人教A版（2019）必修 第二册第六章 平面向量及其应用《天天增分》—6.2平面向量的运算B（Word版，含解析）

天天增分——6.2平面向量的运算B
一、单选题
1．在梯形中，，，，，则
A． B． C． D．
2．点在所在的平面内，，，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知点是所在平面内一点，且满足，则直线必经过的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
4．已知点P为ABC内一点，，则，，的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．若的外接圆半径为2，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知是两个非零向量，且，，则的最大值为
A． B． C．4 D．
7．已知非零向量满足:且不等式恒立,则实数的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．均为单位向量，且它们的夹角为45°，设，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于
A． B． C． D．
10．若向量，，满足，，且，则的最小值是
A． B． C．2 D．
11．已知向量满足, , ,，则的最大值等于
A． B． C．2 D．
12．已知平面向量满足：，，，则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．已知不共线向量，满足，且，向量，的夹角为，若，则的最小值为________．
14．如图，在中，已知，，，直线过的重心，且与边、分别交于、两点，则的最小值为________．
15．中，若，则取值范围为___________．
16．三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点在内部，用分别代表、、的面积，则有．现在假设锐角三角形顶点所对的边长分别为为其垂心，的单位向量分别为，则_________．
试卷第页，共页
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参考答案：
1．A
【解析】
【详解】
分析：根据向量加法、减法法则将转化为即可求解.
详解：由题可得：=,故选A.
点睛：考查向量的线性运算，将问题转化为已知的信息是解题关键.
2．D
【解析】
确定点为外心，代入化简得到，，再根据计算得到答案.
【详解】
由可知，点为外心，
则，，又，
所以①
因为，②
联立方程①②可得，，，因为，
所以，即．
故选：
【点睛】
本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.
3．D
【解析】
两边同乘以向量，利用向量的数量积运算可求得从而得到结论．
【详解】
两边同乘以向量,得
即点P在BC边的高线上，所以P的轨迹过△ABC的垂心，
故选D.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题．
4．D
【解析】
【分析】
先将已知向量化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量的数乘运算的几何意义、三角形面积公式确定面积比.
【详解】
如图所示，延长PC至点E使得，连接BE，取BE的中点为F，连接PF交BC于点G，
延长PB至点H使得，连接AH，取AH的中点为I，连接PI交AB于点J，
因为，所以，
则A、P、F三点共线，且，
因为FC为的中位线，所以，，
则，所以，即，，
所以,，设、的高分别为、，
，即.
同理由可推出，
则，
所以.
故选：D
【点睛】
本题考查向量的运算法则、向量加法的平行四边形法则、向量数乘的集合意义等知识点的综合应用，作出图形数形结合、充分利用共线是解答本题的关键，属于较难题.
5．A
【解析】
【分析】
设的外接圆圆心为O，由题设可知为正三角形，则，，由，知，计算可求解.
【详解】
如图设的外接圆圆心为O，
的边，的外接圆半径为2，
为正三角形，且，
则
，，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题的关键是将未知的通过向量的加法及数量积运算转化为已知的向量，本题将的最小值转化为的最小值，结合数量积及余弦函数即可求解，考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力.
6．B
【解析】
【分析】
先根据向量的模将转化为关于的函数，再利用导数求极值，研究单调性，进而得最大值.
【详解】
,,,，
令,则，令，得当时， ，当时， ， 当时， 取得最大值，故选B.
【点睛】
向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
7．C
【解析】
【分析】
由垂直向量的性质,得 ,再利用向量三角不等式,可以求出的最大值.
【详解】
解:
,整理得
即
故选:C.
【点睛】
本题考查了向量加减法的几何意义,考查了向量数量积的性质,考查了平面向量三角不等式的应用.已知两个向量垂直,常用结论有数量积为0,两向量和与两向量的差的模相等.运用平面向量三角不等式时,难点在于对式子进行整理变形.
