人教A版（2019）必修 第二册第六章 平面向量及其应用《天天增分》—6.2平面向量的运算A（Word版，含解析）

天天增分——6.2平面向量的运算A
一、单选题
1．已知单位向量，满足，则（ ）
A． B．5 C．2 D．
2．已知向量、满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知单位向量的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，则、应满足（ ）
A．、都是零向量
B．、是平行向量
C．、中有一个是零向量或、是平行向量
D．是零向量或、是反向向量且满足
5．已知非零向量满足：，则夹角的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知平面向量，若，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面上，是方向相反的单位向量，，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．3
8．在中，，D为中点，则（ ）
A． B． C．16 D．32
9．设向量，，且与的夹角为，，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
10．在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（ ）
A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形
11．已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
12．在正六边形ABCDEF中，点G是线段DE的中点，则（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．在棱长为的正四面体中，是中点，则和所成角的余弦值是________
14．已知，，则向量的夹角为（用弧度表示）________.
15．已知，，，则________．
16．已知平面向量，，满足，，，且与的夹角为，则的最大值为 ______________．
试卷第页，共页
试卷第页，共页
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
结合已知条件，对两边同时平方求出，然后求出，进而即可得到答案.
【详解】
由题意，，，
对两边同时平方可得，，
解得，
故，得.
故选：D.
2．C
【解析】
【分析】
设向量、的夹角为，根据题设条件可得，，将四个选项对应的向量的模分别平方，利用作差法，即可比较大小，得出答案.
【详解】
设向量、的夹角为.
∵，
∴，即
∴，
∵，，
∴，故排除选项AB.
∵，
∴，即，故C正确，D错误.
故选：C.
3．D
【解析】
【分析】
由题知，再根据向量垂直的数量积表示依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：由已知可得：.
对于A：因为，所以本选项不符合题意；
对于B：因为，所以本选项不符合题意；
对于C：因为，所以本选项不符合题意；
对于D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
4．D
【解析】
【分析】
分和两种情况分析判断即可
【详解】
由，得，
当时，满足等式，
当时，因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以方向相反，
综上，应满足是零向量或、是反向向量且满足，
故选：D
5．B
【解析】
【分析】
由题知，再根据向量夹角求解即可.
【详解】
解:因为，
所以，
所以，
因为，
所以，由于
所以
故选：B
6．B
【解析】
【分析】
将变为，将该式两边平方，利用向量的乘法运算求出，再根据向量的夹角公式计算可得答案.
【详解】
由，可得，
所以，即，
所以，
设的夹角为，则,
故选：B.
7．D
【解析】
【分析】
利用已知求出||＝1，然后利用模的性质求解．
【详解】
由题意，即，
又，是方向相反的单位向量，
所以有，即||＝1，
所以，当且仅当反向时取等号，
所以的最大值3，
故选：D.
8．B
【解析】
【分析】
依题意，再根据平面向量数量积的运算计算可得；
【详解】
，
故选：B
9．D
【解析】
【分析】
根据给定条件利用向量数量积运算求出，借助恒成立的不等式分离参数，求函数最值即可得解.
【详解】
因，，且与的夹角为，则，
，
则，
依题意，在区间上恒成立，而函数在上递增，其最大值为5，因此，，
所以实数的取值范围是.
故选：D
10．B
【解析】
【分析】
由化简可得，结合向量共线定理判断四边形的形状.
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 四边形一定是梯形．
故选：B.
11．C
【解析】
【分析】
根据向量夹角公式和向量数量积的运算律计算可得答案.
【详解】
解：因为向量，满足，，，
所以，又，∴．
故选：C.
12．D
【解析】
【分析】
利用向量加法的三角形法则可得答案.
【详解】
作出图形如下所示，
由已知得，，
所以
.
故选：D.
13．
【解析】
【分析】
利用数量积的定义计算的值，再计算、，再由平面向量夹角公式即可求解.
【详解】
棱长为的正四面体中，是中点，
，
，，
所以和所成角的余弦值是，
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
由已知，应用向量数量积的运算律可得，再根据向量数量积的定义即可求的夹角.
【详解】
由，
∴，即，得，又∈[0,π]，
∴.
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
根据平面向量的数量积求出的值，再根据向量模的定义和向量的数量积，计算出，从而得出的结果.
【详解】
解：，，，
，
由此可得，
.
故答案为：2.
16．
【解析】
【分析】
由平面向量的数量积可得与的夹角为，作，，，连接AC，BC，可得∠ACB＝，进而知O，A，C，B四点共圆，当OC为圆的直径时，||最大，再通过OC的长，结合三角函数的知识，建立关于cos∠AOC的等式，推出cos∠AOC的值，从而得解．
【详解】
解：∵，，，
∴cos＜，＞＝﹣，即与的夹角为，
如图，作，，，连接AC，BC，则＝，＝，
∴∠ACB＝，
又∠AOB＝，∴O，A，C，B四点共圆，
故当OC为圆的直径时，||最大，
此时A＝B＝，OA＝，OB＝1，∠BOC＝﹣∠AOC，
在中，OC＝，
在中，OC＝，
∴＝，即＝，
∴cos∠AOC＝（﹣cos∠AOC+sin∠AOC），
整理得，2cos∠AOC＝sin∠AOC，
∴tan∠AOC＝2，cos∠AOC＝，
∴OC＝＝，即||的最大值为．
故答案为：．
试卷第页，共页
试卷第页，共页