人教A版（2019）必修 第二册第六章 平面向量及其应用《天天增分》—6.3平面向量基本定理及坐标表示A（Word版，含解析）

天天增分——6.3平面向量基本定理及坐标表示A
一、单选题
1．在梯形ABCD中，AB//CD且AB=3CD，点P在边BC上，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
2．在矩形ABCD中，AB=2，AD=2，点E为线段BC的中点，点F为线段CD上的动点，则的取值范围是（ ）
A．[2，14] B．[0，12]
C．[0，6] D．[2，8]
3．在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．在平行四边形中，，则（ ）
A．-5 B．-4 C．-3 D．-2
5．已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
7．非零向量，满足，且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．四叶回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，，，，M为线段上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知向量，若，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．已知平面向量，，，满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．在中，点满足，若存在点，使得，且，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
12．在等边△ABC中，D为BC的中点，点P为△ACD内一点（含边界），若，则的取值（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．已知平面向量，其中是是单位向量且夹角为，向量满足，则的最大值与最小值之差为__________.
14．已知向量，（），且，，则向量的坐标可以是________．（写出一个即可）
15．已知，向量满足，当向量，夹角最大时，_________．
16．已知中，，点在正方形外面，点在边上，且，则______.
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
延长，交于点，则三点共线，运用可求解.
【详解】
延长，交于点，则三点共线，于是可得，因且，所以，于是，.
故选：D
2．A
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，转化为一次函数，根据单调性求范围即可.
【详解】
如图建立平面直角 ，
则A(0，0)，E(2，1)，
设F(x，2)(0≤x≤2)，
所以=(2，1)，=(x，2)，因此=2x+2，
设f(x)=2x+2(0≤x≤2)，f(x)为增函数，
则f(0)=2，f(2)=14，故2≤f(x)≤14，的取值范围是[2，14].
故选：A
3．C
【解析】
【分析】
设，由，结合题干条件和平面向量基本定理，即得解
【详解】
根据题意画出草图，如图：
点是线段上一点，
设，
.
由平面向量基本定理可得解得.
故选：C
4．A
【解析】
【分析】
根据向量的加法和减法的几何意义，结合向量的数量积运算，即可得到答案；
【详解】
，，
，，
，
，
故选：A
5．B
【解析】
【分析】
结合向量坐标运算的余弦夹角公式即可求解.
【详解】
设与的夹角为，因为，，所以．
故选：B
6．C
【解析】
【分析】
根据给定条件探求出，结合转化为二次函数并求函数的最小值即可.
【详解】
在△ABC中，M为边BC上任意一点，则，
于是得，而，且与不共线，
则，即有，因此，，
当且仅当时取“=”，此时M为BC中点，
所以的最小值为.
故选：C
7．D
【解析】
【分析】
先根据，判断出的角平分线与垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得，判断出三角形的形状．
【详解】
，，分别为单位向量，
的角平分线与垂直，
，
，
，
，
为等边三角形．
故选：D．
8．D
【解析】
【分析】
以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
解：由题意，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系
则，，
M为线段上一动点，设，其中
，
，
当时，
的最小值为.
故选：D.
9．B
【解析】
【分析】
先求出向量，再用夹角公式求出向量与的夹角.
【详解】
因为，且，所以得，
即
则，
又，所以
即与的夹角为．
故选：B
10．B
【解析】
【分析】
根据向量数量积的夹角公式可得，设，，，，，，根据数量积的坐标表示可得点的轨迹为圆，由几何意义可知：的最小值为减去半径即可求解.
【详解】
因为，所以，
因为，所以
不妨设，，，，，
，
则，，
因为，所以，
化简为：，
所以对应的点是以为圆心，半径为的圆，
所以的最小值为，
故选：B.
11．A
【解析】
【分析】
由可得，又，结合已知得，从而可得结果.
【详解】
，
∴，
，可得，
∵
∴则.
故选：A.
12．D
【解析】
【分析】
过AB靠近A的四等分点作AC的平行线分别交AD，BC于点E，F，过E，F分别作AB的平行线交AC于M，N，求出，，即得解.
【详解】
解；过AB靠近A的四等分点作AC的平行线分别交AD，BC于点E，F，
由题意知，点P在线段EF上，
过E，F分别作AB的平行线交AC于M，N（如图所示），
由题得，即，.
所以.
故选：D.
13．
【解析】
【分析】
设，由，得，由得，令与联立，利用判别式可得答案.
【详解】
根据题意不妨设，
因为，所以，整理得，
由得，令，
联立得，
所以，
即，解得，所以.
故答案为：.
14．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据已知条件列关于，的方程组，解方程组即可求解.
【详解】
向量，（），且，，
所以，取符合题意，
所以向量的坐标可以是，
故答案为：（答案不唯一）
15．
【解析】
【分析】
设=（1，0），=（x，y），把已知等式用坐标表示得出的关系，从而把用表示，再求出两向量夹角的余弦值，由换元法和函数的性质得出最小值即得向量夹角的最大值，由此可得.
【详解】
设=（1，0），=（x，y），
∵，
∴，化简后可得，，
∴，
∴
设t=，即0取得最小值，即向量，夹角最大，
∴．
故答案为：
16．
【解析】
【分析】
画出示意图，建立适当的平面直角坐标系，设正方形棱长和点坐标，根据题中的式子得出方程组即可求解.
【详解】
如图，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
不妨设正方形边长为2，则.
又因为为等边三角形，所以可得,设.
所以，
又因为，
所以，
得.
故答案为:
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