8．C
【解析】
建立直角坐标系，求得向量，的终点轨迹方程是圆和直线，利用圆心到直线距离减去半径得到最小值得解
【详解】
设，
以的方向为正方向，所在直线为轴，垂直于所在直线为 轴，建立平面直角坐标系
均为单位向量，且它们的夹角为45°，则 ，
，设
满足
，设
,故 ，
则，则 的最小值为圆上的点到直线 距离的最小值
其最小值为
故选:C.
【点睛】
向量模长最值问题转化为点到直线距离是解题关键，属于中档题.
9．D
【解析】
由题，延长AP交BC于点D，利用共线定理，以及向量的运算求得向量的关系，可得与的比值，再利用面积中底面相同可得结果.
【详解】
延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，
所以，设
代入可得
即
又因为，即，且
解得
所以可得
因为与有相同的底边，所以面积之比就等于与之比
所以与的面积之比为
故选D
【点睛】
本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.
10．C
【解析】
根据向量数量积为零几何意义得对应点轨迹，再根据向量加法与减法几何意义以及圆的性质求最值.
【详解】
设向量，，,则由得,即C的轨迹为以AB为直径的圆，圆心为AB中点M，半径为，
因此
从而，选C.
【点睛】
本题考查向量数量积、向量加法与减法几何意义以及圆的性质，考查综合分析判断与求解能力，属较难题.
11．A
【解析】
【分析】
由，,即点四点共圆，
再利用余弦定理、正弦定理求解即可.
【详解】
解：=，，，
设由，，，
所以，
所以，
又，
则
即点四点共圆，要使最大，即为圆的直径，
在中，
由余弦定理可得=+=7,
即AB=,
又由正弦定理可得：，
即最大值为，
故选A.
【点睛】
本题考查了向量模的运算及正弦定理、余弦定理，属难度较大的题型.
12．A
【解析】
【分析】
由可得，由，，可得，设，则，，从而可求出其最小值
【详解】
解：因为，
所以，
所以，所以，
所以，
因为，，所以，
设，则，
，
当时，（舍去），
当时，，
所以的最小值为，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：此题考查向量数量积的运算律的应用，考查向量的性质的应用，解题的关键是由已知条件得，，令，则，然后化简可求得结果，考查计算能力，属于较难题
13．
【解析】
【分析】
先分别表示出和，然后代入，整理变形得，再结合求解的最小值.
【详解】
因为，
同理，
所以，
变形得：，
两边平方整理得：，
再两边平方整理得：，
又因为，所以，故
解得：．
故答案为：.
【点睛】
本题考查根据向量的模长关系求向量夹角余弦值最值问题，难度较大.解答时，将原式灵活变形是关键.
14．
【解析】
【分析】
设，，分析得出，求得，利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】
先证明结论：已知为直线外一点，、、为直线上三个不同的点，若，则.
因为、、为直线上三个不同的点，则，
可设，即，所以，，
所以，，结论成立.
本题中，设，，
当点与点重合时，为的中点，此时；
当点为线段的中点时，与点重合，此时，故，同理可得.
由，
又、、三点共线，，即，
延长交于点，则为的中点，且有，
又
，
当且仅当，时取得最小值.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
15．
【解析】
【分析】
令的角A，B，C所对边分别为a，b，c，由给定向量等式可得，并确定角是钝角，
再作出边AB上的高，借助两个直角三角形建立关系即可推理计算作答.
【详解】
令的角A，B，C所对边分别为a，b，c，
因为，
由两边平方得：，即，
则有，即，
由得，即，则角是钝角，
如图，作于D，点D必在线段AB上(除端点外)，
令，，
从而有：，则，
整理得：，于是得，解得，
又，因此，，
故答案为：
【点睛】
思路点睛：涉及较复杂的平面向量数量积运算，合理运用数量积的运算律，特别注意逆用运算律，以使计算迅速，简化过程.
16．
【解析】
【分析】
由可得，根据相似三角形可得，，即，即可得
【详解】
由可得
根据可得，同理可得，
所以，
所以
故答案为：
【点睛】
本题以三角形中的结论为载体，考查了垂心的性质，涉及三角形面积公式、相似三角形的性质，属于难题.
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