴CH⊥AD，HA＝HD，
∴∠MHA＝90°，
在Rt△MAH中，MH2+HA2＝AM2，
∴MH2+HD2＝AM2．
26．如图，在平面直角坐标系内，双曲线y＝（k≠0）上有A，B两点，且与直线y＝ax（a＞0）交于第一象限内的点A，点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，1），过点B作y轴的平行线，交x轴与点C，交直线y＝ax（a＞0）与点D，
（1）求：点D的坐标；
（2）求：△AOB的面积；
（3）在x轴正半轴上是否存在点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出P的坐标．
【分析】（1）求出直线OA解析式，根据反比例函数确定B点坐标，再根据B点和D点横坐标相同求出D点坐标即可；
（2）连接AB、OB，过A点作AH⊥BD于H，根据S△AOB＝S△OCD﹣S△COB﹣S△ADB计算即可；
（3）分OA＝OP和OA＝AP两种情况分别求出P点坐标即可．
解：（1）∵直线y＝ax（a＞0）与双曲线y＝交于第一象限内的点A（4，2），
∴a＝，
∴直线OA的解析式为y＝x，
∵点B（n，1）在双曲线y＝上，
∴n＝8，
即B（8，1），
由题知D点与B点横坐标相同都为8，
当x＝8时，y＝，
∴D（8，4）；
（2）连接AB、OB，过A点作AH⊥BD于H，
由（1）知C（8，0），B（8，1），D（8，4），A（4，2），
∴OC＝8，CD＝4，BD＝3，BC＝1，AH＝4，
∴S△AOB＝S△OCD﹣S△COB﹣S△ADB＝OC CD﹣OC BC﹣BD AH＝×8×4﹣﹣＝16﹣4﹣6＝6，
即△AOB的面积为6；
（3）存在点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形，分以下两种情况：
①当OA＝OP时，
∵A（4，2），
∴OA＝＝2，
∴OP＝2，
即P（2，0）；
②当OA＝AP时，
OP＝2xA＝2×4＝8，
即P（8，0），
综上，符合条件的B点坐标为（2，0）或（8，0）．
27．如图，△ABC中，AC＝2，BC＝4，AB＝6．点P是射线CB上的一点（不与点B重合），EF是线段PB的垂直平分线，交PB与点F，交射线AB与点E，联结PE、AP．
（1）求∠B的度数；
（2）当点P在线段CB上时，设EF＝x，△APE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果EF＝1，请直接写出△APE的面积．
【分析】（1）先根据勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，再由AC＝BC即可得出答案；
（2）作AD⊥BC，垂足为点D．由直角三角形30°角所对边等于斜边一半知AD＝AB＝3，BE＝2EF＝2x，根据勾股定理知BF＝x，继而由S△APE＝S△APB﹣S△EPB可得出答案．
（3）①当点P在线段BC上时，②当点P在线段CB的延长线上时，由三角形的面积公式可得出答案．
解：（1）在△ABC中，
∵AC＝2，BC＝4，AB＝6，
∴AC2+AB2＝48，BC2＝48，
∴AC2+AB2＝BC2．
∴∠BAC＝90°．
又∵AC＝2，BC＝4，
∴AC＝BC，
∴∠B＝30°．
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为点D．
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，
∴AD＝AB＝3，
同理，BE＝2EF＝2x．
在Rt△EFB中，EF2+FB2＝EB2，
∴BF＝x，
∴BP＝2FB＝2x，
∴S△EPB＝，S△APB＝x，
∴S△APE＝S△APB﹣S△EPB＝3x﹣，
所求的函数解析式为y＝﹣x2+3x，
函数的定义域为0≤x＜．
（3）①当点P在线段BC上时，由（2）可知，S△APE＝S△APB﹣S△EPB
＝3x﹣
＝3﹣
＝2．
②当点P在线段CB的延长线上时，
S△APE＝S△APB+S△EPB
＝3x+
＝3+
＝4．
综合以上可得，△APE的面积为2或4．