人教A版（2019）必修 第二册第六章 平面向量及其应用《天天增分》—6.4平面向量的应用A（Word版，含解析）

天天增分——6.4平面向量的应用A
一、单选题
1．在△ABC中，已知2acos B＝c，sin Asin B(2－cos C)＝sin2＋，则△ABC为（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（ ）
A．16 B．12 C．5 D．4
3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中只有一解的是（ ）
A． B．
C． D．的面积为
4．在中，角、、所对的边分别为、、，若，则下列命题正确的是（ ）
A．且 B．或
C． D．
5．在钝角中，已知，的对边分别为，，，，且，则（ ）
A． B． C．或 D．或
6．已知中，，，则当函数取得最大值时，（ ）
A．4 B． C． D．
7．已知四边形是矩形，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知的内角的对边分别为，设，，则 （ ）
A． B． C． D．
9．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则角A的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（ ）
A．2 B． C． D．
11．如图，圭表是中国古代通过测量日影长度来确定节令的仪器，也是作为指导汉族劳动人民农事活动的重要依据，它由“圭”和“表”两个部件组成，圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆，正午时太阳照在表上，通过测量此时表在圭上的影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时，太阳光线与圭所在平面所成角分别为，，测得表影长之差为，那么表高为（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km，C在B的北偏东30°方向，且与B相距km，一架飞机从城市D出发，以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（ ）
A．120km B．km C．km D．km
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．已知的三边长，，所对的三个内角分别为A，，，若，且，，则得外接圆的半径为________.
14．中，，，则在中，________.
15．拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心怡为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D，E，F，若∠BAC=60°，DF=，利用拿破仑定理可求得AB+AC的最大值____________
16．黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为m的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°，则估算黄鹤楼的高度CD为_________m.
三、解答题
17．在①；②,这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
(1)判断△ABC的形状；
(2)在（1）的条件下，若，b＝10，AD为BC边上的中线，求AD的长.
18．的内角的对边分别为，已知.
(1)求角C；
(2)若，求的面积.
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
利用余弦定理化简得出，根据正弦定理得出，利用二倍角的余弦公式对化简整理可得，进而得出结果.
【详解】
由题意知，，由余弦定理，得，
整理，得，即；由正弦定理，得，
所以或，又，
则，得，
由，得，
即，因为，所以，
则，的，解得，所以，所以.
综上诉述，为等腰直角三角形.
故选：D
2．C
【解析】
【分析】
延长到D，使得，可得点P在直线上，化简可得，求出最小值即可.
【详解】
如图，延长到D，使得．
因为，所以点P在直线上．
取线段的中点O，连接，
则．
显然当时，取得最小值，
因为，则，所以，
所以的最小值为．
故选：C.
3．C
【解析】
【分析】
根据正弦定理判断三角形解的个数．
【详解】
对于A，∵，∴此三角形有两个解；
对于B，∵，由正弦定理可得，，∴此三角形无解；
对于C，∵，且，∴此三角形只有一个解；
对于D，∵的面积，，或，∴此三角形有两个解．
故选：C．
4．C
【解析】
【分析】
根据正弦定理化角为边再结合余弦定理即可求的角，进而可得正确选项.
【详解】
由正弦定理化角为边可得，即，
由余弦定理可得：，
因为，所以，
角、的大小无法确定，故选项ABD不正确；
故选：C.
5．D
【解析】
【分析】
左右两边同除，得到，再把代入得，再由正弦定理，把换成得到，再把代入得到，在利用大边对大角确定有两个角.
【详解】
因为，所以，因为，所以，由正弦定理得，，所以，因为，所以，所以或，时，为钝角三角形；当时，因为，所以，所以，所以也为钝角三角形.
故选：D.
6．B
【解析】
【分析】
根据两角和的正弦和倍角公式，对解析式进行化简得到关于的一元二次函数，从而求得取得最大值时，再利用余弦定理，即可得到答案；
【详解】
当时，即，，
，
.
故选：B
7．C
【解析】
【分析】
方法一：根据题意，建立平面直角坐标系，设，进而利用坐标法求解即可；
解法二：用为基底表示向量，，再根据得得，，再根据计算得，进而得答案.
【详解】
解：解法一 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，则，，，.
∴，，，.
∴，.
∴，.
∵，
∴，即.
又，
所以，.
∴.
∴.
∵，∴.
