人教A版（2019）必修 第二册第六章 平面向量及其应用《天天增分》—6.3平面向量基本定理及坐标表示B（Word版，含解析）

天天增分——6.3平面向量基本定理及坐标表示B
一、单选题
1．已知，，，平面区域是由所有满足的点组成的区域，则区域的面积是．
A．8 B．12 C．16 D．20
2．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
3．已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为
A． B． C． D．
4．已知正六边形的边长为2，当时，的最大值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．
5．已知向量，是坐标原点，若，且方向是沿的方向绕着点按逆时针方向旋转角得到的，则称经过一次变换得到，现有向量经过一次变换后得到，经过一次变换后得到，…，如此下去，经过一次变换后得到，设，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．在矩形ABCD中，，，P为矩形内一点，且若，则的最大值为　　
A． B． C． D．
7．在中，，M为线段EF的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是的外心，，则，则的取值范围是
A． B． C． D．
9．已知平面向量，，（与不共线），满足，，设，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10．点在所在的平面内，，，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．在中，，，，M是外接圆上一动点，若，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
12．已知，，，，为外接圆上的一动点，且，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．如图所示，在直角梯形ABCD中，已知，，，，M为BD的中点，设P、Q分别为线段AB、CD上的动点，若P、M、Q三点共线，则的最大值为__.
14．设点是的外心，，则_______.
15．等腰梯形中，已知，，，点，分别在线段和上，且，，则的最小值为__________．
16．在直角梯形.中，，分别为的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动（如图）.若，其中，则的最大值是________.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．C
【解析】
先由，方程组，解出，代入得到满足的不等式组，画出可行域，求出面积即可.
【详解】
解：由，，，
得，，
因为
所以，解得
又因为
代入化简得
画出不等式组代表的平面区域如图中阴影部分，且阴影部分为平行四边形
由直线方程解出点，，，
点到直线的距离，
所以阴影部分面积为
故选C.
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算，线性规划中可行域的面积，属于中档题.
2．C
【解析】
【分析】
作出图形，结合三点共线性质可得，，同时设，联立解出，进而确定关系，同时满足，进而求出关系，即可求解两三角形面积之比.
【详解】
如图，延长交于，则，因为，，三点共线，所以，即，所以，则，故且，又，故，所以，，所以，所以．
故答案为：C
3．C
【解析】
【分析】
如图:设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于,过A作,垂足为,然后根据向量知识将的最大值转化为的最大值来求,
【详解】
如图:
设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,
过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于,
过A作,垂足为,交BC于K，此时圆P的圆心为,BC=5,,,其中,又,
所以,
当Q在BC的下方时, ;
当Q在BC上时,,
当Q在BC的上方时,,
根据平面几何知识,可知当Q为、 D为K时，最大，所以x+y取最大，
所以：x+y的最大值为：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理,三点共线的向量表示,分类讨论思想,,属难题.
4．B
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，由坐标法表示出，并利用列举法求得最大值.
【详解】
以为原点，为轴建立如图所示平面直角坐标系，
正六边形的边长为，所以：
，
令，下用例举法求得的所有可能取值.
1 1 1 1 1 24
1 1 1 1 -1 16
1 1 1 -1 1 0
1 1 -1 1 1 -8
1 -1 1 1 1 0
-1 1 1 1 1 22
-1 -1 1 1 1 -2
-1 1 -1 1 1 -2
-1 1 1 -1 1 -2
-1 1 1 1 -1 10
1 -1 -1 1 1 -8
1 -1 1 -1 1 -12
1 -1 1 1 -1 -8
1 1 -1 -1 1 -8
1 1 -1 1 -1 -8
1 1 1 -1 -1 4
-1 -1 -1 1 1 -2
-1 -1 1 -1 1 -14
-1 -1 1 1 -1 -14
-1 1 -1 -1 1 -2
-1 1 -1 1 -1 -6
-1 1 1 -1 -1 -2
1 -1 -1 -1 1 4
1 -1 -1 1 -1 -8
1 -1 1 -1 -1 -8
1 1 -1 -1 -1 4
-1 -1 -1 -1 1 10
-1 -1 -1 1 -1 -6
-1 -1 1 -1 -1 -14
-1 1 -1 -1 -1 6
1 -1 -1 -1 -1 16
-1 -1 -1 -1 -1 18
由表格数据可知的最大值为，
所以的最大值为.
