人教A版（2019）必修 第二册第六章 平面向量及其应用《天天增分》—6.1平面向量的概念（Word版，含解析）

天天增分——6.1平面向量的概念
一、单选题
1．已知向量，其中，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
2．已知平面上的非零向量，，，下列说法中正确的是（ ）
①若，，则；
②若，则；
③若，则，；
④若，则一定存在唯一的实数，使得.
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
3．已知两个非零单位向量的夹角为，则下列结论不正确的是
A．不存在，使 B．
C．， D．在方向上的投影为
4．下列说法正确的是
A．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上
B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量
C．长度相等的向量叫做相等向量
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
5．已知，，，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在边长为的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
7．已知向量满足，则的最小值是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
8．点是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
9．设非零向量，满足，则
A．⊥ B．
C．∥ D．
10．给出下列四个命题：①若，则；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若,，则；④的充要条件是且.其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．②④
11．下列说法中正确的是(　　)
A．若，则四点构成一个平行四边形
B．若，，则
C．若和都是单位向量，则
D．零向量与任何向量都共线
12．已知等边三角形中，是线段的中点，，垂足为是线段的中点，则
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．已知非零向量、、两两不平行，且，，设，，则______.
14．当向量与任一向量都平行时，向量一定是______.
15．对于任意的两个向量，，规定运算“”为，运算“”为．设，若，则_______．
16．已知非零向量满足，，且，则_____________.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
利用向量坐标求模得方法，用表示，然后利用三角函数分析的最小值
【详解】
因为，
所以，
因为，所以，故的最小值为.
故选A
【点睛】
本题将三角函数与向量综合考察，利用三角函数得有界性，求模长得最值
2．B
【解析】
【分析】
根据向量共线定理判断①④，由模长关系只能说明向量，的长度关系判断②，举反例判断③.
【详解】
对于①，由向量共线定理可知，，则存在唯一的实数，使得，，则存在唯一的实数，使得，由此得出存在唯一的实数，使得，即，则①正确；
对于②，模长关系只能说明向量，的长度关系，与方向无关，则②错误；
对于③，当时，由题意可得，则，不能说明，，则③错误；
由向量共线定理可知，④正确；
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义，属于中档题.
3．D
【解析】
【分析】
A中，由平面向量数量积的定义，判断即可；B中，由平面向量模长的定义，判断即可；C中，根据平面向量数量积与垂直的定义，判断即可；D中，根据单位向量以及向量投影的定义，计算即可；
【详解】
对于A，因为两个非零单位向量所以 ＝1×1×cosθ＝cosθ≤1，∴A正确．
对于B，因为两个非零单位向量＝1，B正确；
对于C，因为两个非零单位向量且 ，所以∴C正确；
对于D，因为两个非零单位向量，所以 在方向上的投影为||cosθ＝cosθ，D错误；
故选D．
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积与单位向量的定义和应用问题，也考查了模长与投影问题，属于基础题．
4．D
【解析】
【详解】
分析：根据题意，结合向量的定义依次分析四个命题，综合即可得答案．详解：
A，若向向量与向量是共线向量，则，或点在同一条直线上，故A错误；
对于B，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相反，故B错误；
对于C，长度相等的向量不一定相等向量，故C错误；
对于D，相等向量是大小相等，方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，正确；
故选D.
点睛：本题考查向量的基本定义，关键是理解向量有关概念的定义．
5．C
【解析】
【分析】
由题意对进行平方可计算，设，的夹角为，由得，由可得的取值范围.
【详解】
∵，，，，，
，
，
设，的夹角为，由得，
∴，
，
设，由得
，
解得或，
，
综上所述，故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的性质及其运算，涉及知识点有向量的模、向量的垂直关系、向量夹角等，属于中等题.
6．C
【解析】
【详解】
将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.又，C(1,1)，所以，
所以，
因为0≤x≤1，所以，
即的取值范围是.
故选C.
点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．
7．D
【解析】
【分析】
由平面向量的坐标运算得：所对应的点B在直线的左边区域含边界或在直线的右边区域含边界，由向量模的几何意义得：的结合意义为与所对应的点A与B的距离，作图观察可得解．
【详解】
不妨设如图所示的直角坐标系，
，，
，
因为，
所以或，
即所对应的点B在直线的左边区域含边界或在直线的右边区域含边界，
又的结合意义为与所对应的点A与B的距离，
由图知：当B位于时，最短，且为1，
故的最小值是1，
故选D．
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算及向量模的几何意义，属中档题．
8．B
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出，由此可判断出的形状.
【详解】
点是所在平面上一点，满足，
则，可得，即，
等式两边平方并化简得，，
因此，是直角三角形.
故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题．
9．A
【解析】
【详解】
由平方得，即，则，故选A.
【点睛】
本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.
10．A
【解析】
【分析】
对于①，根据向量相等的概念分析可知不正确；对于②，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知正确；对于③，根据向量相等的概念分析可知正确；对于④，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知不正确.
【详解】
对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；
对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于且，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；
对于③，若,，则；显然正确，故③正确；
对于④，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不充分条件，故④不正确,
故选：A
【点睛】
关键点点睛：掌握向量相等的概念和充要条件的概念是解题关键.
11．D
【解析】
【分析】
结合向量的性质，对选项逐个分析即可选出答案．
【详解】
对于选项A，四点可能共线，故A不正确；对于选项B，若是零向量，则不一定成立，故B错误；对于选项C，若方向不同，则，故C错误；对于D，零向量与任何向量都共线，正确．
故答案为D.
【点睛】
本题考查了零向量、平行向量、相等向量、单位向量等知识，考查了学生对基础知识的掌握情况．
12．C
【解析】
【分析】
先由中线向量定理得到=，=，再将，，都用基底表示，利用向量相等，求得关系.
【详解】
∵是线段的中点，∴==；
∵是线段的中点，∴=；
又=；
令，
则-=（，
∴，，解得，，∴，
故选C.
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了中线向量定理、向量相等的概念及应用，属于中档题.
13．－3
【解析】
【分析】
先根据向量共线把用和表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解．
【详解】
解：因为非零向量、、两两不平行，且，，
，
，解得
故答案为：．
【点睛】
本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题， 属于基础题.
14．零向量
【解析】
【详解】
由零向量的规定得向量一定是零向量.
点睛：规定零向量与任一向量都平行.
15．
【解析】
设，根据所给运算的定义计算可得.
【详解】
解：设
由，
可得解得
∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查新定义运算，关键是掌握向量的坐标运算，属于基础题.
16．4
【解析】
设,则,以为邻边作平行四边形,则,由已知可得,再利用矩形的几何性质求解即可
【详解】
如图所示,设,则,
以为邻边作平行四边形,则,
由于,故,
所以是直角三角形,,
从而,所以平行四边形是矩形,
根据矩形的对角线相等得,即
故答案为:4
【点睛】
本题考查利用几何性质求向量的模,考查向量的加法,向量的减法的应用
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