故选：C.
解法二：∵，
，
∴.
∵，∴，得.∴，
.
∴.
故选：C.
8．C
【解析】
【分析】
根据给定条件利用正弦定理角化边，求出角A，再求出角B即可计算作答.
【详解】
在中，由及正弦定理得：，
即，由余弦定理得：，而，解得，
由得，显然，则，，
所以.
故选：C
9．C
【解析】
【分析】
用两种方法表示出，从而得到，再根据余弦定理，得到，消去后利用辅助角公式得到，再利用基本不等式求出的取值范围，进而求出角A的取值范围.
【详解】
∵BC边上的高为，∴
由面积公式得：，
∴，故
由余弦定理得：
∴
由辅助角公式得：
∴
其中，当且仅当时，等号成立
∴
，解得：
∵
∴
故选：C
10．B
【解析】
【分析】
由条件结合余弦定理可得，由正弦定理边角关系有，而目标式可化为，即可求值.
【详解】
由题设，，而且，即，
由知：，
又.
故选：B
11．C
【解析】
【分析】
由题意画出图形，找出线面角，设，然后求解三角形得答案.
【详解】
如图，设表高，
在中，，由正弦定理有，
所以，
在直角三角形中，，
即
.
故选：C
12．D
【解析】
【分析】
设15min后飞机到了处，求出，中由余弦定理求得，由勾股定理逆定理知，这样易得，从而得出，然后在中由余弦定理得出．
【详解】
设15min后飞机到了处，则，
由题意，，
，，
，所以，所以，
从而，于是
，，
中，，
．
故选：D．
13．2
【解析】
【分析】
使用正弦定理，边角转化，得到关于的方程，求出，再使用正弦定理求出外接圆半径
【详解】
由正弦定理得：，得，代入得，所以，
所以，其中，
所以
解得，所以，故的外接圆的半径为.
故答案为：2
14．
【解析】
【分析】
计算，根据正弦定理判断得到，根据和差公式计算得到答案.
【详解】
，则，，，
根据正弦定理知，故，为锐角，故.
.
故答案为：.
15．
【解析】
【分析】
设，连接.在△DAB中，∠ABD=∠BAD=30°，∠ADB=120°，由余弦定理表示出和.在△ADF中，由余弦定理和基本不等式解得AB+AC的最大值.
【详解】
设，如图，连接.
由拿破仑定理知，△DEF为等边三角形.
因为D为等边三角形的中心，所以在△DAB中，∠ABD=∠BAD=30°，∠ADB=120°.
设，由余弦定理得，即，解得，
即.同理.
又∠BAC=60°，∠CAF=30°，所以∠DAF=∠BAD+∠BAC+∠CAF=120°.
在△ADF中，由余弦定理可得，
即，化简得，由基本不等式得，解得 (当且仅当时取等号)，所以.
故答案为：
【点睛】
在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：
(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；
(2)从式子结构来选择．
16．
【解析】
【分析】
由图中所示，可求出，，利用正弦定理求出，在直角△CMD中求解即可.
【详解】
在△ABM中，，则（m），
在△ACM中，因为，，
所以.
因为，
所以（m），
故（m）.
故答案为：
17．(1)选①，等腰三角形；选②，等腰三角形或直角三角形；
(2)选①，；选②，或；
【解析】
【分析】
（1）选①，由正弦定理变形后可得；选②，由正弦定理及同角关系变形后，结合正弦函数性质得三角形为等腰三角形或直角三角形；
（2）选①，由等腰三角形性质求得底边长，然后由余弦定理求得；
选②，三角形为等腰三角形时同选①，三角形为直角三角形时，由求得，然后求得，用勾股定理求得．
(1)
选①，，由正弦定理理，即，又是三角形内角，所以，△ABC是等腰三角形；
选②，，由正弦定理得，所以，
，又是锐角三角形内角，所以或，
所以或，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形；
(2)
选①，，则，，，
中，由余弦定理得：
，；
选②，时同选①得，
时，，则，，所以，，
所以．
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）对已知式子化简后利用正弦定理得，再利用余弦定理可求出角C，
（2）由，可得，再由正弦定理得，再利用三角形的面积公式可求得结果
(1)
由，
得，
得，
得，
由正弦定理，得.
由余弦定理，得.
.
(2)
由，
得，
得，得，
由正弦定理，得.
又.
的面积.
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