故选：B
5．B
【解析】
【分析】
根据题意，可得，，，即当时，一次，变换将逆时针旋转1弧度，再将所得向量的长度再伸长为原来的倍得到向量．因此当时，运用矩阵变换公式，算出逆时针旋转1弧度所得向量，从而得到，，，所以．接下来再对、、、各项在时的情况进行计算，对照所得结果可得只有项是正确的选项
【详解】
根据题意，，
一次，变换就是将向量逆时针旋转1弧度，再将长度伸长为原来的倍，
即由逆时针旋转1弧度而得，且
设向量逆时针旋转1弧度，所得的向量为，则有，
，即向量逆时针旋转1弧度，
得到向量，再将的模长度伸长为原来的倍，
得到，，
因此当时，，，，即，由此可得
对于，当时，与计算结果不相等，故不正确；
对于，当时，与计算结果相等，故正确；
对于，当时，与计算结果不相等，故不正确；
对于，当时，与计算结果不相等，故不正确
故选：B
【点睛】
本题考查了向量的线性运算，用矩阵解决向量的旋转问题和数列的通项公式，属于中档题
6．B
【解析】
【分析】
可根据条件画出图形，根据图形设，且，则又可用表示为：所以根据平面向量基本定理得到：，所以，最大值为1，所以的最大值为．
【详解】
如图，设，，
则：；
又；
；
；
的最大值为．
故选B．
【点睛】
考查共线向量基本定理，两角和的正弦公式，正弦函数的最大值，以及平面向量基本定理．
7．C
【解析】
【分析】
化简得到，根据得到，得到的最大值.
【详解】
，
故
故，故.
当时等号成立.
故选：.
【点睛】
本题考查了向量的运算，最值问题，意在考查学生的综合应用能力.
8．B
【解析】
【分析】
由题意，以为轴建立直角坐标系，如图，不妨设，则在圆O上优弧AB上，设，则，显然，即，，由于，所以，，所以，故选B
点睛：本题考查用坐标法解决平面向量的线性表示问题，由已知判断出，因此我们　以为坐标轴建立空间直角坐标系，可以很快速地把平面向量用坐标表示出来，要注意地是解题过程的设参要注意其取值范围，否则易出错．
【详解】
9．A
【解析】
【分析】
设，由已知条件判断出，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，所在的边为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则，，得，再由得，设，求出范围可得答案
【详解】
设，则，
，
所以，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，
所在的边为轴的正半轴建立平面 直角坐标系，如图，
则，，因为，所以，
因为，所以，
所以，，
两式相加得，
所以，
因为，所以设，
所以，
因为不共线，所以不共线，所以，
所以，，
，
所以，
故选：A.
10．D
【解析】
确定点为外心，代入化简得到，，再根据计算得到答案.
【详解】
由可知，点为外心，
则，，又，
所以①
因为，②
联立方程①②可得，，，因为，
所以，即．
故选：
【点睛】
本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.
11．C
【解析】
以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设M的坐标为，
由，
可得利用正弦函数的图像及性质即得解.
【详解】
以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
设M的坐标为，过点B作 轴
又
当时，
故选：C
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图像和性质，以及直角三角形问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
12．B
【解析】
【分析】
以的中点为原点，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设的坐标为，求出点的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案.
【详解】
解：以的中点为原点，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则外接圆的方程为，
设的坐标为，
过点作垂直轴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴
∴，，
∴，，
∴，其中，，
当时，有最大值，最大值为，
故选B．
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角三角形的问题，考查了学生的分析解决问题的能力，属于难题．
13．
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，设，，由P、M、Q三点共线，设，求得，代入计算知，构造函数，，结合函数的单调性求得最值.
【详解】
如图所示，建立直角坐标系，则，，，，，
又Q是线段CD上的动点，设，
则，可得
设，，
由P、M、Q三点共线，设
利用向量相等消去可得：，
令，，则在上单调递减，
故当时，取得最大值
故答案为：
【点睛】
方法点睛：本题考查向量的坐标运算，求解向量坐标运算问题的一般思路：
向量的坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算可用坐标进行，实现了向量坐标运算完全代数化，将数与形紧密的结合起来，建立直角坐标系，使几何问题转化为数数量运算，考查学生的逻辑思维与运算能力，属于较难题.
14．
【解析】
【分析】
由三角形外心的性质，再结合图形，利用向量的线性运算，转化成跟两组基底向量相关的向量来进行求解
【详解】
设为平面内的一组基底.如图所示，
设为的中点，连接，则.
又∵，
∴
.
【点睛】
考生需熟悉三角形外心一些基本特点。三角形外心为外接圆的圆心，外心到三个顶点的距离相等、外心为各边中垂线的交点。在运用向量基底解决几何问题时，关键是学会将任何一组向量转化成跟基底向量有关的向量进行表示
15．
【解析】
【分析】
把向量和拆成以为基底，可得，再由均值不等式可求得最小值．
【详解】
由于是等腰梯形，所以AB=2,=
=（）
当且仅当等号成立，所以填．
【点睛】
本题考查的是利用平面向量基本定理把向量数量积用基底表示，数量积转化为关于的函数，再利用均值不等式求得最值，选择合适的基底是此类题的关键，再把其它向量都用基底表示．
16．
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，设，根据，表示出，结合三角函数相关知识即可求得最大值.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系：
，分别为的中点，，
以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动，
设，
，
即，
，所以，两式相加：，
即，
要取得最大值，即当时，
故答案为：
【点睛】
此题考查平面向量线性运算，处理平面几何相关问题，涉及三角换元，转化为求解三角函数的最值问题.
试卷第页，共页
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